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求导法则（四则、复合、反函数）

高等数学 · 一元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 基本导数表：十几条，必须张口就答

(C)^{'} (sin x)^{'} (tan x)^{'} (e^{x})^{'} (ln x)^{'} = 0, = cos x, = sec^{2} x, = e^{x}, = \frac{1}{x}, (x^{a})^{'} (cos x)^{'} (cot x)^{'} (a^{x})^{'} (lo g_{a} x)^{'} = a x^{a - 1}, = - sin x, = - csc^{2} x, = a^{x} ln a, = \frac{1}{x ln a} .

反三角那四条单独列，它们在积分里天天要倒着用：

(arcsin x)^{'} (arccos x)^{'} (arctan x)^{'} (arccot x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}, = - \frac{1}{1 - x ^{2}}, = \frac{1}{1 + x ^{2}}, = - \frac{1}{1 + x ^{2}} .

带「co」的那几个都带负号（

cos

、

cot

、

arccos

、

arccot

），这是一条好用的记忆线索。

幂函数那条要会用在根号和倒数上：

(x)^{'} = \frac{1}{2 x}

、

(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}

，都是

a

取

\frac{1}{2}

、

- 1

的情形。

2. 四则运算法则

设

u = u (x)

、

v = v (x)

都可导，则

(u \pm v)^{'} (uv)^{'} (\frac{u}{v})^{'} = u^{'} \pm v^{'}, = u^{'} v + u v^{'}, = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} (v \neq = 0) .

后两条都不是「各求各的」，这是最要紧的一点：

$(uv)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ . 取

u = v = x

一验就知道：左端是

(x^{2})^{'} = 2 x

，右端是

1

。

商的法则分子是减号，而且次序不能换.

u^{'} v - u v^{'}

，前一项是「分子先求导」。写成

u v^{'} - u^{'} v

就差一个负号，这是最常见的失分。

两条常用的推论：

(C u)^{'} = C u^{'}

（常数提出来），以及

(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}

（商法则取

u = 1

）。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

这一条的「证明 / 推导」里，已经按定义证过乘积法则

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

。它的关键手法只有一步：把增量 $(u + Δ u) (v + Δ v) - uv$ 拆成三块，让每一块都出现

Δ u

或

Δ v

，再除以

Δ x

取极限。

下面这条用的是同一个手法，区别只在于：商的增量要先通分，通分之后分子上照样是「加一项减一项」。先把那一段看懂，再动笔。请你照着同一套做法，按定义证明商的求导法则：设

u

、

v

在

x

处可导且

v (x) \neq = 0

，则

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} .

3. 复合函数：链式法则，一层一层往里剥

设

y = f (u)

、

u = g (x)

都可导，则复合函数

y = f (g (x))

可导，且

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x},

写成函数记号就是

[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) .

最常漏的就是后面那个 $g^{'} (x)$ ，老师口中的「别忘了乘里面的导数」。

多层复合时一层一层乘下去，从外往里剥：

[f (g (h (x)))]^{'} = f^{'} (g (h (x))) \cdot g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) .

动笔时的办法是：先把式子的最外层认出来（是幂？是

sin

？是

ln

？），对它用基本公式，把里面整块原样抄下来，再乘上里面那块的导数。

4. 三类式子的对付办法：先认结构，再动笔

基础阶段看到一个式子，先问它是什么结构，再决定用哪条法则：

相加减 相乘 相除 套在一起 逐项求导 (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} 链式：外层 \times 内层

复杂的式子往往几种混在一起，这时从最外层开始判：整个式子最外面是加减、是乘除、还是复合？定下来之后，里面的部分留到下一步再拆。

两条能省事的小技巧：

① 能先化简就先化简.

y = ln \frac{x}{1 + x}

先拆成

ln x - ln (1 + x)

再求导，比直接上链式加商法则快得多。

② 常数不要卷进乘积法则.

(3 sin x)^{'} = 3 cos x

，直接提出来，没必要写成

0 \cdot sin x + 3 cos x

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求导的通用次序：先认最外层结构

第一步：看整个式子最外层是什么——加减、乘、除，还是复合。

第二步：对最外层用相应的法则，里面的整块原样抄下来。

第三步：对抄下来的那一块重复第一、二步，直到剩下基本函数。

第四步：整理。能先化简的（

ln

里的乘除、根号写成幂）在第一步之前就做掉。

例求

y = sin^{2} (3 x)

的导数。

第一步，认最外层。把

sin 3 x

看成一整块

u

，则

y = u^{2}

——最外层是平方，不是

sin

，更不是

3 x

。

第二步，对最外层用幂函数法则：

y^{'} = 2 u \cdot u^{'} = 2 sin (3 x) \cdot (sin 3 x)^{'} .

第三步，再处理

u = sin (3 x)

，它的最外层是

sin

：

(sin 3 x)^{'} = cos (3 x) \cdot (3 x)^{'} = 3 cos (3 x) .

第四步，合起来

y^{'} = 2 sin (3 x) \cdot 3 cos (3 x) = 6 sin (3 x) cos (3 x) = 3 sin (6 x) .

链式法则：外层公式 $\times$ 内层导数

第一步：认出外层函数（

sin

、

ln

、幂、

e

…）与内层整块

u

。

第二步：写出外层的导数公式，把

u

整块代进去。

第三步：乘上

u^{'}

——这一步最常漏。

第四步：

u

本身还是复合的，就对它重复一遍。

(sin 3 x^{2})^{'} = cos (3 x^{2}) \cdot 6 x

。

例求

y = e^{x}

的导数。

第一步，拆成两层：外层

e^{u}

，内层

u = x

。

第二步，外层套公式（

u

原样抄回来）：

(e^{u})^{'} = e^{u} = e^{x}

。

第三步，内层求导：

(x)^{'} = \frac{1}{2 x}

。

第四步，两者相乘：

y^{'} = e^{x} \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{e ^{x}}{2 x} .

漏掉第三步就是最常见的错——只写

e^{x}

。

幂指函数与连乘连除：取对数再求导

第一步：认出形状——

u (x)^{v (x)}

，或者三四个因子连乘连除。

第二步：两边取对数，用对数法则把乘除变加减、把指数搬下来。

第三步：两边对

x

求导，左端是

\frac{y ^{'}}{y}

（链式）。

第四步：乘回

y

，把原式代回去。

例求

y = x^{x}

（

x > 0

）的导数。

第一步，底和指数都含

x

：幂函数法则要求指数是常数，指数函数法则要求底是常数，两条都不适用。取对数：

ln y = x ln x .

第二步，两边对

x

求导。左边

y

是

x

的函数，按复合函数求导得

\frac{y ^{'}}{y}

；右边用乘积法则：

\frac{y ^{'}}{y} = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1.

第三步，把

y

乘回去：

y^{'} = y (ln x + 1) = x^{x} (ln x + 1) .

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$(uv)^{'}$ 写成 $u^{'} v^{'}$

取

u = v = x

就能否掉：左端

2 x

，右端

1

。

正确的是

u^{'} v + u v^{'}

——两项，不是一项。证明里那三块增量中，

Δ u \cdot Δ v

才对应

u^{'} v^{'}

，而它恰恰消失了。

商法则的负号与次序

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

：分子是减号，且分子先求导的那一项在前。

写成

u v^{'} - u^{'} v

整体差一个负号。固定写法：先落笔

u^{'} v

，再写

- u v^{'}

。

例例. 求

y = \frac{x}{x + 1}

的导数。

对：分子先求导的那一项在前，中间是减号——

y^{'} = \frac{1 \cdot ( x + 1 ) - x \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} .

写反（分子写成

u v^{'} - u^{'} v

）会得到

- \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

，整体差一个负号。

怎么当场发现写反了：

y = \frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

显然是增函数，导数必须为正。算完符号不对，就是次序写反了。

链式法则漏乘内层导数

(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x

，不是

cos 2 x

；

(e^{x^{2}})^{'} = 2 x e^{x^{2}}

，不是

e^{x^{2}}

。

判据：括号里不是单独一个 $x$ ，就是复合的。写完回头看一眼有没有乘内层导数。

把 $a^{x}$ 当成幂函数

(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2

，不是

x \cdot 2^{x - 1}

。底是常数、指数是变量的是指数函数。

两处都是

x

的（

x^{x}

）两条都不能用，要取对数。动笔前先看清谁在底上、谁在指数上。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 表与四则

练 1

(ln x)^{'} =

________。

练 2

(2^{x})^{'} =

（）。

A $x \cdot 2^{x - 1}$
B $2^{x}$
C $2^{x} ln 2$
D $2^{x} / ln 2$

练 3

设

y = x^{2} sin x

，则

y^{'} =

________。

练 4

(\frac{u}{v})^{'} =

（）。

A $\frac{u ^{'}}{v ^{'}}$
B $\frac{u v ^{'} - u ^{'} v}{v ^{2}}$
C $\frac{u ^{'} v + u v ^{'}}{v ^{2}}$
D $\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

第二组 · 链式法则

练 5

设

y = sin 2 x

，则

y^{'} =

________。

练 6

设

y = e^{x^{2}}

，则

y^{'} =

________。

练 7

设

y = ln (1 + x^{2})

，则

y^{'} =

（）。

A $\frac{2 x}{1 + x ^{2}}$
B $\frac{1}{1 + x ^{2}}$
C $\frac{1}{2 x}$
D $2 x ln (1 + x^{2})$

练 8

设

y = 1 + x^{2}

，则

y^{'} =

________。

第三组 · 混合与取对数

练 9

设

y = ln \frac{x}{1 + x}

，求

y^{'}

最省事的做法是（）。

A直接用链式法则加商法则
B先拆成 $ln x - ln (1 + x)$ 再逐项求导
C两边取对数
D先求 $\frac{x}{1 + x}$ 的导数，再取对数

练 10

设

y = x^{x} (x > 0)

，则

y^{'} =

（）。

A $x \cdot x^{x - 1}$
B $x^{x} ln x$
C $x^{x} (ln x + 1)$
D $x^{x}$

练 11

设

y = \frac{sin x}{x}

，则

y^{'} =

________。

练 12

设

y = e^{s i n 2 x}

，则

y^{'} =

（）。

A $e^{s i n 2 x}$
B $2 e^{s i n 2 x} cos 2 x$
C $e^{s i n 2 x} cos 2 x$
D $e^{c o s 2 x} \cdot 2$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

求导法则（四则、复合、反函数）

先打基础

1. 基本导数表：十几条，必须张口就答

2. 四则运算法则

请你先证

3. 复合函数：链式法则，一层一层往里剥

4. 三类式子的对付办法：先认结构，再动笔

常用结构

求导的通用次序：先认最外层结构

链式法则：外层公式 × 内层导数

幂指函数与连乘连除：取对数再求导

基础易错

(uv)′ 写成 u′v′

商法则的负号与次序

链式法则漏乘内层导数

把 ax 当成幂函数

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

链式法则：外层公式 $\times$ 内层导数

$(uv)^{'}$ 写成 $u^{'} v^{'}$

把 $a^{x}$ 当成幂函数