高阶线性微分方程解的结构

§7.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.41 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

1.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁常系数齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 解空间的维数为什么恰好等于方程的阶数 n：解与初值向量之间的线性同构★ 要懂

n

阶齐次线性方程的通解含

n

个独立的任意常数，为什么恰好是

n

个，不多也不少？答案在于初值问题的存在唯一性：一个

n

阶方程的解，一旦给定

x_{0}

处的

n

个初值

y (x_{0}), y^{'} (x_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (x_{0})

，就被唯一确定；反过来，任给一组

n

个初值，总存在解与之对应。于是解与

n

维初值向量一一对应，解空间自然是

n

维的。这就把维数

=

阶数由一句结论变成了可以证明的定理，也说明了任意

n

个线性无关的解都构成基础解系。

证明 / 推导

设方程的系数在区间

I

上连续，

x_{0} \in I

，并记

V

为

L [y] = 0

的全体解。定义

Φ : V \to R^{n}, Φ (y) = (y (x_{0}), y^{'} (x_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (x_{0})) .

线性：求值与求导都是线性运算，故

Φ (c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}) = c_{1} Φ (y_{1}) + c_{2} Φ (y_{2})

。
单射：若

Φ (y) = 0

，即

y

与零解有相同的初值，那么由唯一性得

y \equiv 0

，故

ker Φ = {0}

。
满射：任给

c \in R^{n}

，由存在性知有解

y

使

Φ (y) = c

。
所以

Φ

是线性同构，从而

dim V = n

。

■

2. 朗斯基行列式在一点非零就处处非零：刘维尔公式的推导

判断两个解

y_{1}, y_{2}

是否线性无关，最实用的办法是计算朗斯基行列式

W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}

。它有一条很好的性质：对同一齐次线性方程的解，

W (x)

要么恒为零，要么处处不为零。这就是说，只需在某一点

x_{0}

处算出

W (x_{0})

，若它不为零，即可断定两解线性无关，从而构成基础解系；若它为零，则两解线性相关。下面的刘维尔公式就是这条性质的来源。

证明 / 推导

设

y_{1}, y_{2}

是

y^{''} + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = 0

的解，

W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}

。求导，得

W^{'} = y_{1}^{'} y_{2}^{'} + y_{1} y_{2}^{''} - y_{2}^{'} y_{1}^{'} - y_{2} y_{1}^{''} = y_{1} y_{2}^{''} - y_{2} y_{1}^{''} .

代入

y_{i}^{''} = - a_{1} y_{i}^{'} - a_{0} y_{i}

，得

W^{'} = y_{1} (- a_{1} y_{2}^{'} - a_{0} y_{2}) - y_{2} (- a_{1} y_{1}^{'} - a_{0} y_{1}) = - a_{1} (y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}) = - a_{1} W .

所以

W (x) = W (x_{0}) e^{- \int_{x_{0}}^{x} a_{1} (t) d t}

。因为指数因子恒为正，

W (x)

与

W (x_{0})

同号或同为零：若

W (x_{0}) = 0 \Rightarrow W \equiv 0

，两解线性相关；若

W (x_{0}) \neq = 0 \Rightarrow W

处处不为零，两解线性无关。

■

3. 由若干个非齐次方程的特解反求通解，这是考试中的常见题型★★ 必会

给出非齐次方程的几个特解求通解，是数学三常考的题目。它的依据是解的结构定理的两条推论：非齐次方程的两个解之差是相应齐次方程的解（

L [y_{i} - y_{j}] = f - f = 0

）；其中任取一个非齐次解都可以充当特解。做法分三步：① 两两作差，得到若干齐次解；② 从中挑出线性无关的解，凑齐基础解系，其个数

=

方程的阶数；③ 通解

=

齐次通解

+

任意一个原来的特解。还须判断所得的解是否线性无关，即两解之比是否为常数，因为这些差之间也可能线性相关。

证明 / 推导

证记

L [y] = y^{(n)} + a_{1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{n} (x) y

。求导与乘常数都是线性运算，故

L

是线性算子，即

L [c_{1} u + c_{2} v] = c_{1} L [u] + c_{2} L [v]

。

差是齐次解. 设

L [y_{i}] = f

，

L [y_{j}] = f

。由线性性得

L [y_{i} - y_{j}] = L [y_{i}] - L [y_{j}] = f - f = 0,

即两个非齐次解之差是齐次方程的解。

这样拼出的确是通解. 设

y^{*}

是取定的一个非齐次解，

y

是任一非齐次解。由上式，

y - y^{*}

是齐次解，记作

Y

，于是

y = Y + y^{*}

。反过来，取齐次方程的任一解

Y

。由线性性得

L [Y + y^{*}] = 0 + f = f

，故

Y + y^{*}

仍是非齐次解。可见非齐次方程的解恰好是形如

Y + y^{*}

的函数。这里

Y

取遍齐次解的全体。齐次方程的解空间是

n

维的。把

Y

写成基础解系的线性组合，就得到含

n

个独立任意常数的通解。

至少要给出多少个特解. 设给出

m

个特解

y_{1}, \dots, y_{m}

。任意两个的差都可以写成

y_{i} - y_{j} = (y_{i} - y_{1}) - (y_{j} - y_{1}),

故一切差都落在

y_{2} - y_{1}, y_{3} - y_{1}, \dots, y_{m} - y_{1}

所张成的空间内，而该空间的维数至多为

m - 1

。要凑齐

n

维的基础解系，就必须有

m - 1 \geq n

，即至少要给出

n + 1

个特解。二阶方程要给三个，这与常见的题设相符。

判定线性无关时的一点注意. 对两个函数，线性无关等价于二者之比不是常数。函数在三个或三个以上时，这个判别法不再适用。例如取

1, x, 1 + x

，它们两两之比都不是常数。但第三个等于前两个之和，故三者线性相关。所以基础解系含三个以上函数时，应按定义判定，或用朗斯基行列式。

■

举例说明

例. 已知

y_{1} = 1, y_{2} = 1 + e^{x}, y_{3} = 1 + e^{x} + x e^{x}

是某二阶非齐次线性方程的三个解，求它的通解。

作差得齐次解：

y_{2} - y_{1} = e^{x}

，

y_{3} - y_{2} = x e^{x}

。二者之比

\frac{x e ^{x}}{e ^{x}} = x

不是常数，故

e^{x}, x e^{x}

线性无关，构成二阶齐次方程的基础解系，这对应于特征方程有二重根

1

。

拼出通解：齐次通解为

Y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}

；而

y_{1} = 1

是一个特解。所以

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x} + 1 .

容易验证

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都满足

y^{''} - 2 y^{'} + y = 1

。

4. 注意：由 W(x₀)=0 不能断定一般函数线性相关，反例是 x² 与 x|x|

朗斯基判别法有一个严格的前提：所判定的函数必须是同一个齐次线性方程的解。对于任意的函数，

W \equiv 0

只是线性相关的必要条件，而不是充分条件，确实存在处处

W = 0

却线性无关的函数对。题目若在此处设置疑难，必须分清一般函数与方程的解这两种情形：对前者不能由

W \equiv 0

推出线性相关，对后者则可以。

证明 / 推导

取

f_{1} (x) = x^{2}, f_{2} (x) = x ∣ x ∣

，它们定义在

(- \infty, + \infty)

上。

朗斯基行列式恒为零：由

f_{2}^{'} = 2∣ x ∣

，得

W = x^{2} 2 x x ∣ x ∣ 2∣ x ∣ = 2 x^{2} ∣ x ∣ - 2 x^{2} ∣ x ∣ = 0 (\forall x) .

但二者线性无关：设

c_{1} x^{2} + c_{2} x ∣ x ∣ \equiv 0

。取

x = 1

，得

c_{1} + c_{2} = 0

；取

x = - 1

，得

c_{1} - c_{2} = 0

。解得

c_{1} = c_{2} = 0

，所以它们线性无关。

为什么不矛盾：函数

x ∣ x ∣

在

x = 0

处的二阶导数不存在，因而

f_{1}, f_{2}

不可能同为某个系数连续的二阶线性方程的解，定理的前提不满足，所以由

W \equiv 0 \Rightarrow

线性相关这一结论在此不适用。

■

💡 小知识

把求导看成一种线性运算，n 阶齐次线性微分方程的解就和齐次线性方程组 Ax=0 的解遵循同一套规矩：n 个线性无关的解构成它的基础解系，任意解都是它们的线性组合；非齐次方程的通解则总是一个特解加上齐次通解。学通了线性方程组解的结构，微分方程这一节几乎不用另外去记。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 已知

y_{1} = cos x

与

y_{2} = sin x

都是方程

y^{''} + y = 0

的解，判断它们是否线性无关，并写出通解。难度 1

先验证是解：

y_{1}^{''} + y_{1} = - cos x + cos x = 0

，

y_{2}^{''} + y_{2} = - sin x + sin x = 0

。计算朗斯基行列式

W (x) = cos x - sin x sin x cos x = cos^{2} x + sin^{2} x = 1 \neq = 0.

故

y_{1}, y_{2}

线性无关，构成二阶齐次方程的基础解系。由解的结构定理，通解为

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x .

例 2 已知

y_{1} = x^{2}

与

y_{2} = x^{2} + e^{3 x}

是某二阶非齐次线性方程

L [y] = f (x)

的两个解，求其对应齐次方程

L [y] = 0

的一个非零解。难度 2

记左端线性算子

L [y] = y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y

，则

L [y_{1}] = f, L [y_{2}] = f

。由

L

的线性性，

L [y_{2} - y_{1}] = L [y_{2}] - L [y_{1}] = f - f = 0,

即两个非齐次解之差是对应齐次方程的解。故

y_{2} - y_{1} = (x^{2} + e^{3 x}) - x^{2} = e^{3 x}

是齐次方程的一个非零解。

例 3 已知

y_{1} = x, y_{2} = x + e^{2 x}, y_{3} = x + e^{2 x} + e^{- x}

是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，求该方程的通解。难度 2

两个非齐次解之差是对应齐次方程的解：

y_{2} - y_{1} = e^{2 x}, y_{3} - y_{2} = e^{- x} .

而

e^{2 x}

与

e^{- x}

之比

e^{3 x}

不是常数，二者线性无关，构成二阶齐次方程的基础解系，故齐次通解

Y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x}

。又

y_{1} = x

本身是原非齐次方程的一个特解，由「通解

=

齐次通解

+

一个特解」：

y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} + x .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

微分方程

x y^{'} - y + x^{2} e^{x} = 0

满足条件

y (1) = - e

的解为

y =

______。

2023 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

若微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界，则（　　）。

A $a < 0, b > 0$
B $a > 0, b > 0$
C $a = 0, b > 0$
D $a = 0, b < 0$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

y_{1}, y_{2}

是二阶齐次线性微分方程的两个解，则「

y_{1}, y_{2}

构成基础解系」的充要条件是（　）。

A $y_{1}, y_{2}$ 线性无关
B $y_{1}, y_{2}$ 都不恒为零
C $y_{1} + y_{2} \neq = 0$
D $y_{1} y_{2} \neq = 0$

练习 2 · 选择题

设

y_{1}, y_{2}

是非齐次线性方程

L [y] = f (f \neq \equiv 0)

的两个解，则下列一定是对应齐次方程

L [y] = 0

的解的是（　）。

A $y_{1} + y_{2}$
B $y_{1} - y_{2}$
C $2 y_{1}$
D $\frac{y _{1} + y _{2}}{2}$

练习 3 · 填空题

设

y_{1}^{*} = x

是

L [y] = f_{1}

的一个特解，

y_{2}^{*} = x^{2}

是

L [y] = f_{2}

的一个特解（

L

为同一线性算子），则

L [y] = f_{1} + f_{2}

的一个特解为 ____。

练习 4 · 选择题

（数三 2006）设非齐次线性微分方程

y^{'} + P (x) y = Q (x)

有两个不同的解

y_{1} (x), y_{2} (x)

，

C

为任意常数，则该方程的通解是（　）。

A $C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]$
B $y_{1} (x) + C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]$
C $C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]$
D $y_{1} (x) + C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]$

练习 5 · 选择题

（数三 2010）设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解，若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解、

λ y_{1} - μ y_{2}

是对应齐次方程的解，则（　）。

A $λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}$
B $λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}$
C $λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}$
D $λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}$

练习 6 · 选择题

已知

y_{1} = x

与

y_{2} = x + e^{- 2 x}

都是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的解，则该方程为（　）。

A $y^{'} - 2 y = 1 - 2 x$
B $y^{'} + 2 y = 1$
C $y^{'} + 2 y = 2 x + 1$
D $y^{'} + \frac{1}{x} y = 2$

练习 7 · 填空题

设

y_{1} = 1, y_{2} = x, y_{3} = x^{2}

是某二阶线性非齐次微分方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

在含

x = 0

的某区间上的三个解，则该方程满足

y (0) = 0, y^{'} (0) = 1

的解为

y =

____。

练习 8 · 解答题

已知

y_{1} = e^{x}

，

y_{2} = e^{x} + 1

，

y_{3} = e^{x} + e^{2 x}

是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解。

(1) 求该方程的通解；

(2) 求满足

y (0) = 3, y^{'} (0) = 4

的解；

(3) 写出该微分方程。

2019 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} - x y = \frac{1}{2 x} e^{x^{2} /2}

满足条件

y (1) = e

的特解.
（Ⅰ）求

y (x)

；
（Ⅱ）设平面区域

D = {(x, y) ∣ 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq y (x)}

，求

D

绕

x

轴旋转所得旋转体的体积.

2010 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设

y_{1}, y_{2}

是一阶线性非齐次微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个特解，若常数

λ, μ

使

λ y_{1} + μ y_{2}

是该方程的解，

λ y_{1} - μ y_{2}

是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）

A $λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{2}$
B $λ = - \frac{1}{2}, μ = - \frac{1}{2}$
C $λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{1}{3}$
D $λ = \frac{2}{3}, μ = \frac{2}{3}$

2006 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 4 分

设非齐次线性微分方程

y^{'} + P (x) y = Q (x)

有两个不同的解

y_{1} (x), y_{2} (x)

，

C

为任意常数，则该方程的通解是（　　）

A $C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]$ .
B $y_{1} (x) + C [y_{1} (x) - y_{2} (x)]$ .
C $C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]$ .
D $y_{1} (x) + C [y_{1} (x) + y_{2} (x)]$ .

1999 年 · 数三 · 第 14 题 · 解答题 · 6 分

设有微分方程

y^{'} - 2 y = φ (x)

，其中

φ (x) = {2, 0, x < 1, x > 1.

试求在

(- \infty, + \infty)

内的连续函数

y = y (x)

，使之在

(- \infty, 1)

和

(1, + \infty)

内都满足所给方程，且满足条件

y (0) = 0

。