可降阶的高阶微分方程

§6.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.74 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

1.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）高阶导数

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 缺 y 型（类型二）令 p=y'(x)：不涉及链式法则，但必须再积分一次★★ 必会

F (x, y^{'}, y^{''}) = 0

中不出现

y

，就把其中最低阶的导数

y^{'}

直接取作新的未知函数

p = y^{'}

，自变量仍是 $x$ ，于是

y^{''} = \frac{d p}{d x} = p^{'}

，其中不涉及链式法则，这就是它比缺

x

型简单的地方。方程于是降为关于

p (x)

的一阶方程，通常是可分离变量的方程或一阶线性方程。这里最容易遗漏的一步是：解出

p = y^{'}

以后并没有结束，还必须对

y^{'}

再积分一次才得到

y

。如果遗漏这一步，那么所得结果就少一个任意常数，与方程的阶数不符。

举例说明

例. 求

y^{''} - \frac{y ^{'}}{x} = x (x > 0)

的通解。

辨型：方程中含

x, y^{'}, y^{''}

而不含 $y$ ，属于缺

y

型。令

p = y^{'}

，则

y^{''} = p^{'}

，原方程化为

p^{'} - \frac{p}{x} = x,

这是一阶线性方程，积分因子为

μ = e^{- \int d x / x} = \frac{1}{x}

，方程化为

(\frac{p}{x})^{'} = 1

，得

\frac{p}{x} = x + C_{1}

，即

p = x^{2} + C_{1} x

。

再积分一次：

y = \int (x^{2} + C_{1} x) d x = \frac{x ^{3}}{3} + C_{1} x^{2} + C_{2} .

二阶方程的通解恰含两个相互独立的任意常数。如果只求到

p = x^{2} + C_{1} x

就停下来，那么所得的还不是

y

。

2. 缺 x 型（类型三）中最重要的一步：y''=p·dp/dy 由链式法则得出★★ 必会

F (y, y^{'}, y^{''}) = 0

中不出现自变量

x

，就改用 $y$ 作自变量。这时把

p = y^{'}

看成

y

的函数。本节最容易写错的是

y^{''}

的换算，它不是

p^{'}

（那是缺

y

型的写法），而是

p \frac{d p}{d y}

。这个式子来自链式法则，必须弄清它的来历。方程于是降为关于

p (y)

的一阶方程，解出

p = \frac{d y}{d x}

以后，再作一次变量分离求出

y

。

证明 / 推导

证.

p = y^{'} = \frac{d y}{d x}

是

y

的函数，对

x

求导时须插入中间变量

y

，于是

y^{''} = \frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{d p}{d y} \cdot p = p \frac{d p}{d y} .

与缺

y

型相比较：在那里

p

是

x

的函数，因而

y^{''} = \frac{d p}{d x} = p^{'}

，不必用链式法则。判别时只看方程中缺哪一个变量：缺

y

时用

p^{'}

，自变量仍是

x

；缺

x

时用

p \frac{d p}{d y}

，自变量取作

y

。

■

举例说明

例. 求

y^{''} + (y^{'})^{2} = 0

的通解。

辨型：方程中含

y^{'}, y^{''}

而不含 $x$ ，属于缺

x

型。令

p = y^{'}

，则

y^{''} = p \frac{d p}{d y}

，原方程化为

p \frac{d p}{d y} + p^{2} = 0 ⟹ p (\frac{d p}{d y} + p) = 0.

除去平凡解

p = 0

（此时

y =

常数）外，由第二个因式为零得

\frac{d p}{d y} = - p \Rightarrow p = C_{1} e^{- y}

。再由

p = \frac{d y}{d x} = C_{1} e^{- y}

分离变量，得

e^{y} d y = C_{1} d x

，积分即得

e^{y} = C_{1} x + C_{2} ⟹ y = ln (C_{1} x + C_{2}) .

3. 既缺 x 又缺 y（F(y',y'')=0）：按缺 y 型处理最为简便

当方程

F (y^{'}, y^{''}) = 0

同时不含 $x$ 和 $y$ 时，两种降阶方法都可以使用，但是把 $p$ 视作 $x$ 的函数（即按缺 $y$ 型， $y^{''} = p^{'}$ ）最为简便：这样直接得到

p^{'} =

（只含

p

的式子），它就是可分离变量的一阶方程；如果按缺

x

型（

y^{''} = p d p / d y

）处理，那么就要把

y

重新引进来，最后还要多作一次变量分离。既然

x, y

都不出现，就应当选择不再引入它们的那种做法。

举例说明

例. 求

y^{''} = 1 + (y^{'})^{2}

的通解。

按缺 $y$ 型（ $p$ 为 $x$ 的函数，最为简便）：令

p = y^{'}

，则

y^{''} = p^{'}

，原方程化为

\frac{d p}{d x} = 1 + p^{2} ⟹ \frac{d p}{1 + p ^{2}} = d x ⟹ arctan p = x + C_{1} .

于是

p = tan (x + C_{1})

，再积分一次得

y = \int tan (x + C_{1}) d x = - ln ∣ cos (x + C_{1}) ∣ + C_{2}

，即

y = - ln ∣ cos (x + C_{1}) ∣ + C_{2} .

与缺 $x$ 型相比较：这时由

p \frac{d p}{d y} = 1 + p^{2}

得

\frac{1}{2} ln (1 + p^{2}) = y + c

，于是

p

只能用

y

隐式表示，还须再作一次变量分离，显然费事。因此这一类方程宜取

p

为

x

的函数。

4. 两次积分所得的两个常数必须相互独立；两边除以 p 会丢失 y=常数这一解★ 要懂

降阶法中最隐蔽的两处错误都与任意常数和丢解有关。其一，常数的独立性：

n

阶方程的通解必须含有

n

个相互独立的任意常数。降阶时两次积分各产生一个常数，二者不能一个是另一个的函数。其二，两边除以 p 会丢失平凡解：在解关于

p

的方程时，如果两边除以

p

（或它的幂），就默认了

p \neq = 0

，于是丢掉了

p \equiv 0

所对应的

y \equiv

常数这一解；而

y =

常数往往确实是方程的解，并且不包含在通解族之中，必须单独补上。因此，除以哪一个量，就要回过头来检验该量

= 0

时是否也给出方程的解。

举例说明

例. 解

y^{''} = (y^{'})^{2}

，并说明何处会丢失解。

降阶（既缺

x

又缺

y

，按缺

y

型，

p = y^{'}

为

x

的函数）：得

\frac{d p}{d x} = p^{2}

。两边除以

p^{2}

（这里已经默认 $p \neq = 0$ ），得

\frac{d p}{p ^{2}} = d x ⟹ - \frac{1}{p} = x + C_{1} ⟹ p = - \frac{1}{x + C _{1}} .

再积分一次，得

y = - ln ∣ x + C_{1} ∣ + C_{2}

，其中

C_{1}, C_{2}

相互独立。

丢失的解：在除以

p^{2}

时排除了

p \equiv 0

，即

y \equiv C

。验证

y = C

：

y^{''} = 0 = (y^{'})^{2} = 0

成立，可见它确是方程的解，但不能由

- ln ∣ x + C_{1} ∣ + C_{2}

表示出来。因此完整的答案还应补上

y \equiv C

。

💡 小知识

类型三（缺 x）里的 y''=p·dp/dy，其实就是能量守恒在数学上的写法：方程两边同乘 dy 再积分，得到的恰好是合力做的功等于动能的增量。这也解释了为什么在只依赖位置的保守力场里可以定义势能。降阶的技巧与能量守恒，说的是同一件事。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求方程

y^{''} = cos x

的通解。难度 1

右端只含

x

（类型一

y^{(n)} = f (x)

），逐次积分即可。第一次积分：

y^{'} = \int cos x d x = sin x + C_{1} .

第二次积分：

y = \int (sin x + C_{1}) d x = - cos x + C_{1} x + C_{2} .

二阶方程通解恰含两个独立常数

C_{1}, C_{2}

。验证：

y^{'} = sin x + C_{1}

，

y^{''} = cos x

。切忌漏写常数或把

C_{1} x

的

x

忘掉。

例 2 求方程

y^{''} - \frac{y ^{'}}{x} = x (x > 0)

的通解。难度 2

方程中不含 $y$ （缺

y

型）。令

p = y^{'}

，视

p

为

x

的函数，则

y^{''} = p^{'}

，方程降为一阶线性：

p^{'} - \frac{p}{x} = x .

积分因子

μ = e^{- \int \frac{1}{x} d x} = \frac{1}{x}

，故

(\frac{p}{x})^{'} = 1

，积分得

\frac{p}{x} = x + C_{1}

，即

p = x^{2} + C_{1} x

。再积分一次（

p = y^{'}

，关键别漏）：

y = \int (x^{2} + C_{1} x) d x = \frac{x ^{3}}{3} + C_{1} x^{2} + C_{2}

（已把

\frac{C _{1}}{2}

重记为

C_{1}

）。验证：

y^{'} = x^{2} + 2 C_{1} x, y^{''} = 2 x + 2 C_{1}

，代入

y^{''} - \frac{y ^{'}}{x} = 2 x + 2 C_{1} - (x + 2 C_{1}) = x

。

例 3 求方程

y^{''} + (y^{'})^{2} = 0

的通解。难度 2

方程中不含自变量 $x$ （缺

x

型）。令

p = y^{'}

，视

p

为

y

的函数，由链式法则

y^{''} = p \frac{d p}{d y}

，代入：

p \frac{d p}{d y} + p^{2} = 0 ⟹ p (\frac{d p}{d y} + p) = 0.

除平凡解

p = 0

（即

y =

常数）外，有

\frac{d p}{d y} = - p

，分离变量

\frac{d p}{p} = - d y

，积分得

ln ∣ p ∣ = - y + C_{1}^{'}

，即

p = C_{1} e^{- y}

。再由

p = \frac{d y}{d x} = C_{1} e^{- y}

，分离

e^{y} d y = C_{1} d x

，积分

e^{y} = C_{1} x + C_{2} ⟹ y = ln (C_{1} x + C_{2}) .

验证：

y^{'} = \frac{C _{1}}{C _{1} x + C _{2}}, y^{''} = - \frac{C _{1}^{2}}{( C _{1} x + C _{2} ) ^{2}} = - (y^{'})^{2}

，成立。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

求微分方程

x^{2} y^{''} - 2 x y^{'} - (y^{'})^{2} = 0

（

x > 2

）满足条件

y ∣_{x = 3} = \frac{1}{2}

，

y^{'} ∣_{x = 3} = - 9

的解。

2020 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设函数

f (x)

可导，且

f^{'} (x) > 0

。曲线

y = f (x) (x \geq 0)

经过坐标原点

O

，其上任意一点

M

处的切线与

x

轴交于

T

，又

M P

垂直

x

轴于点

P

。已知由曲线

y = f (x)

、直线

M P

以及

x

轴所围图形的面积与

△ M T P

的面积之比恒为

3 : 2

，求满足上述条件的曲线的方程。

2016 年 · 数二 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

已知

y_{1} (x) = e^{x}

，

y_{2} (x) = u (x) e^{x}

是二阶微分方程

(2 x - 1) y^{''} - (2 x + 1) y^{'} + 2 y = 0

的两个解。若

u (- 1) = e

，

u (0) = - 1

，求

u (x)

，并写出该微分方程的通解。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

方程

x y^{''} + (y^{'})^{2} = 0

属于下列哪种可降阶类型（　）。

A $y^{(n)} = f (x)$ 型
B缺 $y$ 型（令 $p = y^{'}$ ， $y^{''} = p^{'}$ ）
C缺 $x$ 型（令 $p = y^{'}$ ， $y^{''} = p \frac{d p}{d y}$ ）
D常系数线性型

练习 2 · 填空题

方程

y^{''} = e^{x}

满足

y (0) = 1, y^{'} (0) = 0

的特解

y =

____。

练习 3 · 选择题

方程

x y^{''} + y^{'} = 0 (x > 0)

的通解是（　）。

A $y = C_{1} ln x + C_{2}$
B $y = C_{1} x + C_{2}$
C $y = C_{1} x^{2} + C_{2}$
D $y = C_{1} e^{x} + C_{2}$

练习 4 · 填空题

方程

y y^{''} = (y^{'})^{2}

满足

y (0) = 1, y^{'} (0) = 1

的特解

y =

____。

练习 5 · 选择题

设

y = y (x)

是初值问题

y^{''} = 2 y y^{'}

，

y (0) = 1

，

y^{'} (0) = 1

的解，则

y (\frac{1}{2}) =

（　）。

A $\frac{1}{2}$
B $2$
C $\frac{3}{2}$
D $e$

练习 6 · 填空题

方程

y^{''} = 1 + (y^{'})^{2}

满足

y (0) = 0, y^{'} (0) = 0

的特解在

x = \frac{π}{4}

处的值

y (\frac{π}{4}) =

____。

练习 7 · 解答题

设

y = y (x)

满足

2 y y^{''} = 1 + (y^{'})^{2}

，且

y (0) = 1, y^{'} (0) = 1

。

(1) 求

y (x)

；

(2) 求曲线

y = y (x)

与直线

x = 0

、

x = 1

及

x

轴所围成的曲边梯形绕

x

轴旋转一周所得旋转体的体积

V

。

2011 年 · 数二 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y (x)

具有二阶导数，且曲线

l : y = y (x)

与直线

y = x

相切于原点。记

α

为曲线

l

在点

(x, y)

处切线的倾角，若

\frac{d α}{d x} = \frac{d y}{d x}

，求

y (x)

的表达式。

2009 年 · 数二 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

设非负函数

y = y (x) (x \geq 0)

满足微分方程

x y^{''} - y^{'} + 2 = 0

。当曲线

y = y (x)

过原点时，其与直线

x = 1

及

y = 0

围成平面区域

D

的面积为

2

，求

D

绕

y

轴旋转所得旋转体的体积。

2007 年 · 数二 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

求微分方程

y^{''} (x + y^{' 2}) = y^{'}

满足初始条件

y (1) = y^{'} (1) = 1

的特解。

可降阶的高阶微分方程

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 缺 y 型（类型二）令 p=y'(x)：不涉及链式法则，但必须再积分一次★★ 必会

2. 缺 x 型（类型三）中最重要的一步：y''=p·dp/dy 由链式法则得出★★ 必会

3. 既缺 x 又缺 y（F(y',y'')=0）：按缺 y 型处理最为简便

4. 两次积分所得的两个常数必须相互独立；两边除以 p 会丢失 y=常数 这一解★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

4. 两次积分所得的两个常数必须相互独立；两边除以 p 会丢失 y=常数这一解★ 要懂