求单调区间：找分点，列表验符号
第一步：求 f′，找出 f′=0 的点与 f′ 不存在的点，连同函数的间断点。
第二步：用这些点把定义域分成若干区间。
第三步：每个区间里取一个好算的点（整数最省事），验 f′ 的符号。
第四步：列表写出结论。不同区间要分开写，不能用并集。例求 f(x)=x3−3x 的单调区间。
第一步，求导找分点：
f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1),
零点是 x=±1。f′ 处处存在、f 处处连续，所以分点就这两个。
第二步，把数轴分成 (−∞,−1)、(−1,1)、(1,+∞) 三段。
第三步，每段取一个好算的整数验符号：f′(−2)=9>0，f′(0)=−3<0，f′(2)=9>0。
第四步，写结论：增区间是 (−∞,−1) 与 (1,+∞)，减区间是 (−1,1)。两个增区间要分开写，不能写成并集。
求极值：两类嫌疑点，再判变号
第一步：找驻点（f′=0）与 f′ 不存在的点——两类都要找。
第二步：判断。首选第二充分条件（算 f′′ 的符号），快。
第三步：f′′=0 或 f′′ 不好算时，退回第一充分条件，看 f′ 在两侧变不变号。
第四步：算出极值（是函数值，不是 x 的坐标）。例求 f(x)=x3−3x 的极值。
第一步，找两类嫌疑点：f′=3(x−1)(x+1)=0 给出驻点 x=±1；f′ 处处存在，没有「不可导点」这一类。
第二步，判变号。用上一条的符号表：f′ 在 x=−1 处由 + 变 −，在 x=1 处由 − 变 +。
第三步，由正变负取极大，由负变正取极小，代回原函数算值：
f(−1)=(−1)3−3(−1)=2,f(1)=1−3=−2.
第四步，写结论：x=−1 处取极大值 2，x=1 处取极小值 −2。
注意极值点是横坐标、极值是纵坐标，问哪个答哪个。
求最值：三类点的函数值，比大小
第一步：找驻点、f′ 不存在的点。
第二步：加上两个端点。
第三步：算出这些点的函数值，列成一行。
第四步：比大小，最大的是最大值，最小的是最小值。不必判断谁是极值。例求 f(x)=x3−3x 在 [0,3] 上的最大值与最小值。
第一步，找区间内部的嫌疑点：驻点 x=±1 中只有 x=1 落在 (0,3) 内（x=−1 不在区间里，直接丢掉）；没有不可导点。
第二步，算三类点的函数值：
f(1)=−2,f(0)=0,f(3)=27−9=18.
第三步，比大小：最大值是 18（在 x=3 处取到），最小值是 −2（在 x=1 处取到）。
求最值不必判这些点是极大还是极小，直接比函数值——这是最值题比极值题省力的地方。