曲线的凹凸性与拐点

高等数学 · 一元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 凹凸性：二阶导的符号说了算

一阶导管「往上还是往下走」，二阶导管「怎么弯」。

定理. 设

f

在区间

I

上有二阶导数。若

f^{''} (x) > 0

，则曲线在

I

上凹（向上凹，形如碗）；若

f^{''} (x) < 0

，则凸（向下凸，形如倒扣的碗）。

道理不难想：

f^{''} > 0

说明

f^{'}

单调增加，即切线的斜率一路变大，曲线于是越来越往上翘，形成一个碗。

名字是个坑. 国内教材说的「凹」（

f^{''} > 0

）在许多英文书里叫 convex，而「凸」（

f^{''} < 0

）叫 concave，正好反过来。考研按国内教材的口径： $f^{''} > 0$ 是凹， $f^{''} < 0$ 是凸。

记不住名字就记形状：

y = x^{2}

的

f^{''} = 2 > 0

，它是个碗——那就是「凹」。

另一个等价的说法：凹的曲线位于其任意一条切线的上方，凸的在下方。判断「曲线与切线谁高」的题就是从这儿来的。

图上那条切线正是这么用的——凹的一段曲线在切线上方，凸的一段在下方；而在拐点处，切线由一侧穿到另一侧：

2. 拐点：凹凸性改变的那一点

曲线上凹凸性发生改变的点称为拐点。

两件事要分清：

① 拐点是曲线上的点，要写成坐标 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 。 极值填的是函数值、拐点填的是一对坐标，这是最常见的答非所问。

② 必要条件. 若

(x_{0}, f (x_{0}))

是拐点且

f^{''} (x_{0})

存在，则

f^{''} (x_{0}) = 0

。

反过来不成立：

y = x^{4}

在

0

处

f^{''} (0) = 0

，但两侧

f^{''} = 12 x^{2}

都为正，凹凸性没变，不是拐点。

所以 $f^{''} = 0$ 的点也只是嫌疑点，还要看两侧

f^{''}

变不变号。

和极值那里完全平行，嫌疑点同样有两类： $f^{''} = 0$ 的点，和 $f^{''}$ 不存在的点。

y = 3 x

在

0

处二阶导不存在，那里却是拐点。

3. 一阶导与二阶导分工：作图要同时看

把两者放在一起，曲线的形状就定下来了：

f^{'} > 0 f^{'} < 0 f^{''} > 0 增、变陡 减、变平 f^{''} < 0 增、变平 减、变陡

这四种形状各对应一段弧，作图时按区间拼起来即可。

分点也有两套：一阶导的分点（驻点、

f^{'}

不存在的点）定单调，二阶导的分点（

f^{''} = 0

、

f^{''}

不存在的点）定凹凸。作图时要把两套分点放到同一条数轴上，分成的小区间才是最终的分段。

列表是最稳的办法：一行

x

的区间，一行

f^{'}

的符号，一行

f^{''}

的符号，最后一行画出该段的形状（

↗

配凹凸）。

两个符号一共四种组合，各对应一段弧。记住这四段形状，列表时就不用回头想「这一段该往哪弯」：

4. 凹凸性的两个常见用处

① 判极值（第二充分条件的来历）.

f^{'} (x_{0}) = 0

且

f^{''} (x_{0}) > 0

时，曲线在那里是凹的（碗底），所以取极小值；

f^{''} (x_{0}) < 0

时是凸的（峰顶），取极大值。

这就是上一节那条判别法的几何解释——不是凭空规定的。

② 证不等式（曲线与切线、与弦的关系）.

凹函数位于其任意切线的上方：

f (x) \geq f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

取合适的

x_{0}

，这一条能直接变出一串经典不等式。例如对

f (x) = e^{x}

（处处凹）在

x_{0} = 0

处用，立得

e^{x} \geq 1 + x

；对

f (x) = ln x

（处处凸，不等号反向）在

x_{0} = 1

处用，立得

ln x \leq x - 1

。

凹函数还位于其任意弦的下方，写出来就是

f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{f ( a ) + f ( b )}{2} .

这一条叫琴生不等式，是「两点式」的版本。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求凹凸区间与拐点：和求单调极值完全平行

第一步：求

f^{''}

，找

f^{''} = 0

的点与

f^{''}

不存在的点。

第二步：用这些点分区间，每段验

f^{''}

的符号。

第三步：

f^{''} > 0

写「凹」，

f^{''} < 0

写「凸」。

第四步：两侧变号的分点是拐点，算出纵坐标，写成 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 。

例求

y = x^{3}

的凹凸区间与拐点。

第一步，求到二阶：

y^{'} = 3 x^{2}

，

y^{''} = 6 x

。

第二步，找分点：

y^{''} = 0

给出

x = 0

；

y^{''}

处处存在，没有第二类分点。

第三步，分成

(- \infty, 0)

与

(0, + \infty)

，各取一点验号：

y^{''} (- 1) = - 6 < 0

（凸），

y^{''} (1) = 6 > 0

（凹）。

第四步，

y^{''}

在

x = 0

两侧确实变号，所以那里是拐点；代回原函数求纵坐标

y (0) = 0

。

结论：凸区间

(- \infty, 0)

，凹区间

(0, + \infty)

，拐点是

(0, 0)

——写成点，不能只写 $x = 0$ 。

作图：两套分点合到一张表里

第一步：求

f^{'}

与

f^{''}

，各自找出分点。

第二步：把两套分点放到同一条数轴上，分成若干小区间。

第三步：列表，一行

f^{'}

的符号、一行

f^{''}

的符号。

第四步：按四种组合画出每段的形状，标出极值点与拐点。

例列出

y = x^{3} - 3 x

的单调性与凹凸性表。

第一步，两套分点各自来源不同：

y^{'} = 3 (x^{2} - 1)

给出

\pm 1

，

y^{''} = 6 x

给出

0

。

第二步，合起来是

- 1

、

0

、

1

，把数轴分成四段。

第三步，逐段验两个符号：

区间 (- \infty, - 1) (- 1, 0) (0, 1) (1, + \infty) y^{'} + - - + y^{''} - - + + 形状 ↗ \cap ↘ \cap ↘ \cup ↗ \cup

第四步，读表：

y^{'}

变号处给极值——极大值

y (- 1) = 2

、极小值

y (1) = - 2

；

y^{''}

变号处给拐点——

(0, 0)

。

只用

\pm 1

分段的话，

x = 0

处的凹凸变化就整个漏掉了。

用切线证不等式：选对切点

第一步：算

f^{''}

定凹凸——凹则曲线在切线上方，凸则在下方。

第二步：挑切点

x_{0}

。挑的原则是让切线方程最简单，通常取使

f (x_{0})

、

f^{'} (x_{0})

都好算的那个点（如

0

或

1

）。

第三步：写出切线

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

。

第四步：按凹凸方向写出不等号，并说明等号在切点处取到。

例证明

e^{x} \geq x + 1

对一切实数

x

成立。

第一步，

(e^{x})^{''} = e^{x} > 0

，曲线处处凹，因此它位于自己每一条切线的上方。

第二步，选切点。要证的右边

x + 1

是一条直线，就去找以它为切线的那个切点：切线斜率是

1

，由

e^{x_{0}} = 1

解得

x_{0} = 0

。

第三步，在

x_{0} = 0

处写出切线：

y = e^{0} + e^{0} (x - 0) = x + 1,

正好就是要证的右边。

第四步，由第一步「曲线在切线上方」即得

e^{x} \geq x + 1

，等号只在切点

x = 0

处取到。

切点选错这条路就走不通——比如取

x_{0} = 1

，切线是

e x

，证出来的是另一个不等式。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

拐点只写横坐标

拐点是曲线上的点，答案要写成

(x_{0}, f (x_{0}))

。

极值填的是函数值、拐点填的是一对坐标——两者填错位是常见的答非所问。

$f^{''} = 0$ 就断定是拐点

y = x^{4}

在

0

处

f^{''} = 0

，但两侧

f^{''}

都为正，凹凸没变，不是拐点。

判据是两侧变不变号，不是等不等于零。这与「驻点未必是极值点」完全平行。

漏掉 $f^{''}$ 不存在的点

y = 3 x

在

0

处二阶导不存在，而那里正是拐点。

嫌疑点有两类：

f^{''} = 0

的和

f^{''}

不存在的，和找极值时一样。

凹凸的名字记反

国内教材： $f^{''} > 0$ 是凹， $f^{''} < 0$ 是凸（英文书常常反过来）。

记不住名字就记形状：

y = x^{2}

的

f^{''} = 2 > 0

，它是个碗——那就是凹。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 二阶导与形状

练 1

若

f^{''} (x) > 0

在区间

I

上恒成立，则曲线在

I

上（）。

A凹（向上凹，形如碗）
B凸（向下凸）
C单调增加
D有拐点

练 2

设

y = x^{2}

，则

y^{''} =

________。

练 3

设

y = x^{3}

，则

y^{''} =

________。

练 4

拐点指的是（）。

A使 $f^{'} (x) = 0$ 的点
B曲线上凹凸性改变的点
C使 $f (x) = 0$ 的点
D函数取极值的点

第二组 · 求区间与拐点

练 5

y = x^{3} - 3 x

的拐点坐标为

(

________

, 0)

。

练 6

y = x^{4}

在

x = 0

处（）。

A有拐点，因为 $y^{''} (0) = 0$
B无拐点，因为 $y^{''}$ 在两侧都为正
C无拐点，因为 $y^{''} (0) \neq = 0$
D有拐点，因为它是驻点

练 7

设

f^{'} (x_{0}) = 0

且

f^{''} (x_{0}) > 0

，从凹凸性看，

x_{0}

处（）。

A是峰顶，取极大值
B是拐点
C是碗底，取极小值
D无法判断

练 8

y = x^{3}

的凸区间是

(- \infty,

________

)

。

第三组 · 作图与证不等式

练 9

作

y = x^{3} - 3 x

的图时，数轴上需要标出的分点是（）。

A $- 1, 0, 1$
B $- 1, 1$
C只有 $0$
D $- 2, 2$

练 10

用凹凸性证

ln x \leq x - 1 (x > 0)

，应取的切点是（）。

A $x_{0} = 0$
B任意点都一样方便
C $x_{0} = e$
D $x_{0} = 1$

练 11

设

f (x) = ln x

，则

f^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}

，故曲线在

(0, + \infty)

上是 ________（填「凹」或「凸」）。

练 12

下列说法错误的是（）。

A单调增加的曲线可以是凸的
B拐点处 $f^{''}$ 可以不存在
C $f^{''} (x_{0}) = 0$ 则 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 必是拐点
D凹函数位于其任意切线的上方

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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