曲线的凹凸性与拐点

§2.9 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.33 分/卷近 11 年平均

9/11 年出现年份

4.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）高阶导数函数的单调性与极值③ 掌握后可解锁导数应用：最值、渐近线、作图

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 二阶导数是斜率的变化率： $f^{''} > 0 \Leftrightarrow \cup$ （凹）★★ 必会

f^{''} = (f^{'})^{'}

刻画的不是曲线的升降，而是它的弯曲方向。如果

f^{''} > 0

，那么切线斜率

f^{'}

单调增大，曲线开口朝上（

\cup

，凹）；如果

f^{''} < 0

，那么开口朝下（

\cap

，凸）。严格地说，若曲线弧总位于其切线的上方，则称它是凹的，由此便可推出上述判据。

证明 / 推导

由 $f^{''} > 0$ 推出曲线位于切线上方. 设在区间

(a, b)

内恒有

f^{''} > 0

。任取定点

x_{0}

，该点处的切线为

L (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

。令

φ (x) = f (x) - L (x)

，则

φ (x_{0}) = 0, φ^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (x_{0})

，

φ^{'} (x_{0}) = 0

。因

φ^{''} = f^{''} > 0

，故

φ^{'}

严格单调增加，从而

φ^{'}

在

x_{0}

的左侧为负、右侧为正。于是

φ

在

x_{0}

处取得最小值

0

，即

φ (x) \geq 0

，也就是

f (x) \geq L (x)

。这说明曲线位于切线上方，即为凹弧。

■

2. 凹凸的中文名称容易记反：一律以 $f^{''} > 0 \Leftrightarrow \cup \Leftrightarrow$ 凹为准

按同济教材与考研的约定， $f^{''} > 0$ 时称为凹（ $\cup$ 形，形如碗底），

f^{''} < 0

时称为凸（

\cap

形）。这与日常语言中凸表示鼓起来的语感恰好相反，因此极易记反。为避免混淆，不要依赖字面的感觉，只需以

f^{''} > 0 \Leftrightarrow \cup \Leftrightarrow

凹这一条对应关系为准。此外还须注意，西方数学中的 convex 函数（

f^{''} \geq 0

）对应的是中文的凹函数，中英两种叫法恰好对调。

3. 求拐点的列表法： $f^{''} = 0$ 只是必要条件★★ 必会

求拐点的步骤如下：先求出使

f^{''} = 0

的点以及使

f^{''}

不存在的点，用它们把定义域分成若干区间，逐段判定

f^{''}

的符号，再看候选点两侧的符号是否改变。必须注意：

f^{''} (x_{0}) = 0

只是必要条件，若两侧符号不变，则该点不是拐点；反之，在

f^{''}

不存在而曲线仍连续的点处，也可能出现拐点。此外，拐点必须写成坐标点

(x_{0}, f (x_{0}))

的形式。

证明 / 推导

必要条件的证明. 设

(x_{0}, f (x_{0}))

是拐点，且

f^{''} (x_{0})

存在，下面证明

f^{''} (x_{0}) = 0

。

按拐点的定义，曲线在

x_{0}

的两侧凹凸性相反。不妨设曲线在

(x_{0} - δ, x_{0})

内是凹的，在

(x_{0}, x_{0} + δ)

内是凸的。在可导的前提下，凹弧上切线的斜率单调增加，凸弧上则单调减少。因此

f^{'}

在

(x_{0} - δ, x_{0})

内单调增加，在

(x_{0}, x_{0} + δ)

内单调减少。又因为

f^{''} (x_{0})

存在，所以

f^{'}

在

x_{0}

处可导，从而在

x_{0}

处连续。于是对左侧的

x

有

f^{'} (x) \leq f^{'} (x_{0})

，对右侧的

x

也有

f^{'} (x) \leq f^{'} (x_{0})

。这说明

f^{'}

在

x_{0}

处取得极大值。对可导函数

f^{'}

用费马定理，得

(f^{'})^{'} (x_{0}) = 0

，即

f^{''} (x_{0}) = 0

。若两侧的凹凸次序相反，只需把极大值换成极小值，证法相同。这就证明了

f^{''} (x_{0}) = 0

是拐点的必要条件。

■

反过来只需两侧变号. 如果

f

在

x_{0}

处连续，而

f^{''}

在

x_{0}

的两侧异号，那么两侧的凹凸性相反，按定义

(x_{0}, f (x_{0}))

就是拐点。这里并不要求

f^{''} (x_{0})

存在。因此在

f^{''}

不存在而曲线仍连续的点处也可能出现拐点。

一个便于使用的判别法. 如果

f^{''} (x_{0}) = 0

而

f^{'''} (x_{0}) \neq = 0

，那么

(x_{0}, f (x_{0}))

必是拐点。事实上，由导数的定义，得

f^{'''} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ^{''} ( x ) - f ^{''} ( x _{0} )}{x - x _{0}} = x \to x_{0} lim \frac{f ^{''} ( x )}{x - x _{0}} \neq = 0.

由极限的局部保号性，在

x_{0}

的某个去心邻域内，

\frac{f ^{''} ( x )}{x - x _{0}}

与

f^{'''} (x_{0})

同号。因为分母

x - x_{0}

在两侧异号，所以

f^{''} (x)

在两侧异号。由上面的充分条件即知它是拐点。用这一判别法可以省去列表。

举例说明

例. 判断

y = x^{4}

与

y = 3 x

在

0

处是否为拐点。
解. 对

y = x^{4}

，有

y^{''} = 12 x^{2}

。虽然

y^{''} (0) = 0

，但在其两侧恒有

y^{''} \geq 0

，符号不改变，所以

(0, 0)

不是拐点。
对

y = 3 x

，有

y^{''} = - \frac{2}{9} x^{- 5/3}

，它在

0

处不存在，但两侧符号改变（左凹右凸），所以

(0, 0)

是拐点。
这两个例子说明：使

f^{''} = 0

的点未必是拐点；

f^{''}

不存在的点也可能是拐点。

■

4. 用凹凸性证明不等式：詹森（Jensen）不等式的雏形★ 要懂

凹函数（

f^{''} > 0

，

\cup

）满足中点处的函数值不超过两端函数值的平均，即

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

；对凸函数则不等号反向。这是詹森不等式的雏形，也是许多平均值不等式的来源。使用时，应把待证的不等式看作某个凹函数或凸函数在中点处的值与两端平均值的比较。

证明 / 推导

由 $f^{''} > 0$ 推出中点不等式及其一般形式. 设

f

在区间

I

内二阶可导且

f^{''} > 0

。任取

x_{1}, x_{2} \in I

与

λ \in (0, 1)

，记

x_{0} = λ x_{1} + (1 - λ) x_{2} .

则

x_{0}

介于

x_{1}

与

x_{2}

之间，故

x_{0} \in I

。本节前面已经证明，

f^{''} > 0

时曲线位于任一点的切线上方，即对一切

x \in I

有

f (x) \geq f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

把

x = x_{1}

与

x = x_{2}

分别代入。前式两端乘以

λ

，后式两端乘以

1 - λ

，再相加，得

λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2}) \geq f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) [λ x_{1} + (1 - λ) x_{2} - x_{0}] .

方括号内等于

0

，于是

f (λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}) \leq λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2}) .

取

λ = \frac{1}{2}

，即得上面所说的中点不等式。凸函数的情形只须把

f^{''} > 0

换成

f^{''} < 0

，各不等号一律反向。

再看等号。当

f^{''} > 0

时，切线不等式中的等号只在

x = x_{0}

处成立。如果

x_{1} \neq = x_{2}

且

λ \in (0, 1)

，那么

x_{1}, x_{2}

都不等于

x_{0}

。所用的两个不等式都严格成立，因此结论也严格成立。可见等号成立当且仅当

x_{1} = x_{2}

。

最后指出它的几何形式。设

x

在

x_{1}

与

x_{2}

之间，取

λ = \frac{x _{2} - x}{x _{2} - x _{1}}

，则

x = λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}

，而不等式的右端

λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{2}) = \frac{( x _{2} - x ) f ( x _{1} ) + ( x - x _{1} ) f ( x _{2} )}{x _{2} - x _{1}}

是

x

的一次函数，它在

x_{1}, x_{2}

处的值分别为

f (x_{1}), f (x_{2})

，因而就是过两个端点的弦。这就证明了凹函数的曲线位于弦的下方，中点不等式是其中

x

取中点的情形。

■

举例说明

例. 证明：对任意实数

x_{1}, x_{2}

，有

\frac{e ^{x_{1}} + e ^{x_{2}}}{2} \geq e^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}

。
证. 令

f (x) = e^{x}

，则

f^{''} (x) = e^{x} > 0

，所以

f

是凹函数（

\cup

）。由凹函数的中点不等式

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2},

即得

e^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}} \leq \frac{e ^{x_{1}} + e ^{x_{2}}}{2}

，其中等号成立当且仅当

x_{1} = x_{2}

。

■

5. 割线斜率随端点右移而增大（三弦不等式）：不需要可导也能判凹凸★★ 必会

① 三弦不等式. 设

f

在区间

I

上的图形是凹的（

\cup

，下凸）。则对

I

内任意三点

x_{1} < x_{2} < x_{3}

恒有

\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} \leq \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{1} )}{x _{3} - x _{1}} \leq \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{2} )}{x _{3} - x _{2}} .

三个分式依次是弦

x_{1} x_{2}

、

x_{1} x_{3}

、

x_{2} x_{3}

的斜率。整句话就是：弦的斜率随着端点右移而增大。凸（

\cap

）的情形把不等号全部反向。

② 定点形式（考场上最常用的那一半）. 在

I

上取定一点

a

，令

g (x) = \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} (x \in I, x \neq = a),

它是点

(x, f (x))

与定点

(a, f (a))

连线的斜率。由 ① 立刻得到：

f

凹

\Rightarrow

g

在

I ∖ {a}

上单调递增。注意

a

落在区间端点时结论同样成立，此时

g

在整个

I ∖ {a}

上单调。

③ 这条为什么必须单独记：它不要求可导.

f^{''} > 0 \Rightarrow

凹是一条判定定理，前提是二阶可导；而 ① 是从凹凸性的定义直接推出的，只用到定义里的弦式不等式。题目一旦只说「

f

在区间上有定义」或者只给连续，

f^{''}

那条判据整个用不上，能救场的就只有三弦不等式。这不是偏门技巧——2026 年数一第 3 题与数二第 5 题（同一道）考的正是它。

④ 反过来不成立. 由「

g

单调递增」推不出「

f

凹」。反例见下面的例题：

g

在整个区间上确实递增，而

f

在一点间断，根本不是凹函数。原因在于

g

只约束了以定点 $a$ 为一端的那一族弦，而凹性要求任意两点的弦都满足不等式——前者的信息量本来就少一截。

证明 / 推导

证（① 中两个不等号）. 设

f

在

I

上是凹的，取

x_{1} < x_{2} < x_{3}

。令

λ 1 - λ = \frac{x _{3} - x _{2}}{x _{3} - x _{1}} \in (0, 1) = \frac{x _{2} - x _{1}}{x _{3} - x _{1}}

直接验算可知

λ x_{1} + (1 - λ) x_{3} = x_{2}

，即

x_{2}

是

x_{1}, x_{3}

的一个凸组合。由凹性（弦在曲线上方）得

f (x_{2}) \leq λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{3}) . (*)

左边那个不等号. 在

(*)

两端同减

f (x_{1})

：

f (x_{2}) - f (x_{1}) \leq (1 - λ) (f (x_{3}) - f (x_{1})) = \frac{x _{2} - x _{1}}{x _{3} - x _{1}} (f (x_{3}) - f (x_{1})) .

两端除以

x_{2} - x_{1} > 0

，即得

\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} \leq \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{1} )}{x _{3} - x _{1}}

。

右边那个不等号. 在

(*)

两端用

f (x_{3})

去减：

f (x_{3}) - f (x_{2}) \geq f (x_{3}) - λ f (x_{1}) - (1 - λ) f (x_{3}) = λ (f (x_{3}) - f (x_{1})) = \frac{x _{3} - x _{2}}{x _{3} - x _{1}} (f (x_{3}) - f (x_{1})) .

两端除以

x_{3} - x_{2} > 0

，即得

\frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{2} )}{x _{3} - x _{2}} \geq \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{1} )}{x _{3} - x _{1}}

。

■

注. 全程只用了

(*)

，也就是凹性的定义，没有用到任何一阶或二阶导数。若教材把凹凸定义成中点形式

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

，则在

f

连续的前提下它与一般的凸组合形式

(*)

等价（这是詹森不等式的标准结论），推导不受影响。

举例说明

例（2026 年数二第 5 题）. 设

f (x)

在

[- 1, 1]

上有定义，判断：「当

f (x)

的图形在

[- 1, 1]

上是凹的时，

\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}

在

[- 1, 1)

上单调递增」是否成立？其逆命题呢？

解. 正命题成立。取定点

a = 1

，由三弦不等式的定点形式 ②，

f

凹即得

g (x) = \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}

在

[- 1, 1)

上单调递增。注意题设只说「有定义」，既没有连续也没有可导，因此不能走 $f^{''}$ 那条路，只能回到定义——这正是本题的考点。

逆命题不成立. 取

f (x) = {x^{2}, x^{2} - 1, - 1 \leq x < 0, 0 \leq x \leq 1.

此时

f (1) = 0

，

g (x) = \frac{f ( x )}{x - 1}

。在

[0, 1)

上

f (x) = (x - 1) (x + 1)

，约分得

g (x) = x + 1

，从

1

增到

2

；在

[- 1, 0)

上

g (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}

，求导得

g^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}} > 0 (- 1 < x < 0),

从

- \frac{1}{2}

增到

0

。两段各自递增，且左段的值恒小于右段，故

g

在

[- 1, 1)

上整体单调递增。但

f

在

x = 0

处间断（

f (0^{-}) = 0

而

f (0) = - 1

），并不是凹函数。

■

坑. 这道题四个选项全在考「去掉可导性甚至连续性之后，哪些蕴含还成立」。凡是看到题设只给「有定义」，就该警觉：所有依赖导数的判据都失效了，必须退回定义层面的刻画。

💡 小知识

凹凸的叫法是中文微积分里最容易绕晕人的地方：同济教材把

f^{''} > 0

称为凹，恰好与日常所说的凸起相反。西方数学则用 convex（凸）函数指

f^{''} \geq 0

的情形，也就是中文说的凹函数。同一条

\cup

形曲线，中英文的叫法正好对调。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断曲线

y = x^{3}

的凹凸性并求拐点。难度 1

y^{'} = 3 x^{2}, y^{''} = 6 x

。

x < 0 : y^{''} < 0 (\cap, 凸); x > 0 : y^{''} > 0 (\cup, 凹) .

x = 0

两侧

y^{''}

变号，故

(0, 0)

是拐点。凸区间

(- \infty, 0)

，凹区间

(0, + \infty)

。

例 2 求曲线

y = x^{3} - 3 x^{2} + 1

的凹凸区间与拐点。难度 1

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x, y^{''} = 6 x - 6 = 6 (x - 1)

。

x < 1 : y^{''} < 0 (\cap, 凸); x > 1 : y^{''} > 0 (\cup, 凹) .

x = 1

处

y^{''}

变号。

y (1) = 1 - 3 + 1 = - 1

，故拐点为

(1, - 1)

。凸区间

(- \infty, 1)

，凹区间

(1, + \infty)

。

例 3 求曲线

y = x e^{- x}

的凹凸区间与拐点。难度 2

y^{'} = (1 - x) e^{- x}

，再求

y^{''} = - e^{- x} - (1 - x) e^{- x} = e^{- x} (x - 2) .

因

e^{- x} > 0

，

y^{''}

符号由

x - 2

决定：

x < 2 : y^{''} < 0 (\cap, 凸); x > 2 : y^{''} > 0 (\cup, 凹) .

x = 2

处变号，

y (2) = 2 e^{- 2} = \frac{2}{e ^{2}}

，拐点为

(2, \frac{2}{e ^{2}})

。

例 4 说明曲线

y = 3 x

在

x = 0

处是拐点，尽管此处

y^{''}

不存在。难度 2

y = x^{1/3}

，

y^{'} = \frac{1}{3} x^{- 2/3}

，

y^{''} = - \frac{2}{9} x^{- 5/3}

。

y^{''}

在

x = 0

不存在，但曲线在

0

处连续。看两侧符号（注意

x^{- 5/3}

与

x

同号）：

x < 0 : y^{''} = - \frac{2}{9} x^{- 5/3} > 0 (\cup, 凹); x > 0 : y^{''} < 0 (\cap, 凸) .

凹凸性在

0

处改变，故

(0, 0)

是拐点。结论：

f^{''}

不存在的点，只要连续且两侧

f^{''}

变号，同样是拐点。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

在区间

[- 1, 1]

上有定义，则（　　）

A当 $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 单调递减，在 $(0, 1)$ 单调递增时， $f (0)$ 是极小值
B当 $f (0)$ 是极小值时， $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 单调递减，在 $(0, 1)$ 单调递增
C当 $f (x)$ 的图形在 $[- 1, 1]$ 是凹的时， $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ 在 $[- 1, 1)$ 单调递增
D当 $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ 在 $[- 1, 1)$ 单调递增时， $f (x)$ 的图形在 $[- 1, 1]$ 是凹的

2026 年 · 数二 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

已知

M (x_{0}, y_{0})

是曲线

y = \frac{1}{1 + x ^{2}}

（

x \geq 0

）的拐点，

O

为坐标原点。记

D

是第一象限中以曲线

y = \frac{1}{1 + x ^{2}}

（

x \geq x_{0}

）、线段

O M

及

x

正半轴为边界的无界区域，求

D

绕

x

轴旋转所成旋转体的体积。

2025 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} sin t d t

，

g (x) = (\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t) \cdot sin^{2} x

，则（　　）

A $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，也是 $g (x)$ 的极值点
B $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的拐点
C $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点
D $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点，也是曲线 $y = g (x)$ 的拐点

2023 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x) = (x^{2} + a) e^{x}

。若

f (x)

没有极值点，但曲线

y = f (x)

有拐点，则

a

的取值范围是（　　）

A $[0, 1)$
B $[1, + \infty)$
C $[1, 2)$
D $[2, + \infty)$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

曲线

y = x^{3}

的拐点为（　）

A $(0, 0)$
B $(1, 1)$
C不存在
D $(- 1, - 1)$

练习 2 · 选择题

关于曲线

y = x^{4}

在

x = 0

处，下列正确的是（　）

A是拐点
B不是拐点
C是极大值点
D无法判断

练习 3 · 填空题

曲线

y = x^{3} - 3 x^{2} + 1

的拐点为 ____。

练习 4 · 填空题

曲线

y = e^{- x^{2}}

的两个拐点的横坐标为 ____。

练习 5 · 填空题

曲线

y = x^{3}

的凹区间为 ____。

练习 6 · 选择题

设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内二阶可导，且

f^{''} (x) = (x + 1)^{2} x (x - 2)^{4} (x - 3)

，则曲线

y = f (x)

的拐点个数为（　）

A $1$
B $4$
C $3$
D $2$

练习 7 · 填空题

曲线

y = x^{5/3} - 5 x^{2/3}

的拐点坐标为 ____。

练习 8 · 解答题

设

f (x) = x^{4} + a x^{3} + 6 x^{2}

（

a

为常数）。（1）讨论

a

取何值时曲线

y = f (x)

有拐点，并求出拐点的个数；（2）当

a = 5

时，求曲线的全部拐点与凹凸区间。

2022 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

在

x = x_{0}

处具有

2

阶导数，则（　　）

A当 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加时， $f^{'} (x_{0}) > 0$ .
B当 $f^{'} (x_{0}) > 0$ 时， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加.
C当 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数时， $f^{''} (x_{0}) > 0$ .
D当 $f^{''} (x_{0}) > 0$ 时， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数.

2022 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有

2

阶连续导数，证明：

f^{''} (x) \geq 0

的充分必要条件是对不同的实数

a, b

，

f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

曲线的凹凸性与拐点

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 二阶导数是斜率的变化率：f′′>0⇔∪（凹）★★ 必会

2. 凹凸的中文名称容易记反：一律以 f′′>0⇔∪⇔ 凹为准

3. 求拐点的列表法：f′′=0 只是必要条件★★ 必会

4. 用凹凸性证明不等式：詹森（Jensen）不等式的雏形★ 要懂

5. 割线斜率随端点右移而增大（三弦不等式）：不需要可导也能判凹凸★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 二阶导数是斜率的变化率： $f^{''} > 0 \Leftrightarrow \cup$ （凹）★★ 必会

2. 凹凸的中文名称容易记反：一律以 $f^{''} > 0 \Leftrightarrow \cup \Leftrightarrow$ 凹为准

3. 求拐点的列表法： $f^{''} = 0$ 只是必要条件★★ 必会