1. 极值与最值的区别：闭区间上还须比较端点处的函数值★★ 必会
极值是局部概念，最值是全局概念，二者不能混为一谈。设函数在闭区间 上连续，则它在这个区间上的最大值与最小值一定存在，而可能取到最值的点只有三类：驻点 不可导点 端点。也就是说，除了极值点以外，端点也常常是最大值或最小值的所在。如果函数在区间内部可导，并且只有唯一驻点，同时能判定它是极大值点，那么最大值就在这个驻点处取得。能判定它是极小值点时，最小值也在这里取得。判定的依据可以是问题本身的性质，也可以是二阶导数的符号。这时不必再与端点处的函数值比较。必须注意：内部可导与驻点唯一这两个条件都不能省去。如果区间内部还有不可导点，那么即使驻点唯一，最值也可能在端点取得。
证明 / 推导
候选点为什么只有那三类. 先证费马引理，它是整张候选点表的依据。费马引理. 设 是区间的内点， 在 处可导，且 是 的极值点，那么 。
证 不妨设 是极大值点。由极大值的定义，存在 ，使当 时有 ，即 。当 时分母为正，故
令 ，由极限的保号性得右导数 。当 时分母为负而分子仍不超过零，故上面的商大于或等于零；令 ，得左导数 。因 在 可导，左右导数相等，于是
故 。极小值的情形同理可证。
候选点表的完备性. 设 在 上连续。由最值定理， 在 上取到最大值，设它在 处取得。如果 或 ，那么 是端点。如果 ，那么 同时也是极大值，此时又分两种情形。若 在 可导，由费马引理得 ，即 是驻点。若 在 不可导，则 是不可导点。这三类之外再没有别的可能。最小值同理。这就证明了只需在驻点、不可导点与端点处比较函数值。
条件不能减弱. 上面用到了闭区间与连续这两个条件。如果区间不是闭的，最值可能根本不存在，例如 在 上既无最大值也无最小值。如果函数不连续，最值也可能不存在。因此比较端点处的函数值这一步，本身就以区间为闭区间、函数为连续函数作前提。
举例说明
例. 求 在 上的最值。解. ，得驻点 ，它们都在区间内部。比较驻点处与端点处的函数值：
可见最大值 与最小值 都在端点取得，而两个驻点给出的 既不是最大值也不是最小值。由此可见，如果不比较端点处的函数值，就会得出错误的结论。