导数与微分的概念

高等数学 · 一元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 导数的定义：增量之比的极限

设

f

在

x_{0}

的某邻域内有定义。若极限

Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}

存在，则称

f

在

x_{0}

可导，该极限称为

f

在

x_{0}

的导数，记作

f^{'} (x_{0})

。

换一个写法常常更好用（令

x = x_{0} + Δ x

）：

f^{'} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} .

两件事要看清楚。

① 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限. 分子分母同时趋于

0

——这正是上一章花那么大力气处理未定式的理由。

② 分母上那一块与分子里的增量必须是同一个. 分子是

f (□) - f (x_{0})

，分母就得是

□ - x_{0}

。题目把它写成

f (x_{0} + 2 h) - f (x_{0})

除以

h

时，要先凑出

2 h

再除回来。

导数刻画的是变化率：

Δ y

比

Δ x

，在

Δ x \to 0

时的极限。

2. 几何意义：切线的斜率

在曲线

y = f (x)

上取两点

(x_{0}, f (x_{0}))

与

(x, f (x))

，连成割线，其斜率正是

\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} .

让

x \to x_{0}

，割线绕着定点转，极限位置就是切线，斜率即

f^{'} (x_{0})

。

由此写出两条直线的方程（

y_{0} = f (x_{0})

）：

切线： 法线： y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}), y - y_{0} = - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (x - x_{0}) .

法线是过切点且垂直于切线的那条，斜率取负倒数（

f^{'} (x_{0}) \neq = 0

时）。

f^{'} (x_{0}) = 0

时切线水平（

y = y_{0}

），法线竖直（

x = x_{0}

）；导数为

\infty

时反过来，切线竖直——

y = 3 x

在原点就是这种。

3. 单侧导数：分段点要分左右

把定义里的极限改成单侧，就得到左导数与右导数：

f_{-}^{'} (x_{0}) f_{+}^{'} (x_{0}) = Δ x \to 0^{-} lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}, = Δ x \to 0^{+} lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} .

$f$ 在 $x_{0}$ 可导 $⟺$ 左右导数都存在且相等. 这与极限那里是同一条规矩。

哪些点必须分左右，清单和上一章一样：分段函数的分界点、含

∣ \cdot ∣

的点、以及图像有「尖角」的地方。

最该记住的例子是

y = ∣ x ∣

在

x = 0

：

f_{-}^{'} (0) = - 1, f_{+}^{'} (0) = 1,

两者不等，故不可导——尽管它在那里连续。图像上那是一个尖角，切线从左边的

- 1

一下子跳到右边的

1

，没有唯一的切线。

4. 可导 $\Rightarrow$ 连续，反过来不成立

定理. 若

f

在

x_{0}

可导，则

f

在

x_{0}

连续。

反过来不成立.

y = ∣ x ∣

在

x = 0

连续却不可导；

y = 3 x

在

x = 0

连续，导数为

\infty

（切线竖直），也不可导。

于是四个词有了确定的强弱次序：

可导 \Rightarrow 连续 \Rightarrow 极限存在,

而每一个箭头都不能反过来。考场上这三级台阶经常直接出成选择题。

这条定理的用处主要是否定：某点不连续，就不必再算导数了，一定不可导。

5. 微分：增量的线性主部， $d y = f^{'} (x) d x$

主站把这一条叫「导数与微分的概念」，微分是同一件事的另一副面孔。

设

y = f (x)

可导。当自变量有增量

Δ x

时，函数的增量

Δ y

可以写成

Δ y = f^{'} (x) Δ x + o (Δ x),

其中第一项是

Δ x

的线性函数，第二项比

Δ x

高阶。称

f^{'} (x) Δ x

为

f

在

x

处的微分，记作

d y

。

对

y = x

用这个定义得

d x = Δ x

，于是习惯写成

d y = f^{'} (x) d x, f^{'} (x) = \frac{d y}{d x} .

这就是导数那个分式记号的来历——它真的是两个微分之比，不是一个整体符号。参数方程求导「上下各对

t

求导再相除」之所以成立，根子也在这里。

一元函数里可微与可导是一回事（多元就不是了）。所以「可微」在这一章只是换个说法。

微分最常用的地方是近似计算：

Δ x

很小时

f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x .

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用定义求导：写增量比，约分，取极限

第一步：写出

\frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}

，把

f

代进去展开。

第二步：化简，约掉分母上的

Δ x

（求极限时它不为零）。

第三步：令

Δ x \to 0

，读出结果。

题目把增量写成

2 h

、

- h

这类时，先凑成「分母与分子的增量一致」，多出来的系数提到外面。

例用定义求

f (x) = x^{2}

在

x_{0}

处的导数。

第一步，写增量比：

\frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} = \frac{( x _{0} + Δ x ) ^{2} - x _{0}^{2}}{Δ x} .

第二步，分子展开成

x_{0}^{2} + 2 x_{0} Δ x + (Δ x)^{2}

，与

- x_{0}^{2}

抵消后剩

2 x_{0} Δ x + (Δ x)^{2}

，提出

Δ x

再约掉：

\frac{Δ x ( 2 x _{0} + Δ x )}{Δ x} = 2 x_{0} + Δ x .

约掉是允许的——求极限时

Δ x

趋于

0

但不等于

0

。

第三步，令

Δ x \to 0

：

f^{'} (x_{0}) = 2 x_{0}

。

切线 / 法线：先定切点，再算斜率

第一步：看清是「在某点处」还是「过某点」——后者那个点不是切点，要设切点

(a, f (a))

。

第二步：算

f^{'}

，得到斜率

k = f^{'} (a)

。

第三步：切线

y - f (a) = k (x - a)

；法线把

k

换成

- \frac{1}{k}

。

第四步：「过某点」的题，把该点坐标代进切线方程，解出

a

（可能不止一个）。

例求

y = x^{2}

在点

(1, 1)

处的切线与法线。

第一步，先看这个点在不在曲线上：

1^{2} = 1

，在曲线上，所以它就是切点，属于「在某点处」这一类。

第二步，

y^{'} = 2 x

，斜率

k = y^{'} (1) = 2

。

第三步，切线用点斜式

y - 1 = 2 (x - 1)

，整理得

y = 2 x - 1

。

法线斜率取负倒数

- \frac{1}{2}

，故

y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 1)

，整理得

y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

。

分段函数在分界点：先连续，再可导

第一步：算

f (x_{0}^{-})

、

f (x_{0}^{+})

、

f (x_{0})

，令三者相等——这是连续，得第一个方程。

第二步：按定义算

f_{-}^{'} (x_{0})

、

f_{+}^{'} (x_{0})

。

第三步：令两者相等——这是可导，得第二个方程。

第四步：联立解参数。次序不能反，可导以连续为前提。

例设

f (x) = {x^{2}, a x + b, x \leq 1 x > 1

在

x = 1

处可导，求

a

、

b

。

第一步（连续）：

f (1^{-}) = 1

，

f (1^{+}) = a + b

，

f (1) = 1

。三者相等给出第一个方程

a + b = 1.

第二步（按定义算单侧导数）：左边

f_{-}^{'} (1) = x \to 1^{-} lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1^{-} lim (x + 1) = 2.

右边先用

b = 1 - a

把分子写成

a x + 1 - a - 1 = a (x - 1)

：

f_{+}^{'} (1) = x \to 1^{+} lim \frac{a ( x - 1 )}{x - 1} = a .

第三步，可导要求两者相等：

a = 2

。

第四步，回代第一个方程得

b = 1 - 2 = - 1

。所以

a = 2

、

b = - 1

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

分母上的增量与分子里的不一致

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + 2 h ) - f ( x _{0} )}{h} = 2 f^{'} (x_{0})

，不是

f^{'} (x_{0})

。

先凑成

\frac{f ( x _{0} + 2 h ) - f ( x _{0} )}{2 h}

再把

2

提到外面。这类题考得极多，看到增量里带系数就先停一下。

例例. 已知

f^{'} (1) = 3

，求

h \to 0 lim \frac{f ( 1 + 2 h ) - f ( 1 )}{h}

。

错：看着像导数的定义，直接写

3

。

对：分子里的增量是

2 h

，分母是

h

，先配平——分母乘

2

，外面补回一个

2

：

\frac{f ( 1 + 2 h ) - f ( 1 )}{h} = 2 \cdot \frac{f ( 1 + 2 h ) - f ( 1 )}{2 h} .

右端那个分式当

h \to 0

时正是

f^{'} (1) = 3

，所以极限是

2 \times 3 = 6

。

分子里出现两处增量时要各自配平：

h \to 0 lim \frac{f ( 1 + 2 h ) - f ( 1 - h )}{h}

拆成

2 f^{'} (1) + f^{'} (1) = 9

。

把「过某点」当成「在某点处」

点不在曲线上时它不是切点，不能直接用

f^{'}

于该点。要设切点

(a, f (a))

，写出切线再代入该点解

a

。

动笔前先把点代进曲线方程验一下，这一步只要五秒。

例例. 求过点

(0, - 1)

且与

y = x^{2}

相切的直线。

先验这个点在不在曲线上：

0^{2} = 0 \neq = - 1

，不在——所以它不是切点。

错：取

k = y^{'} (0) = 0

，写出

y = - 1

。这条水平线和抛物线连碰都不碰。

对：设切点为

(a, a^{2})

，斜率

y^{'} (a) = 2 a

，切线

y - a^{2} = 2 a (x - a) .

把

(0, - 1)

代进去：

- 1 - a^{2} = - 2 a^{2}

，即

a^{2} = 1

，

a = \pm 1

。

于是有两条：

y = 2 x - 1

与

y = - 2 x - 1

。「过某点」常常不止一条，这也是它和「在某点处」的区别。

分界点处对两段分别求导再比

那算的是导函数的单侧极限，不是单侧导数。两者常常相等，但不总相等。

分界点一律回到定义式算

lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}

。

例例. 设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} sin \frac{1}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0

，问

f

在

0

处是否可导。

错：对

x \neq = 0

求导得

f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}

，令

x \to 0

发现振荡、没有极限，于是断定不可导。

对：回到定义算

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{x ^{2} sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0} = x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0,

用的是「有界量乘无穷小」。导数存在，等于

0

。

这就是标准反例：导函数的极限不存在，导数却存在。两者不是一回事。

把「连续」当成「可导」

∣ x ∣

在原点连续而不可导（尖角），

3 x

在原点连续而导数为

\infty

（竖直切线）。

次序是可导

\Rightarrow

连续

\Rightarrow

极限存在，三个箭头都不能反。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 定义怎么写

练 1

设

f (x) = x^{2}

，则

f^{'} (3) =

________。

练 2

f^{'} (x_{0})

的定义式是（）。

A $Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}$
B $Δ x \to 0 lim [f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})]$
C $\frac{f ( x _{0} )}{x _{0}}$
D $x \to x_{0} lim f (x)$

练 3

下列说法正确的是（）。

A连续必可导
B可导必连续
C极限存在必连续
D连续必有极限，且极限存在必可导

练 4

曲线

y = x^{2}

在点

(2, 4)

处的切线斜率为 ________。

第二组 · 增量要对得上

练 5

设

f

在

x_{0}

可导，则

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + 3 h ) - f ( x _{0} )}{h} =

（）。

A $f^{'} (x_{0})$
B $\frac{1}{3} f^{'} (x_{0})$
C $3 f^{'} (x_{0})$
D $0$

练 6

设

f

在

x_{0}

可导，则

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} - h )}{h} =

（）。

A $f^{'} (x_{0})$
B $2 f^{'} (x_{0})$
C $0$
D $- f^{'} (x_{0})$

练 7

曲线

y = x^{2}

在点

(1, 1)

处的法线方程为

y =

________（写成

k x + b

的形式，

k

、

b

用分数）。

练 8

f (x) = ∣ x ∣

在

x = 0

处（）。

A连续且可导
B不连续
C连续但不可导
D可导但不连续

第三组 · 分界点与过某点

练 9

设

f (x) = {x^{2}, a x + b, x \leq 1, x > 1,

在

x = 1

处可导，则

a =

________。

练 10

过点

(0, - 1)

作曲线

y = x^{2}

的切线，这样的切线共有（）。

A $0$ 条
B $1$ 条
C $3$ 条
D $2$ 条

练 11

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x sin \frac{1}{x}, 0, x \neq = 0, x = 0,

则

f

在

x = 0

处（）。

A可导
B连续但不可导
C不连续
D连续且导数为 $1$

练 12

设

f

可导且

f^{'} (2) = 5

，则

h \to 0 lim \frac{f ( 2 - h ) - f ( 2 )}{h} =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

导数与微分的概念

先打基础

1. 导数的定义：增量之比的极限

2. 几何意义：切线的斜率

3. 单侧导数：分段点要分左右

4. 可导 ⇒ 连续，反过来不成立

5. 微分：增量的线性主部，dy=f′(x)dx

常用结构

用定义求导：写增量比，约分，取极限

切线 / 法线：先定切点，再算斜率

分段函数在分界点：先连续，再可导

基础易错

分母上的增量与分子里的不一致

把「过某点」当成「在某点处」

分界点处对两段分别求导再比

把「连续」当成「可导」

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

4. 可导 $\Rightarrow$ 连续，反过来不成立

5. 微分：增量的线性主部， $d y = f^{'} (x) d x$