高阶导数

§2.4 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.70 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

2.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁泰勒公式曲线的凹凸性与拐点

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 求 $n$ 阶导数通项公式的三个步骤：先算若干阶，再找规律，必要时用归纳法★ 要懂

求

f^{(n)}

的通项公式，不能一阶一阶地求下去，而应按下述步骤进行：①先算出

y^{'}, y^{''}, y^{'''}

等前几阶导数；②再从符号（是否按

(- 1)^{n}

交替）、系数（是否含

n!

或

a^{n}

）、幂次（分母的指数如何随

n

变化）这三条线索归纳出通项；③必要时用数学归纳法加以确认。其中导数按周期循环的函数（

sin, cos

）与求导后不变的函数（

e^{x}

），是拼凑通项时最基本的依据。

证明 / 推导

以 $sin x$ 为例，用归纳法证明 $(sin x)^{(n)} = sin (x + \frac{nπ}{2})$ .
当

n = 1

时，

(sin x)^{'} = cos x = sin (x + \frac{π}{2})

，结论成立。
设结论对第

n

阶成立，则

(sin x)^{(n + 1)} = \frac{d}{d x} sin (x + \frac{nπ}{2}) = cos (x + \frac{nπ}{2}) = sin (x + \frac{nπ}{2} + \frac{π}{2}) = sin (x + \frac{( n + 1 ) π}{2}) .

故结论对一切

n

都成立。每求一次导数，相当于自变量增加 $\frac{π}{2}$ ，即相位向前移动，因而每四次为一个循环。

■

2. 有理函数的高阶导数：先化为部分分式，再逐项使用 $\frac{1}{a x + b}$ 的公式★★ 必会

对于分母能作因式分解的有理式，不要直接反复求导，而应先化为部分分式，再对每一项使用公式

(\frac{1}{x - a})^{(n)} (\frac{1}{a x + b})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{( x - a ) ^{n + 1}} = \frac{( - 1 ) ^{n} a ^{n} n !}{( a x + b ) ^{n + 1}} .

必须注意，第二式中由复合函数求导法则带出的

a^{n}

最容易遗漏。
部分分式的形状由分母的因式决定。如果分母只含互异的一次因式，那么拆出的各个分式都是

\frac{A}{x - a}

的形状，可以直接使用上式。如果分母含有重因式，那么还会拆出

\frac{A}{( x - a ) ^{k}}

一类的项，此时应改用

(\frac{1}{( x - a ) ^{k}})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} ( n + k - 1 )!}{( k - 1 )! ( x - a ) ^{n + k}}

。

证明 / 推导

公式的推导（用归纳法）. 记

u = \frac{1}{a x + b} = (a x + b)^{- 1}

。当

n = 1

时，由复合函数求导法则得

u^{'} = - (a x + b)^{- 2} \cdot a = \frac{( - 1 ) ^{1} a ^{1} 1 !}{( a x + b ) ^{2}},

公式成立。设公式对第

n

阶成立，即

u^{(n)} = (- 1)^{n} a^{n} n! (a x + b)^{- (n + 1)}

。两端再求一次导数，仍用复合函数求导法则，得

u^{(n + 1)} = (- 1)^{n} a^{n} n! \cdot [- (n + 1)] (a x + b)^{- (n + 2)} \cdot a = \frac{( - 1 ) ^{n + 1} a ^{n + 1} ( n + 1 )!}{( a x + b ) ^{n + 2}} .

这就是公式在第

n + 1

阶的形状，故它对一切

n \geq 1

成立。在其中取

a = 1

、

b = - α

，便得

(\frac{1}{x - α})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{( x - α ) ^{n + 1}}

。

因子 $a^{n}$ 的来历. 每求一次导数，幂次下降一次，同时由复合函数求导法则带出一个因子

a

。求

n

次导数就带出

n

个

a

，累积成

a^{n}

。当

a = 1

时这个因子看不出来，所以在一般的

a x + b

上容易遗漏。

分项处理为什么可行. 求导是线性运算，即

(λ f + μg)^{(n)} = λ f^{(n)} + μ g^{(n)}

。所以当分母为互异一次因式时，把有理式化成常数与若干

\frac{A _{k}}{x - α _{k}}

之和以后，可以对每一项分别用上述公式，再把结果相加。其中常数项的各阶导数都是

0

。这就证明了这一解法的根据。

■

举例说明

例（数三 1995）. 设

f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}

，求

f^{(n)} (x)

。
解. 对分式直接反复求导会越来越繁，应先分离出常数，再用公式：

f (x) = \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{- ( 1 + x ) + 2}{1 + x} = - 1 + \frac{2}{x + 1} .

常数

- 1

的各阶导数都是

0

；对

\frac{1}{x + 1}

用公式

(\frac{1}{x + 1})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{( x + 1 ) ^{n + 1}}

，得

f^{(n)} (x) = \frac{2 ( - 1 ) ^{n} n !}{( x + 1 ) ^{n + 1}} (n \geq 1) .

■

（分离出常数以后只剩一项

\frac{1}{x + 1}

，比先作部分分式更简便。）

3. 莱布尼茨公式：适用于多项式 $\times$ （指数函数或三角函数）的乘积★★ 必会

乘积的

n

阶导数不是

u^{(n)} v^{(n)}

，而由莱布尼茨公式

(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}

给出，其中的系数与二项式展开

(a + b)^{n}

的系数相同。它最适用的情形是：当

v

为

m

次多项式时有

v^{(k)} = 0 (k > m)

，于是求和被截断，只剩前

m + 1

项，计算量大为减少。使用时应把容易求导的因子（

e^{a x}

、

sin, cos

）取作

u

，把多项式取作

v

。

证明 / 推导

用数学归纳法证明莱布尼茨公式. 设

u, v

都有

n

阶导数。

当

n = 1

时，由乘积的求导法则得

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

，而

(0 1) = (1 1) = 1

，故公式成立。

设公式对

n

成立，即

(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}

。两边对

x

求导，逐项使用乘积的求导法则，得

(uv)^{(n + 1)} = k = 0 \sum n (k n) [u^{(k + 1)} v^{(n - k)} + u^{(k)} v^{(n + 1 - k)}] = k = 0 \sum n (k n) u^{(k + 1)} v^{(n - k)} + k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n + 1 - k)} .

在第一个和中作代换

j = k + 1

，它化为

\sum_{j = 1}^{n + 1} (j - 1 n) u^{(j)} v^{(n + 1 - j)}

；第二个和中把

k

改记为

j

，即

\sum_{j = 0}^{n} (j n) u^{(j)} v^{(n + 1 - j)}

。把两者相加，则

u^{(j)} v^{(n + 1 - j)}

的系数为

(j - 1 n) + (j n)

。由组合数的递推关系

(j - 1 n) + (j n) = (j n + 1) (1 \leq j \leq n),

又

j = 0

与

j = n + 1

这两项的系数分别为

(0 n) = 1 = (0 n + 1)

与

(n n) = 1 = (n + 1 n + 1)

，故

(uv)^{(n + 1)} = j = 0 \sum n + 1 (j n + 1) u^{(j)} v^{(n + 1 - j)},

即公式对

n + 1

也成立。由归纳原理，公式对一切正整数

n

都成立。

由此可见，莱布尼茨公式中的系数与二项式展开中的系数相同。二者的来源都是上面这条递推关系，递推的方式一样，起始的值也一样。求和被截断的道理也就清楚了。多项式每求一次导数，次数降低一次，故

m

次多项式的

m + 1

阶及更高阶导数都为零。于是公式中

v

的求导阶数超过

m

的各项全部消失。

■

举例说明

例. 求

y = x^{2} sin x

的

y^{(n)}

。
解. 取

u = sin x, v = x^{2}

，则

v^{'} = 2 x, v^{''} = 2, v^{(k)} = 0 (k \geq 3)

，而

u^{(m)} = sin (x + \frac{mπ}{2})

，于是

y^{(n)} = (0 n) x^{2} sin (x + \frac{nπ}{2}) + (1 n) 2 x sin (x + \frac{( n - 1 ) π}{2}) + (2 n) 2 sin (x + \frac{( n - 2 ) π}{2}) .

即

y^{(n)} = x^{2} sin (x + \frac{nπ}{2}) + 2 n x sin (x + \frac{( n - 1 ) π}{2}) + n (n - 1) sin (x + \frac{( n - 2 ) π}{2})

。

■

4. 由麦克劳林展开式求高阶导数值： $f^{(n)} (0) = n! a_{n}$ ★★ 必会

求某一点（特别是

x = 0

）处的高阶导数值时，往往不必先求通项，而可以借助泰勒系数公式

a_{k} = \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !}

反过来求。若已知（或容易写出）

f (x) = \sum a_{k} x^{k}

，则

f^{(n)} (0) = n! a_{n} .

这里要利用常用的展开式，经代入与四则运算迅速求出

x^{n}

的系数，并且不要漏乘 $n!$ 。

证明 / 推导

证. 设

f

在

x = 0

处

n

阶可导。由带佩亚诺余项的麦克劳林公式，

f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} + o (x^{n}) (x \to 0) .

解题时往往不是靠求导得到展开式，而是把已知的展开式经代入、乘法或除法化成另一个形状的式子

f (x) = k = 0 \sum n a_{k} x^{k} + o (x^{n}) (x \to 0) .

只有当这两组系数必定相同时，才可以由

a_{n}

反过来求

f^{(n)} (0)

。下面证明它们确实相同。
记

c_{k} = a_{k} - \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !}

。两式相减，得

c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots + c_{n} x^{n} = o (x^{n}) (x \to 0) .

令

x \to 0

。左端趋于

c_{0}

，右端趋于

0

，故

c_{0} = 0

。把

c_{0} = 0

代回，两端同除以

x

。因为

o (x^{n}) / x = o (x^{n - 1})

，所以

c_{1} + c_{2} x + \dots + c_{n} x^{n - 1} = o (x^{n - 1}) (x \to 0) .

再令

x \to 0

，得

c_{1} = 0

。如此逐次进行，依次得到

c_{0} = c_{1} = \dots = c_{n} = 0

。于是

a_{k} = \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !}

，取

k = n

即得

f^{(n)} (0) = n! a_{n}

。
这就证明了：函数在

0

处准确到

x^{n}

项的展开式是唯一的。所以不论用什么途径写出展开式，

x^{n}

的系数都是同一个数。
必须注意两点. 其一，要求

f

在

0

处

n

阶可导，否则

f^{(n)} (0)

无从谈起。其二，所写的展开式必须准确到

x^{n}

项，余项为

o (x^{n})

。如果只展开到低于

n

的次数，就读不出

a_{n}

。

■

举例说明

例（数三 2007）. 设

y = \frac{1}{2 x + 3}

，求

y^{(n)} (0)

。
解法一（由麦克劳林系数求）.

\frac{1}{2 x + 3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2 x}{3}} = \frac{1}{3} k = 0 \sum \infty (- \frac{2 x}{3})^{k} = k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k} 2 ^{k}}{3 ^{k + 1}} x^{k}

，
故

x^{n}

的系数为

a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n}}{3 ^{n + 1}}

，再由

f^{(n)} (0) = n! a_{n}

得

y^{(n)} (0) = \frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n} n !}{3 ^{n + 1}}

。
解法二（先求通项，再代入 $0$ ）.

y^{(n)} = (- 1)^{n} 2^{n} n! (2 x + 3)^{- (n + 1)}

，代入

x = 0

，同样得

\frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n} n !}{3 ^{n + 1}}

。

■

💡 小知识

莱布尼茨求乘积

n

阶导数的公式

\sum (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}

与二项式展开

(a + b)^{n}

用的是同一组系数

(k n)

。求导与乘方这两件看似无关的事，用的却是同一套帕斯卡三角。数学里这样的结构呼应并不少见。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

y = e^{2 x}

的

n

阶导数

y^{(n)}

。难度 1

逐阶求导找规律：

y^{'} = 2 e^{2 x}, y^{''} = 2^{2} e^{2 x}, y^{'''} = 2^{3} e^{2 x}, \dots

，每求一次带出一个因子

2

。故

y^{(n)} = 2^{n} e^{2 x} .

（一般地

(e^{a x})^{(n)} = a^{n} e^{a x}

。）

例 2 求

y = \frac{1}{x + 1}

的

n

阶导数。难度 1

y = (x + 1)^{- 1}

，逐阶求导：

y^{'} = - (x + 1)^{- 2}, y^{''} = 2 (x + 1)^{- 3}, y^{'''} = - 6 (x + 1)^{- 4}, \dots

符号正负交替、系数是阶乘：

y^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{( x + 1 ) ^{n + 1}} .

例 3 求

y = \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 2}

的

n

阶导数。难度 2

先部分分式：

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

，设

\frac{1}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}, A = - 1, B = 1,

即

y = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}

。再对每项套公式

(\frac{1}{x - a})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{( x - a ) ^{n + 1}}

：

y^{(n)} = (- 1)^{n} n! [\frac{1}{( x - 2 ) ^{n + 1}} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{n + 1}}] .

例 4 用莱布尼茨公式求

y = x^{2} e^{x}

的

n

阶导数（

n \geq 2

）。难度 2

取

u = e^{x}, v = x^{2}

。因

v^{'} = 2 x, v^{''} = 2, v^{(k)} = 0 (k \geq 3)

，莱布尼茨求和只剩

k = 0, 1, 2

三项；又

(e^{x})^{(m)} = e^{x}

：

y^{(n)} = (0 n) e^{x} x^{2} + (1 n) e^{x} \cdot 2 x + (2 n) e^{x} \cdot 2.

由

(1 n) = n, (2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}

：

y^{(n)} = e^{x} [x^{2} + 2 n x + n (n - 1)] .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

已知可导函数

y = y (x)

满足

a e^{x} + y^{2} + y - ln (1 + x) cos y + b = 0

，且

y (0) = 0, y^{'} (0) = 0

。（Ⅰ）求

a, b

的值；（Ⅱ）判断

x = 0

是否为

y (x)

的极值点。

2022 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

f (x) = e^{s i n x} + e^{- s i n x}

，则

f^{'''} (2 π) =

______.

2019 年 · 数三 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

曲线

y = x sin x + 2 cos x (- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2})

的拐点坐标为

2019 年 · 数三 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (u, v)

具有

2

阶连续偏导数，函数

g (x, y) = x y - f (x + y, x - y)

. 求

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}}

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

(e^{3 x})^{(n)} =

（　）

A $3 e^{3 x}$
B $3^{n} e^{3 x}$
C $e^{3 x}$
D $n 3^{n - 1} e^{3 x}$

练习 2 · 选择题

(sin x)^{(4)} =

（　）

A $sin x$
B $- sin x$
C $cos x$
D $- cos x$

练习 3 · 填空题

设

y = x e^{x}

，则

y^{(n)} =

____。

练习 4 · 填空题

设

f (x) = \frac{1}{1 - x}

，则

f^{(n)} (0) =

____。

练习 5 · 填空题

设

f (x) = ln (1 + x^{2})

，则

f^{(4)} (0) =

____。

练习 6 · 选择题

设

y = sin^{2} x

，则当

n \geq 1

时

y^{(n)} =

（　）。

A $2^{n - 1} cos (2 x + \frac{nπ}{2})$
B $- 2^{n - 1} sin (2 x + \frac{nπ}{2})$
C $- 2^{n} cos (2 x + \frac{nπ}{2})$
D $- 2^{n - 1} cos (2 x + \frac{nπ}{2})$

练习 7 · 填空题

设

f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}

，则

f^{(5)} (0) =

____。

练习 8 · 解答题

设

y = arctan x

。

(1) 证明：对一切正整数

n

，有

(1 + x^{2}) y^{(n + 1)} + 2 n x y^{(n)} + n (n - 1) y^{(n - 1)} = 0;

(2) 求

y^{(n)} (0)

。

2007 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设函数

y = \frac{1}{2 x + 3}

，则

y^{(n)} (0) =

______.

2006 年 · 数三 · 第 2 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (x)

在

x = 2

的某邻域内可导，且

f^{'} (x) = e^{f (x)}

，

f (2) = 1

，则

f^{'''} (2) =

______.

高阶导数

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 求 n 阶导数通项公式的三个步骤：先算若干阶，再找规律，必要时用归纳法★ 要懂

2. 有理函数的高阶导数：先化为部分分式，再逐项使用 ax+b1​ 的公式★★ 必会

3. 莱布尼茨公式：适用于多项式 ×（指数函数或三角函数）的乘积★★ 必会

4. 由麦克劳林展开式求高阶导数值：f(n)(0)=n!an​★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 求 $n$ 阶导数通项公式的三个步骤：先算若干阶，再找规律，必要时用归纳法★ 要懂

2. 有理函数的高阶导数：先化为部分分式，再逐项使用 $\frac{1}{a x + b}$ 的公式★★ 必会

3. 莱布尼茨公式：适用于多项式 $\times$ （指数函数或三角函数）的乘积★★ 必会

4. 由麦克劳林展开式求高阶导数值： $f^{(n)} (0) = n! a_{n}$ ★★ 必会