曲线的凹凸性与拐点

§2.9 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.42 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

1.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）高阶导数函数的单调性与极值③ 掌握后可解锁导数应用：最值、渐近线、作图

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 凹凸性与拐点的定义：弦式不等式 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) ≶ \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$ 与 $f^{''}$ 变号判据★★ 必会

① 凹凸的定义（弦式不等式）：设

f

在区间

I

上连续。若对

I

内任意两点

x_{1} \neq = x_{2}

恒有

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2},

则称

f

在

I

上的图形是凹的（凹弧

\cup

：中点处函数值低于弦的中点，弦在曲线上方）；若恒有反向不等式

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) > \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2},

则称凸的（凸弧

\cap

，弦在曲线下方）。上述定义不依赖于函数的可导性，是一个几何定义。如果

f

可导，那么它等价于曲线位于每条切线的上方（凹）或下方（凸）。关于名称：中文教材所说的凹

\cup

对应英文的 convex（下凸），中英两种叫法恰好相反，因此判别时应以符号

\cup / \cap

为准。

② 判定定理（ $f^{''}$ 定号）：设

f

在

[a, b]

上连续、在

(a, b)

内二阶可导。若在

(a, b)

内

f^{''} (x) > 0

，则曲线在

[a, b]

上是凹的；若

f^{''} (x) < 0

，则是凸的。

③ 拐点的定义与判定：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点

(x_{0}, f (x_{0}))

称为拐点，拐点是曲线上的点，因此必须写成坐标

(x_{0}, f (x_{0}))

的形式，只写出

x_{0}

是不完整的。判定（设

f

在

x_{0}

的去心邻域内二阶可导）：
- 必要条件：若

f^{''} (x_{0})

存在且该点为拐点，则

f^{''} (x_{0}) = 0

；
- 充分条件（变号判据）：若

f^{''}

在

x_{0}

两侧异号，则

(x_{0}, f (x_{0}))

是拐点；两侧同号则不是。
由此可见，拐点的候选点只有两类：使

f^{''} = 0

的点，以及使

f^{''}

不存在的点（后者如

y = 3 x

在

x = 0

处二阶导数不存在，而该点仍是拐点）。求出候选点后，还须逐一检验

f^{''}

在其两侧是否确实变号。例如

y = x^{4}

在

0

处有

f^{''} = 12 x^{2} \geq 0

，两侧同号而不变号，因此

(0, 0)

不是拐点。

证明 / 推导

证（②之凹形： $f^{''} > 0 \Rightarrow$ 弦式不等式）. 任取

x_{1} < x_{2}

，记中点

x_{0} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}

，半距

h = \frac{x _{2} - x _{1}}{2} > 0

，则

x_{1} = x_{0} - h, x_{2} = x_{0} + h

。在

x_{0}

处对这两点分别写出带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：

f (x_{0} \pm h) ξ_{-} = f (x_{0}) \pm f^{'} (x_{0}) h + \frac{f ^{''} ( ξ _{\pm} )}{2} h^{2} \in (x_{1}, x_{0}), ξ_{+} \in (x_{0}, x_{2}) .

两式相加，其中一阶项

\pm f^{'} (x_{0}) h

相互抵消，得

f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2 f (x_{0}) + \frac{h ^{2}}{2} [f^{''} (ξ_{+}) + f^{''} (ξ_{-})] > 2 f (x_{0}),

即

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

。当

f^{''} < 0

时，不等号反向。

■

至于曲线位于切线上方这一等价刻画，其证明见下一条。

举例说明

例（2011·数一，选择）. 曲线

y = (x - 1) (x - 2)^{2} (x - 3)^{3} (x - 4)^{4}

的拐点是（A）

(1, 0)

（B）

(2, 0)

（C）

(3, 0)

（D）

(4, 0)

。

解. 判定的依据是拐点

⟺ f^{''}

变号。在候选点

x_{0}

附近把

y

写成

(x - x_{0})^{k} g (x)

（其中

g (x_{0}) \neq = 0

），则重数

k

决定了

y^{''}

在该点附近的性态。

- $x = 3$ （ $k = 3$ ）：

g (3) = (3 - 1) (3 - 2)^{2} (3 - 4)^{4} = 2 > 0

，故

x \to 3

时

y^{''} = 6 g (3) (x - 3) + o (x - 3) \approx 12 (x - 3)

，在

x = 3

两侧由负变正，即

f^{''}

变号，故

(3, 0)

是拐点；
- $x = 2$ （ $k = 2$ 偶）：

y^{''} (2) = 2 g (2) = 2 \times (- 16) = - 32 \neq = 0

，它连必要条件

f^{''} = 0

都不满足，故排除；
- $x = 4$ （ $k = 4$ 偶）：

y^{''} \approx 12 g (4) (x - 4)^{2}

且

g (4) = 12 > 0

，虽有

y^{''} (4) = 0

，但两侧同为正而不变号，故不是拐点；
- $x = 1$ （ $k = 1$ ）：

y^{''} (1) = 2 g^{'} (1)

，对

g = (x - 2)^{2} (x - 3)^{3} (x - 4)^{4}

用对数求导

\frac{g ^{'}}{g} = \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x - 3} + \frac{4}{x - 4}

，得

g^{'} (1) = (- 648) \times (- \frac{29}{6}) = 3132 \neq = 0

，故

y^{''} (1) \neq = 0

，也应排除。

故选 C。一般地，多项式在

k

重零点处，当

k

是不小于

3

的奇数时该点必为拐点，因为此时

y^{''} \sim (x - x_{0})^{k - 2}

变号；当

k

为偶数时该点必不是拐点。

■

2. $f^{''} > 0 \Rightarrow$ 凹是定理而非定义：用泰勒公式证明曲线位于切线上方★ 要懂

上面把曲线位于切线上方作为凹的几何定义，而把

f^{''} > 0

作为判定条件，两者的等价性需要证明。为此，在任意点

x_{0}

处作切线

L (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

，再用带拉格朗日余项的一阶泰勒公式比较

f (x)

与

L (x)

；二者之差的符号完全由

f^{''}

决定。这一证明把

f^{''}

控制曲线弯曲方向这一直观事实变成严格的结论，也是理解凹凸性的重要一步。

证明 / 推导

证（ $f^{''} > 0 \Rightarrow$ 曲线在切线上方，即凹 $\cup$ ）. 设在

(a, b)

内

f^{''} > 0

。任取

x_{0} \in (a, b)

，作切线

L (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

。把

f

在

x_{0}

处展开到一阶，并取拉格朗日余项，得

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( ξ )}{2} (x - x_{0})^{2}, ξ 介于 x_{0}, x 之间 .

与切线的表达式相减，得

f (x) - L (x) = \frac{f ^{''} ( ξ )}{2} (x - x_{0})^{2} \geq 0,

这是因为

f^{''} (ξ) > 0

且

(x - x_{0})^{2} \geq 0

，其中等号仅当

x = x_{0}

时成立，此时曲线与切线相切。于是曲线恒位于切线上方，即为凹。

■

当

f^{''} < 0

时，同理可证曲线位于切线下方，即为凸弧

\cap

。

3. 拐点的第二判据：若 $f^{''} (x_{0}) = 0$ 且 $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ ，则该点必是拐点★★ 必会

判定拐点通常依据

f^{''}

变号，这称为第一判据；如果

f^{'''} (x_{0})

便于计算，那么还有更简便的第二判据：若

f^{''} (x_{0}) = 0

且

f^{'''} (x_{0}) \neq = 0

，则

(x_{0}, f (x_{0}))

必是拐点。它与极值的第二充分条件形式上完全平行：极值的条件是

f^{'} = 0, f^{''} \neq = 0

，拐点的条件是

f^{''} = 0, f^{'''} \neq = 0

，只须把研究的对象由

f

降一阶换成

f^{'}

。必须注意，当

f^{'''} (x_{0}) = 0

时此判据失效。例如

x^{4}

在

0

处有

f^{''} (0) = f^{'''} (0) = 0

，而

0

并非拐点，此时应退回第一判据，考察

f^{''}

是否确实变号。

证明 / 推导

证. 设

f^{''} (x_{0}) = 0, f^{'''} (x_{0}) \neq = 0

。由于

f^{''} (x_{0}) = 0

，故

f^{'''} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ^{''} ( x ) - f ^{''} ( x _{0} )}{x - x _{0}} = x \to x_{0} lim \frac{f ^{''} ( x )}{x - x _{0}} \neq = 0.

由极限的保号性，

f^{''} (x)

与

x - x_{0}

在

x_{0}

的某去心邻域内恒同号（当

f^{'''} (x_{0}) > 0

时）或恒反号（当

< 0

时）。而

x - x_{0}

经过

x_{0}

时变号，从而

f^{''} (x)

在

x_{0}

两侧异号，即

f^{''}

在

x_{0}

处变号。这就证明了

(x_{0}, f (x_{0}))

是拐点。

■

4. 凹凸性的离散形式：詹森不等式及其对均值不等式的应用★ 要懂

把凹凸性推广到

n

个点，即得詹森(Jensen)不等式。设

f

二阶可导，各

x_{i}

都在区间内，权重

λ_{i} \geq 0, \sum λ_{i} = 1

，那么：
- 若

f^{''} \geq 0

（

\cup

，中文凹）：

f (\sum λ_{i} x_{i}) \leq \sum λ_{i} f (x_{i})

（函数值

\leq

弦）；
- 若

f^{''} \leq 0

（

\cap

，中文凸）：

f (\sum λ_{i} x_{i}) \geq \sum λ_{i} f (x_{i})

。
其中的对应关系是：

f^{''} \geq 0 \Leftrightarrow \cup \Leftrightarrow

弦在上方

\Leftrightarrow

函数值

\leq

弦。许多经典不等式（如 AM-GM 不等式与幂平均不等式）都是它对特定

f

的推论。

证明 / 推导

证（詹森不等式）. 设

f

在区间

I

上二阶可导且

f^{''} \geq 0

，各

x_{i} \in I

，权重

λ_{i} \geq 0

且

\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 1

。记

\overset{x}{ˉ} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x_{i}

。

第一步，说明 $\overset{x}{ˉ}$ 仍在 $I$ 内. 因为诸

λ_{i}

非负且其和为

1

，所以

1 \leq j \leq n min x_{j} = i = 1 \sum n λ_{i} j min x_{j} \leq i = 1 \sum n λ_{i} x_{i} \leq i = 1 \sum n λ_{i} j max x_{j} = 1 \leq j \leq n max x_{j} .

故

\overset{x}{ˉ}

介于诸

x_{i}

的最小者与最大者之间，从而仍属于区间

I

。这样才能在

\overset{x}{ˉ}

处作切线。

第二步，用切线不等式. 把

f

在

\overset{x}{ˉ}

处展开到一阶，并取拉格朗日余项，得

f (x) = f (\overset{x}{ˉ}) + f^{'} (\overset{x}{ˉ}) (x - \overset{x}{ˉ}) + \frac{f ^{''} ( ξ )}{2} (x - \overset{x}{ˉ})^{2},

其中

ξ

介于

\overset{x}{ˉ}

与

x

之间。因

f^{''} \geq 0

，余项非负，故对一切

x \in I

有

f (x) \geq f (\overset{x}{ˉ}) + f^{'} (\overset{x}{ˉ}) (x - \overset{x}{ˉ}) .

这就是曲线位于切线上方这一性质的解析形式。

第三步，加权求和. 在上式中取

x = x_{i}

，两端乘以

λ_{i} \geq 0

，不等号的方向不变。再对

i

从

1

到

n

求和，得

i = 1 \sum n λ_{i} f (x_{i}) \geq f (\overset{x}{ˉ}) i = 1 \sum n λ_{i} + f^{'} (\overset{x}{ˉ}) (i = 1 \sum n λ_{i} x_{i} - \overset{x}{ˉ} i = 1 \sum n λ_{i}) .

右端第一个和为

1

，括号内为

\overset{x}{ˉ} - \overset{x}{ˉ} = 0

，故右端等于

f (\overset{x}{ˉ})

。于是

f (i = 1 \sum n λ_{i} x_{i}) \leq i = 1 \sum n λ_{i} f (x_{i}) .

这就证明了

f^{''} \geq 0

时的詹森不等式。当

f^{''} \leq 0

时，对

- f

用上面的结论，不等号即反向。

等号何时成立. 设

f^{''} > 0

。这时第二步中的余项只在

x = \overset{x}{ˉ}

处为零。故切线不等式的等号仅在该点成立。第三步求和时若取等号，则每一项都必须取等号。也就是

λ_{i} > 0

时必有

x_{i} = \overset{x}{ˉ}

。因此等号成立当且仅当权重为正的那些

x_{i}

全部相等。例中 AM-GM 不等式的等号条件由此而来。

■

举例说明

例（用詹森证 AM-GM）. 证

\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} \dots a_{n} (a_{i} > 0)

。
证. 取

f (x) = ln x

，则

f^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} < 0

，故它是凸的（

\cap

）。在詹森不等式中取等权

λ_{i} = \frac{1}{n}

，得

ln (\frac{1}{n} i = 1 \sum n a_{i}) \geq \frac{1}{n} i = 1 \sum n ln a_{i} = ln (a_{1} \dots a_{n})^{1/ n} = ln n a_{1} \dots a_{n} .

由于

ln

单调增加，两端去掉对数即得

\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} \dots a_{n}

，等号当且仅当各

a_{i}

相等时成立。

■

5. 由凹凸性直接得到不等式：切线不等式常比构造辅助函数 $F$ 更简便★★ 必会

凹凸性本身就给出一族不等式：凹函数（ $\cup$ ）的图形恒在切线上方，由此得到切线不等式

f (x) \geq f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

；对凸函数（

\cap

）不等号方向相反。用法：如果待证的不等式有一端是一次式（切线或弦），那么可以找一个适当的凹函数或凸函数，用切线不等式一步得证，一般比构造辅助函数再求导更为简便。切点的选取：应使该点处的切线正好就是不等式中的那条直线，直线的斜率往往已经指明了切点的位置。

证明 / 推导

证（切点为什么由斜率定出）. 前面已经证明了：如果

f^{''} > 0

，那么曲线位于它的任一条切线的上方。这里补出另一半，即用切线不等式证明

f (x) \geq k x + m

时，切点应当取在何处。
命题. 设

f

在区间

I

上可导，

x_{0}

是

I

的内点。如果对一切

x \in I

有

f (x) \geq k x + m

，并且在

x_{0}

处取等号，那么

f^{'} (x_{0}) = k

，即直线

y = k x + m

就是曲线在

x_{0}

处的切线。
证. 令

F (x) = f (x) - k x - m

，则

F

在

I

上可导，且

F (x) \geq 0

，

F (x_{0}) = 0

。于是

x_{0}

是

F

在

I

上的最小值点。又

x_{0}

是内点，

F

在

x_{0}

处可导，由费马引理得

F^{'} (x_{0}) = 0

，即

f^{'} (x_{0}) - k = 0

，故

f^{'} (x_{0}) = k

。再由

F (x_{0}) = 0

知

f (x_{0}) = k x_{0} + m

，即该直线过点

(x_{0}, f (x_{0}))

。它既过这一点，斜率又等于

f^{'} (x_{0})

，故它就是曲线在

x_{0}

处的切线。
由此可知：待证不等式的一端是一次式

k x + m

时，切点由方程

f^{'} (x_{0}) = k

定出。如果还有

f^{''} > 0

，那么

f^{'}

严格单调增加，这个方程至多有一个根，因而切点唯一。定出切点以后，只需再验证常数项相符，即

f (x_{0}) - f^{'} (x_{0}) x_{0} = m

，所要的不等式便由切线不等式直接得出。
最后交代条件。切线不等式要求

f^{''} \geq 0

在所论的整个区间上成立。如果凹性只在区间的一部分上成立，那么不等式也只在这一部分上成立，不能推广到整个区间。

■

举例说明

例. 证明对一切实数

x

，

e^{x} \geq e x

。
证. 令

f (x) = e^{x}

，则

f^{''} (x) = e^{x} > 0

，故

f

是凹的（

\cup

），其图形恒在任一切线的上方。在

x_{0} = 1

处作切线，得

L (x) = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = e + e (x - 1) = e x .

由切线不等式

f (x) \geq L (x)

即得

e^{x} \geq e x

，其中等号仅当

x = 1

时成立。

■

这里之所以取切点

x_{0} = 1

，是因为待证不等式右端

e x

的斜率

e = f^{'} (1)

已经指明了切点的位置。

6. 割线斜率随端点右移而增大（三弦不等式）：不需要可导也能判凹凸★★ 必会

① 三弦不等式. 设

f

在区间

I

上的图形是凹的（

\cup

，下凸）。则对

I

内任意三点

x_{1} < x_{2} < x_{3}

恒有

\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} \leq \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{1} )}{x _{3} - x _{1}} \leq \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{2} )}{x _{3} - x _{2}} .

三个分式依次是弦

x_{1} x_{2}

、

x_{1} x_{3}

、

x_{2} x_{3}

的斜率。整句话就是：弦的斜率随着端点右移而增大。凸（

\cap

）的情形把不等号全部反向。

② 定点形式（考场上最常用的那一半）. 在

I

上取定一点

a

，令

g (x) = \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} (x \in I, x \neq = a),

它是点

(x, f (x))

与定点

(a, f (a))

连线的斜率。由 ① 立刻得到：

f

凹

\Rightarrow

g

在

I ∖ {a}

上单调递增。注意

a

落在区间端点时结论同样成立，此时

g

在整个

I ∖ {a}

上单调。

③ 这条为什么必须单独记：它不要求可导.

f^{''} > 0 \Rightarrow

凹是一条判定定理，前提是二阶可导；而 ① 是从凹凸性的定义直接推出的，只用到定义里的弦式不等式。题目一旦只说「

f

在区间上有定义」或者只给连续，

f^{''}

那条判据整个用不上，能救场的就只有三弦不等式。这不是偏门技巧——2026 年数一第 3 题与数二第 5 题（同一道）考的正是它。

④ 反过来不成立. 由「

g

单调递增」推不出「

f

凹」。反例见下面的例题：

g

在整个区间上确实递增，而

f

在一点间断，根本不是凹函数。原因在于

g

只约束了以定点 $a$ 为一端的那一族弦，而凹性要求任意两点的弦都满足不等式——前者的信息量本来就少一截。

证明 / 推导

证（① 中两个不等号）. 设

f

在

I

上是凹的，取

x_{1} < x_{2} < x_{3}

。令

λ 1 - λ = \frac{x _{3} - x _{2}}{x _{3} - x _{1}} \in (0, 1) = \frac{x _{2} - x _{1}}{x _{3} - x _{1}}

直接验算可知

λ x_{1} + (1 - λ) x_{3} = x_{2}

，即

x_{2}

是

x_{1}, x_{3}

的一个凸组合。由凹性（弦在曲线上方）得

f (x_{2}) \leq λ f (x_{1}) + (1 - λ) f (x_{3}) . (*)

左边那个不等号. 在

(*)

两端同减

f (x_{1})

：

f (x_{2}) - f (x_{1}) \leq (1 - λ) (f (x_{3}) - f (x_{1})) = \frac{x _{2} - x _{1}}{x _{3} - x _{1}} (f (x_{3}) - f (x_{1})) .

两端除以

x_{2} - x_{1} > 0

，即得

\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} \leq \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{1} )}{x _{3} - x _{1}}

。

右边那个不等号. 在

(*)

两端用

f (x_{3})

去减：

f (x_{3}) - f (x_{2}) \geq f (x_{3}) - λ f (x_{1}) - (1 - λ) f (x_{3}) = λ (f (x_{3}) - f (x_{1})) = \frac{x _{3} - x _{2}}{x _{3} - x _{1}} (f (x_{3}) - f (x_{1})) .

两端除以

x_{3} - x_{2} > 0

，即得

\frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{2} )}{x _{3} - x _{2}} \geq \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{1} )}{x _{3} - x _{1}}

。

■

注. 全程只用了

(*)

，也就是凹性的定义，没有用到任何一阶或二阶导数。若教材把凹凸定义成中点形式

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

，则在

f

连续的前提下它与一般的凸组合形式

(*)

等价（这是詹森不等式的标准结论），推导不受影响。

举例说明

例（2026 年数一第 3 题）. 设

f (x)

在

[- 1, 1]

上有定义，判断：「当

f (x)

的图形在

[- 1, 1]

上是凹的时，

\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}

在

[- 1, 1)

上单调递增」是否成立？其逆命题呢？

解. 正命题成立。取定点

a = 1

，由三弦不等式的定点形式 ②，

f

凹即得

g (x) = \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}

在

[- 1, 1)

上单调递增。注意题设只说「有定义」，既没有连续也没有可导，因此不能走 $f^{''}$ 那条路，只能回到定义——这正是本题的考点。

逆命题不成立. 取

f (x) = {x^{2}, x^{2} - 1, - 1 \leq x < 0, 0 \leq x \leq 1.

此时

f (1) = 0

，

g (x) = \frac{f ( x )}{x - 1}

。在

[0, 1)

上

f (x) = (x - 1) (x + 1)

，约分得

g (x) = x + 1

，从

1

增到

2

；在

[- 1, 0)

上

g (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}

，求导得

g^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}} > 0 (- 1 < x < 0),

从

- \frac{1}{2}

增到

0

。两段各自递增，且左段的值恒小于右段，故

g

在

[- 1, 1)

上整体单调递增。但

f

在

x = 0

处间断（

f (0^{-}) = 0

而

f (0) = - 1

），并不是凹函数。

■

坑. 这道题四个选项全在考「去掉可导性甚至连续性之后，哪些蕴含还成立」。凡是看到题设只给「有定义」，就该警觉：所有依赖导数的判据都失效了，必须退回定义层面的刻画。

💡 小知识

凹凸的叫法是中文微积分里最容易绕晕人的地方：同济教材把

f^{''} > 0

的情形称为凹，恰好与日常所说的凸起相反。西方数学则直接把满足

f^{''} \geq 0

的函数叫作 convex，也就是凸函数，而它对应的其实是中文里的凹函数。同一条

\cup

形曲线，中英文的名称刚好对调。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断曲线

f (x) = x^{2}

的凹凸性。难度 1

f^{'} (x) = 2 x, f^{''} (x) = 2 > 0

恒成立。按判定定理，

f^{''} > 0

时曲线为凹（

\cup

形），故

y = x^{2}

在整个

R

上是凹的。

例 2 求曲线

f (x) = x^{3}

的拐点。难度 1

f^{'} (x) = 3 x^{2}, f^{''} (x) = 6 x

。令

f^{''} (x) = 0

得

x = 0

。
当

x < 0

时

f^{''} < 0

（凸

\cap

），

x > 0

时

f^{''} > 0

（凹

\cup

），两侧变号，故

(0, 0)

是拐点。

例 3 求曲线

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1

的凹凸区间与拐点。难度 2

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x, f^{''} (x) = 6 x - 12 = 6 (x - 2)

。令

f^{''} = 0

得

x = 2

。
当

x < 2

时

f^{''} < 0

，曲线为凸（

\cap

）；当

x > 2

时

f^{''} > 0

，曲线为凹（

\cup

）。

x = 2

两侧变号，为拐点，

f (2) = 8 - 24 + 1 = - 15

。
结论：凸区间

(- \infty, 2)

，凹区间

(2, + \infty)

，拐点

(2, - 15)

。

例 4 判断

x = 0

是否为曲线

f (x) = x^{4}

的拐点。难度 2

f^{''} (x) = 12 x^{2}

，

f^{''} (0) = 0

，满足拐点的必要条件。但当

x \neq = 0

时

f^{''} (x) = 12 x^{2} > 0

恒成立，

f^{''}

在

x = 0

两侧不变号，曲线始终为凹。故

x = 0

不是拐点。这说明

f^{''} (x_{0}) = 0

只是必要而非充分条件。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

在区间

[- 1, 1]

上有定义，则（　　）

A当 $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上单调递减、在 $(0, 1)$ 上单调递增时， $f (0)$ 为极小值
B当 $f (0)$ 是极小值时， $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上单调递减、在 $(0, 1)$ 上单调递增
C当 $f (x)$ 的图形在 $[- 1, 1]$ 上是凹的时， $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ 在 $[- 1, 1)$ 上单调递增
D当 $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ 在 $[- 1, 1)$ 上单调递增时， $f (x)$ 的图形在 $[- 1, 1]$ 上是凹的

2025 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} sin t d t

，

g (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot sin^{2} x

，则（　　）

A $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，也是 $g (x)$ 的极值点.
B $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的拐点.
C $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点.
D $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点，也是曲线 $y = g (x)$ 的拐点.

2022 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有

2

阶连续导数。证明：

f^{''} (x) \geq 0

的充分必要条件是对不同的实数

a, b

，

f (\frac{a + b}{2}) \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

2019 年 · 数一 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} + x y = e^{- \frac{x ^{2}}{2}}

满足条件

y (0) = 0

的特解。

（Ⅰ）求

y (x)

；

（Ⅱ）求曲线

y = y (x)

的凹凸区间及拐点。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

曲线

y = x^{2}

的凹凸性为（　）

A处处凹（ $\cup$ ， $f^{''} > 0$ ）
B处处凸（ $\cap$ ）
C先凹后凸
D是一条直线

练习 2 · 填空题

曲线

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2

的拐点横坐标

x =

____。

练习 3 · 选择题

曲线

y = e^{x}

的凹凸性为（　）

A处处凹（ $\cup$ ）
B处处凸（ $\cap$ ）
C有一个拐点
D先凸后凹

练习 4 · 填空题

曲线

f (x) = x^{3}

的拐点坐标为 ____。

练习 5 · 选择题

曲线

f (x) = x^{4}

在

x = 0

处满足

f^{''} (0) = 0

，则

x = 0

（　）

A是拐点
B不是拐点
C是极大值点
D是渐近线

练习 6 · 选择题

设

f (x)

在

[0, 1]

上二阶可导，且

f^{''} (x) > 0

。记

A = f (\frac{1}{2})

，

B = \int_{0}^{1} f (x) d x

，

C = \frac{f ( 0 ) + f ( 1 )}{2}

，则（　）

A $C < B < A$
B $B < A < C$
C $A < B < C$
D $A < C < B$

练习 7 · 填空题

设曲线

y = a x^{3} + b x^{2} + c x

以

(1, - 2)

为拐点，且曲线在该点处的切线与直线

y = - 3 x

平行，则

(a, b, c) =

____。

练习 8 · 解答题

设

f (x) = \int_{0}^{x} (t - 1) (t - 2)^{2} d t

。
（1）求

f (x)

的单调区间与极值；
（2）求曲线

y = f (x)

的凹凸区间与全部拐点。

2015 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续，其

2

阶导函数

f^{''} (x)

的图形如右图所示，则曲线

y = f (x)

的拐点个数为（　　）

A $0$ .
B $1$ .
C $2$ .
D $3$ .

2014 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x)

具有 2 阶导数，

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

，则在区间

[0, 1]

上（　　）

A当 $f^{'} (x) \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$
B当 $f^{'} (x) \geq 0$ 时， $f (x) \leq g (x)$
C当 $f^{''} (x) \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$
D当 $f^{''} (x) \geq 0$ 时， $f (x) \leq g (x)$

曲线的凹凸性与拐点

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 凹凸性与拐点的定义：弦式不等式 f(2x1​+x2​​)≶2f(x1​)+f(x2​)​ 与 f′′ 变号判据★★ 必会

2. f′′>0⇒ 凹是定理而非定义：用泰勒公式证明曲线位于切线上方★ 要懂

3. 拐点的第二判据：若 f′′(x0​)=0 且 f′′′(x0​)=0，则该点必是拐点★★ 必会

4. 凹凸性的离散形式：詹森不等式及其对均值不等式的应用★ 要懂

5. 由凹凸性直接得到不等式：切线不等式常比构造辅助函数 F 更简便★★ 必会

6. 割线斜率随端点右移而增大（三弦不等式）：不需要可导也能判凹凸★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 凹凸性与拐点的定义：弦式不等式 $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) ≶ \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$ 与 $f^{''}$ 变号判据★★ 必会

2. $f^{''} > 0 \Rightarrow$ 凹是定理而非定义：用泰勒公式证明曲线位于切线上方★ 要懂

3. 拐点的第二判据：若 $f^{''} (x_{0}) = 0$ 且 $f^{'''} (x_{0}) \neq = 0$ ，则该点必是拐点★★ 必会

5. 由凹凸性直接得到不等式：切线不等式常比构造辅助函数 $F$ 更简便★★ 必会