高阶导数

高等数学 · 一元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 高阶导数：把求导这件事再做一遍

f^{'}

本身还是一个函数，对它再求一次导得到二阶导数，记作

f^{''} (x), y^{''}, \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} .

照这样下去就有三阶、四阶……

n

阶导数记作

f^{(n)} (x)

。四阶及以上一律用带括号的上标，写成

f^{4}

会被当成四次方。

物理上这几阶各有名字：位移的一阶导是速度，二阶导是加速度。数学上二阶导最要紧的用处是判断凹凸（后面一节），以及在泰勒公式里充当第二个系数。

求

n

阶导数的题，几乎都是找规律：动手算前三四阶，看出规律再写通项。直接一路硬算到第

n

阶是做不到的。

2. 几个常用函数的 $n$ 阶导数

下面这几条是找规律题的落脚点，值得记住：

(e^{x})^{(n)} (a^{x})^{(n)} (sin x)^{(n)} (cos x)^{(n)} = e^{x}, = a^{x} (ln a)^{n}, = sin (x + \frac{nπ}{2}), = cos (x + \frac{nπ}{2}) .

三角那两条的意思是：每求一次导，相位就往前挪

\frac{π}{2}

，所以四次一循环。动手验一下

sin

：

cos

、

- sin

、

- cos

、

sin

，正好回到原处。

再两条带分母的：

(\frac{1}{x})^{(n)} (ln x)^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n + 1}}, = \frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{x ^{n}} .

后一条由前一条来：

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

，所以

ln x

的

n

阶导就是

\frac{1}{x}

的

n - 1

阶导。记住一条，另一条现推，比两条都硬背稳。

3. 莱布尼茨公式：乘积的 $n$ 阶导

两个函数乘积的

n

阶导数有现成公式：

(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} .

它的形状和二项式定理 $(a + b)^{n}$ 一模一样：组合数一样，只是把「方次」换成了「阶数」。记住这个对应，公式就不用背。

实战中它只在一种情形下好用：其中一个因子是多项式。因为多项式求几次导就变成

0

，整个求和只剩头几项。

例如

u = x^{2}

时，

u^{''} = 2

、

u^{'''} = 0

，于是

(x^{2} v)^{(n)} = x^{2} v^{(n)} + 2 n x v^{(n - 1)} + n (n - 1) v^{(n - 2)},

只有三项。

挑哪个当 $u$ 有讲究：把多项式那个放在

u

的位置（也就是让它承担高阶的求导），求和才会截断。

4. 由泰勒展开读出 $f^{(n)} (0)$

有一类题反过来问：给一个函数，求它在

0

处的某个高阶导数值。硬求

n

次导几乎不可能，但有一条捷径。

若

f

在

0

附近能展成幂级数

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} + \dots,

则对照泰勒展开的系数公式

a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !}

立即得到

f^{(n)} (0) = n! a_{n} .

于是「求 $n$ 阶导数值」变成了「求展开式里 $x^{n}$ 的系数」，后者往往一眼可见。

这条路子要等学完泰勒公式才完整，但它正是高阶导数这一节与后面那一节的接口，现在先把这个对应记住：系数乘以 $n!$ 就是导数值。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求 $n$ 阶导数：算前三阶，分三样看规律

第一步：动手算

y^{'}

、

y^{''}

、

y^{'''}

，不要跳步。

第二步：分别盯三样东西——符号（正负是否交替）、系数（是不是

n!

一类）、幂次或相位（每次降几级、挪多少）。

第三步：把三样拼成通项，再用

n = 1, 2

验一遍。

验这一步不能省：规律看错一个符号，整道题就废了。

例求

y = \frac{1}{1 - x}

的

n

阶导数。

第一步，写成

(1 - x)^{- 1}

逐阶求。注意内层

1 - x

求导给

- 1

，和幂函数降幂带出的负号正好抵消，所以结果一直是正的：

y^{'} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}, y^{''} = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}}, y^{'''} = \frac{6}{( 1 - x ) ^{4}} .

第二步，分三样看规律：符号始终为正；系数

1, 2, 6

就是

1!, 2!, 3!

；次数

2, 3, 4

就是

n + 1

。

第三步，写出通项并回代验一次：

y^{(n)} = \frac{n !}{( 1 - x ) ^{n + 1}} .

取

n = 1

得

\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}

，与上面第一阶对上。

三角函数的高阶导：除以 $4$ 看余数

第一步：把阶数

n

除以

4

，取余数。

第二步：对

sin x

——余

0

得

sin x

，余

1

得

cos x

，余

2

得

- sin x

，余

3

得

- cos x

。

第三步：

cos x

同理，起点换成

cos x

。

比套

sin (x + \frac{nπ}{2})

更不容易错，尤其是符号。

例求

y = sin x

的

100

阶导数。

第一步，先求前四阶，看出循环：

sin x \to cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x .

四步回到原处。

第二步，

100 \div 4 = 25

余

0

——正好转了

25

整圈。

第三步，余

0

就是没动：

y^{(100)} = sin x

。

余

1

、

2

、

3

分别对应

cos x

、

- sin x

、

- cos x

，照这张循环表查即可。

乘积的 $n$ 阶导：认出多项式，用莱布尼茨

第一步：看式子是不是「多项式

\times

容易求

n

阶导的函数」。

第二步：把多项式放在

u

的位置。

第三步：写出求和的前几项，直到

u^{(n - k)}

变成

0

为止。

第四步：代入组合数

C_{n}^{1} = n

、

C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

化简。

例求

y = x^{2} e^{x}

的

n

阶导数（

n \geq 2

）。

第一步，认出多项式那一侧：

x^{2}

的三阶及以上导数全为

0

，所以莱布尼茨公式展开后只剩前三项。

第二步，取

u = x^{2}

、

v = e^{x}

（

v

的各阶导都还是

e^{x}

），套公式

k \sum (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}

：

y^{(n)} = (0 n) x^{2} e^{x} + (1 n) 2 x e^{x} + (2 n) 2 e^{x} .

第三步，代入

(0 n) = 1

、

(1 n) = n

、

(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}

，再提出

e^{x}

：

y^{(n)} = e^{x} (x^{2} + 2 n x + n (n - 1)) .

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$f^{(n)}$ 漏掉括号

f^{(4)}

是四阶导数，

f^{4}

是四次方。从四阶起必须用带括号的上标。

一、二、三阶写撇号不会混，再多就数不清了——括号正是为这件事加的。

找规律时只盯系数，不看符号

(\frac{1}{x})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n + 1}}

，那个

(- 1)^{n}

和

n!

一样要紧。

三样一起看：符号、系数、幂次。写出通项后用

n = 1, 2

代回去验一遍。

莱布尼茨里把指数函数当成 $u$

u

承担高阶求导，要放多项式，它才会归零、求和才截断。

放反了的话

e^{x}

的各阶导都在，求和要写

n + 1

项，等于没化简。

例例. 求

y = x^{2} e^{x}

的

n

阶导数。

放反（取

u = e^{x}

、

v = x^{2}

）：

u

的各阶导数都是

e^{x}

，一项都不归零，求和要写满

n + 1

项，根本化简不下去。

放对（取

u = x^{2}

、

v = e^{x}

）：

u^{'''}

起全为零，求和只剩

k = 0, 1, 2

三项：

y^{(n)} = x^{2} e^{x} + n \cdot 2 x e^{x} + \frac{n ( n - 1 )}{2} \cdot 2 e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 n x + n (n - 1)) .

判据一句话：谁会归零谁当 $u$ 。

求 $f^{(n)} (0)$ 硬去逐阶求导

n

稍大就算不动了。正路是写出展开式，读出

x^{n}

的系数

a_{n}

，再乘

n!

。

看到「求 $f^{(5)} (0)$ 」这种问法，第一反应应该是展开式，不是求导。

例例. 设

f (x) = x^{2} e^{x}

，求

f^{(5)} (0)

。

错：老老实实求五次导再代

0

。能做，但到第三阶式子就开始长，容易抄错。

对：写展开式，读系数。

x^{2} e^{x} = x^{2} (1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots) = x^{2} + x^{3} + \frac{x ^{4}}{2} + \frac{x ^{5}}{6} + \dots

x^{5}

的系数是

a_{5} = \frac{1}{6}

。而展开式的系数本来就是

a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !}

，所以

f^{(5)} (0) = 5! \times \frac{1}{6} = \frac{120}{6} = 20.

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 逐阶算

练 1

设

y = x^{3}

，则

y^{''} =

________。

练 2

f^{(4)} (x)

表示（）。

A $f$ 的四阶导数
B $f$ 的四次方
C $f$ 在 $x = 4$ 处的值
D $f$ 的四次方根

练 3

(e^{x})^{(n)} =

________。

练 4

设

y = x^{3}

，则

y^{(4)} =

（）。

A $6$
B $24 x$
C $0$
D $6 x$

第二组 · 找规律

练 5

(sin x)^{(100)} =

（）。

A $cos x$
B $- sin x$
C $- cos x$
D $sin x$

练 6

(cos x)^{(3)} =

________。

练 7

(\frac{1}{x})^{(n)} =

（）。

A $\frac{n !}{x ^{n + 1}}$
B $\frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n}}$
C $\frac{( - 1 ) ^{n} ( n - 1 )!}{x ^{n + 1}}$
D $\frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n + 1}}$

练 8

设

y = \frac{1}{1 + x}

，则

y^{'''} =

________。

第三组 · 莱布尼茨与反问

练 9

用莱布尼茨公式求

(x^{2} e^{x})^{(n)}

时，应把（）放在

u

的位置。

A $x^{2}$
B $e^{x}$
C两者都可以，结果一样简单
D先乘开再逐项求导，不用公式

练 10

设

f (x) = x^{2} sin x

，则

f^{(5)} (0) =

________。

练 11

设

f (x) = \frac{1}{1 - x}

，则

f^{(n)} (0) =

（）。

A $1$
B $(- 1)^{n} n!$
C $\frac{1}{n !}$
D $n!$

练 12

设

y = x^{2} e^{x}

，则

y^{(n)} = e^{x} [x^{2} + 2 n x +

________

]

（

n \geq 2

）。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

高阶导数

先打基础

1. 高阶导数：把求导这件事再做一遍

2. 几个常用函数的 n 阶导数

3. 莱布尼茨公式：乘积的 n 阶导

4. 由泰勒展开读出 f(n)(0)

常用结构

求 n 阶导数：算前三阶，分三样看规律

三角函数的高阶导：除以 4 看余数

乘积的 n 阶导：认出多项式，用莱布尼茨

基础易错

f(n) 漏掉括号

找规律时只盯系数，不看符号

莱布尼茨里把指数函数当成 u

求 f(n)(0) 硬去逐阶求导

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 几个常用函数的 $n$ 阶导数

3. 莱布尼茨公式：乘积的 $n$ 阶导

4. 由泰勒展开读出 $f^{(n)} (0)$

求 $n$ 阶导数：算前三阶，分三样看规律

三角函数的高阶导：除以 $4$ 看余数

乘积的 $n$ 阶导：认出多项式，用莱布尼茨

$f^{(n)}$ 漏掉括号

莱布尼茨里把指数函数当成 $u$

求 $f^{(n)} (0)$ 硬去逐阶求导