可降阶的高阶微分方程

高等数学 · 常微分方程

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. $y^{(n)} = f (x)$ ：连着积 $n$ 次

最省事的一类：右端只有

x

，那就一次一次往回积。

y^{''} = f (x) \Rightarrow y^{'} = \int f d x + C_{1},

再积一次得

y

。

每积一次出一个常数，积 $n$ 次出 $n$ 个，正好配上

n

阶方程。

要留神的是常数的形状：第一次积出来的

C_{1}

，在第二次积分时还要再被积一次，

\int C_{1} d x = C_{1} x,

所以二阶方程的通解里是

C_{1} x + C_{2}

，不是两个光秃秃的常数。

2. 缺 $y$ 型 $y^{''} = f (x, y^{'})$ ：令 $p = y^{'}$

方程里不出现 $y$ （只有

x

、

y^{'}

、

y^{''}

）。令

p = y^{'}, y^{''} = \frac{d p}{d x},

方程就变成关于

p

的一阶方程：

\frac{d p}{d x} = f (x, p) .

按上一节那套（可分离、齐次、一阶线性）把

p = p (x, C_{1})

解出来，再积一次得

y = \int p (x, C_{1}) d x + C_{2} .

两个常数在两步里分别出现：

C_{1}

来自解一阶方程，

C_{2}

来自最后那次积分。

3. 缺 $x$ 型 $y^{''} = f (y, y^{'})$ ：令 $p = y^{'}$ ，并把 $y$ 当自变量

方程里不出现 $x$ 。还是令

p = y^{'}

，但这次把

p

看成 $y$ 的函数，于是由链式法则

y^{''} = \frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} = p \frac{d p}{d y} .

这一步是本节唯一的技巧，也是最常错的地方：写成

\frac{d p}{d x}

就等于没换自变量，方程里会同时出现

x

和

y

，解不下去。

代进去得到关于

p (y)

的一阶方程，解出

p = p (y, C_{1})

，再由

\frac{d y}{d x} = p (y, C_{1})

分离变量求出

y

。

4. 初值条件：降一阶就代一次

二阶方程配两个条件，通常是

y (x_{0}) = y_{0}, y^{'} (x_{0}) = y_{0}^{'} .

第二个条件说的就是 $p$ 在那一点的值：缺

y

型里是

p (x_{0}) = y_{0}^{'}

，
缺

x

型里是

p

在

y = y_{0}

处等于

y_{0}^{'}

。

所以最省力的顺序是：

解出 $p (x, C_{1})$ $\to$ 立刻用 $y^{'} (x_{0})$ 定出 $C_{1}$ $\to$ 再积分 $\to$ 用 $y (x_{0})$ 定 $C_{2}$ 。

拖到最后一起代，你手里是含两个常数的

y

，还要对它求一次导，
再解一个二元方程组——同样的信息，付两倍的力气。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

缺 $y$ 型：换名、解一阶、再积一次

第一步：确认方程里没有

y

（只有

x, y^{'}, y^{''}

）。

第二步：令

p = y^{'}

，把

y^{''}

换成

\frac{d p}{d x}

。

第三步：按一阶方程的三类（可分离／齐次／一阶线性）认型并解出

p

。

第四步：对

p

再积一次得

y

，常数记作

C_{2}

；可重命名常数化简形状。

例例. 解

y^{''} = y^{'} + x

。

第一步，方程里只有

x, y^{'}, y^{''}

，没有 $y$ ✓

第二步，令

p = y^{'}

，则

y^{''} = \frac{d p}{d x}

，方程成为

\frac{d p}{d x} - p = x .

第三步，认型：关于

p

的一阶线性方程。积分因子

e^{- x}

，

p = e^{x} (\int x e^{- x} d x + C_{1}) = C_{1} e^{x} - x - 1.

第四步，再积一次得

y

：

y = C_{1} e^{x} - \frac{x ^{2}}{2} - x + C_{2} .

两个常数、二阶方程 ✓ 数常数个数是免费的验算，降阶题最容易在这里漏掉一次积分。

缺 $x$ 型：换名并换自变量

第一步：确认方程里没有

x

（只有

y, y^{'}, y^{''}

）。

第二步：令

p = y^{'}

，把

y^{''}

换成

p \frac{d p}{d y}

（这一步是关键）。

第三步：解这个关于

p (y)

的一阶方程，约去公因子时记下丢掉的

p \equiv 0

。

第四步：再解

\frac{d y}{d x} = p (y, C_{1})

（可分离），得

y

。

例例. 解

y y^{''} = (y^{'})^{2}

。

第一步，方程里只有

y, y^{'}, y^{''}

，没有 $x$ ✓

第二步，令

p = y^{'}

，这回

y^{''} = p \frac{d p}{d y}

——这一步是关键，它把自变量从

x

换成了

y

。方程成为

y p \frac{d p}{d y} = p^{2} .

第三步，约去

p

，记下丢掉的 $p \equiv 0$ （它给出

y =

常数，也是解）。剩下

y \frac{d p}{d y} = p

，可分离，得

p = C_{1} y

。

第四步，再解

\frac{d y}{d x} = C_{1} y

，仍可分离：

y = C_{2} e^{C_{1} x} .

C_{1} = 0

时正是刚才丢掉的常数解，已被包含 ✓ 这一验也省不得。

带初值：一边降一边代

第一步：解出

p

的通解（含

C_{1}

）。

第二步：立刻用

y^{'} (x_{0}) = y_{0}^{'}

定

C_{1}

（缺

x

型用

y = y_{0}

处的

p

值）。

第三步：把定好的

p

积一次，得含

C_{2}

的

y

。

第四步：用

y (x_{0}) = y_{0}

定

C_{2}

，写出特解。

例例. 解

y^{''} = 2 y y^{'}

，

y (0) = 1

、

y^{'} (0) = 1

。

第一步，缺

x

型。令

p = y^{'}

、

y^{''} = p \frac{d p}{d y}

：

p \frac{d p}{d y} = 2 y p

，约去

p

得

\frac{d p}{d y} = 2 y

，故

p = y^{2} + C_{1}

。

第二步，立刻定 $C_{1}$ 。缺

x

型用「

y = y_{0}

处的

p

值」：

y = 1

时

p = y^{'} (0) = 1

，代入

1 = 1 + C_{1}

得

C_{1} = 0

。

于是

p = y^{2}

，下一步的积分一下子就简单了——这就是「一边降一边代」的好处。带着

C_{1}

往下积会得到一个要分情况讨论的反三角函数。

第三步，解

\frac{d y}{d x} = y^{2}

：

- \frac{1}{y} = x + C_{2}

。

第四步，用

y (0) = 1

定

C_{2} = - 1

，得

y = \frac{1}{1 - x} .

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

缺 $x$ 型把 $y^{''}$ 写成 $\frac{d p}{d x}$

那等于没换自变量，方程里会同时留下

y

和对

x

的导数，解不下去。

正确的是

y^{''} = p \frac{d p}{d y}

，前面那个

p

来自链式法则。

认型的信号很清楚：方程里有没有 $x$ 。没有

x

就用这一式。

只积一次就收工，少一个常数

解出

p

只是走了一半——

p

是

y^{'}

，还要再积一次才回到

y

。

症状：二阶方程的答案里只有一个任意常数。

常数个数等于阶数，这是每道题结束前都该数一遍的。

约去 $p$ 时丢掉 $p \equiv 0$ 那一支

y p \frac{d p}{d y} = p^{2}

两边约

p

，默认了

p \neq = 0

。

p \equiv 0

意味着

y^{'} \equiv 0

，即

y

是常数——它往往也是解。

解完看一眼：这一支是否已被通解的某个常数取值包含；没包含就补一句。

初值条件代错对象

y^{'} (x_{0}) = y_{0}^{'}

是给 $p$ 的条件，

y (x_{0}) = y_{0}

才是给

y

的。

把

y^{'} (1) = 2

代进

y

的表达式，或者反过来，是这一节最常见的手误。

写之前先标一句「此式是

p

」还是「此式是

y

」。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认型与直接积分

练 1

y^{''} = 0

的通解为

y =

________。

练 2

方程

y^{''} = f (x, y^{'})

里缺的是（）。

A $x$
B $y^{'}$
C $y$
D $y^{''}$

练 3

y^{''} = cos x

的通解为

y =

________。

练 4

二阶微分方程的通解含有（）个独立任意常数。

A $1$
B $3$
C $0$
D $2$

第二组 · 两种降阶

练 5

解

y^{''} = f (x, y^{'})

应当令（）。

A $p = y^{'}$ ，且 $y^{''} = \frac{d p}{d x}$
B $p = y$ ，且 $y^{''} = p^{'}$
C $p = y^{'}$ ，且 $y^{''} = p \frac{d p}{d y}$
D $p = y^{''}$

练 6

解

y^{''} = f (y, y^{'})

应当令（）。

A $p = y^{'}$ ，且 $y^{''} = \frac{d p}{d x}$
B $p = y$
C $p = y^{'}$ ，且 $y^{''} = p \frac{d p}{d y}$
D $x = e^{t}$

练 7

y^{''} = \frac{y ^{'}}{x}

的通解为

y =

________。

练 8

缺

x

型中，用

p

表示

y^{''}

的式子是

y^{''} =

________。

第三组 · 初值与综合

练 9

解

y^{''} = \frac{y ^{'}}{x}

，

y (1) = 0

，

y^{'} (1) = 2

，得

y =

________。

练 10

y y^{''} = (y^{'})^{2}

的通解为

y =

________。

练 11

关于两个初值条件的用法，正确的是（）。

A必须等通解全部求出后一起代入
B降一阶就代一次更省力
C二阶方程只需一个条件
D降阶法中不能使用初值条件

练 12

y^{''} = 2 y^{'}

的通解是（）。

A $y = C_{1} e^{2 x} + C_{2}$
B $y = C_{1} e^{2 x}$
C $y = C_{1} x + C_{2}$
D $y = e^{2 x} + C$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

可降阶的高阶微分方程

先打基础

1. y(n)=f(x)：连着积 n 次

2. 缺 y 型 y′′=f(x,y′)：令 p=y′

3. 缺 x 型 y′′=f(y,y′)：令 p=y′，并把 y 当自变量

4. 初值条件：降一阶就代一次

常用结构

缺 y 型：换名、解一阶、再积一次

缺 x 型：换名并换自变量

带初值：一边降一边代

基础易错

缺 x 型把 y′′ 写成 dxdp​

只积一次就收工，少一个常数

约去 p 时丢掉 p≡0 那一支

初值条件代错对象

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. $y^{(n)} = f (x)$ ：连着积 $n$ 次

2. 缺 $y$ 型 $y^{''} = f (x, y^{'})$ ：令 $p = y^{'}$

3. 缺 $x$ 型 $y^{''} = f (y, y^{'})$ ：令 $p = y^{'}$ ，并把 $y$ 当自变量

缺 $y$ 型：换名、解一阶、再积一次

缺 $x$ 型：换名并换自变量

缺 $x$ 型把 $y^{''}$ 写成 $\frac{d p}{d x}$

约去 $p$ 时丢掉 $p \equiv 0$ 那一支