微分方程的几何与物理应用

§6.6 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.59 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

0.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）常系数非齐次线性微分方程微积分基本定理与变限积分

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 如何把应用题中的文字条件化成数学式，以及几何题中切线截距公式的来历★ 要懂

解应用题的第一步，是把文字所叙述的规律逐句写成数学式：变化率或速度

\to

导数；与……成正比

\to

= k \times

；增大或减小

\to

确定正负号；初始状态或起点

\to

初值。几何题还需要一组截距公式：设曲线

y = y (x)

上点

P (x, y)

处的切线斜率为

= y^{'}

，则切线方程为

Y - y = y^{'} (X - x)

；由切线方程即可当场推出

x

轴截距与

y

轴截距，不必另行记忆。把题中所给的截距、切线长等几何条件化成含

y^{'}

的方程，就得到所求的微分方程。

证明 / 推导

切线方程为

Y - y = y^{'} (X - x)

。
$x$ 轴截距（令

Y = 0

）：

- y = y^{'} (X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y ^{'}}

。
$y$ 轴截距（令

X = 0

）：

Y - y = y^{'} (0 - x) \Rightarrow Y = y - x y^{'}

。
这两个式子都只是把切线方程中分别代入

Y = 0

、

X = 0

而得，考试时现推即可，因而不会记混。

■

举例说明

例. 求一条曲线，使它上面任一点处的切线在

x

轴上的截距等于该点横坐标的一半，且曲线过点

(1, 1)

。

由横截距公式得

x - \frac{y}{y ^{'}} = \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{y}{y ^{'}} = \frac{x}{2} \Rightarrow y^{'} = \frac{2 y}{x}

。分离变量，得

\frac{d y}{y} = \frac{2 d x}{x}

，积分后得

y = C x^{2}

。由曲线过

(1, 1)

得

C = 1

，故所求曲线为

y = x^{2}

。

验证：

y^{'} = 2 x

，横截距为

x - \frac{x ^{2}}{2 x} = x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}

，与所给条件相符。

2. 含变限积分的方程的一般解法：两端求导化为微分方程，令自变量取下限读出初值★★ 必会

方程中含有

\int_{a}^{x} f (t) d t

时，处理的办法是两端对 $x$ 求导，这里用到微积分基本定理

(\int_{a}^{x} f)^{'} = f (x)

，从而把积分方程化为微分方程；初值则由原方程中令

x = a

（这时变限积分为

0

）直接读出。这是把积分方程与微分方程结合起来的标准题型，其步骤是：求导化简

+

令自变量取下限得初值

+

按一阶线性方程（或可分离变量方程）求解。

举例说明

例. 设可导函数

f (x)

满足

f (x) = e^{2 x} + \int_{0}^{x} f (t) d t

，求

f (x)

。

求导化简：

f^{'} (x) = 2 e^{2 x} + f (x) \Rightarrow f^{'} (x) - f (x) = 2 e^{2 x}

。
令自变量取下限读出初值：原式中取

x = 0

（这时积分为

0

），得

f (0) = e^{0} = 1

。
解一阶线性方程：取积分因子

μ = e^{- x}

，

(e^{- x} f)^{'} = 2 e^{2 x} e^{- x} = 2 e^{x}

，两端积分，得

e^{- x} f = 2 e^{x} + C

，即

f = 2 e^{2 x} + C e^{x}

。由

f (0) = 2 + C = 1

得

C = - 1

。故

f (x) = 2 e^{2 x} - e^{x} .

3. 卷积型 ∫₀ˣ(x−t)f(t)dt：先把 x 提到积分号外拆成两项，再逐次求导

变限积分中最难处理的，是被积函数含有

(x - t)

的情形。这时

x

既出现在上限，又出现在被积表达式中，这种形式称为卷积型，不能直接求导。这里的关键是先把

x

提到积分号外面，拆成两项：

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t,

这样每个积分中的

x

就都只出现在上限，可以放心地用

(\int_{0}^{x} g)^{'} = g (x)

求导。往往要求导两次才能消去积分，得到二阶常系数方程；初值由原方程以及一次求导后的式子在

x = 0

处读出。

举例说明

例. 设

φ (x) = 1 - \int_{0}^{x} (x - t) φ (t) d t

，求

φ (x)

。

拆项：

φ (x) = 1 - x \int_{0}^{x} φ d t + \int_{0}^{x} tφ d t

。
求导一次：

φ^{'} (x) = - [\int_{0}^{x} φ d t + x φ (x)] + x φ (x) = - \int_{0}^{x} φ (t) d t

。
再求导一次：

φ^{''} (x) = - φ (x)

，即

φ^{''} + φ = 0

。
读出初值：由原式得

x = 0 \Rightarrow φ (0) = 1

；由一次求导后的式子得

x = 0 \Rightarrow φ^{'} (0) = 0

。
求解：

φ = C_{1} cos x + C_{2} sin x

，由初值定出

C_{1} = 1, C_{2} = 0

，故

φ (x) = cos x .

卷积型经过两次求导化成了二阶常系数方程。这就是积分方程

\to

微分方程的典型转化过程。

4. 混合稀释（水箱）问题：由流入率减去流出率列出一阶线性方程

水箱中的溶质与血药浓度一类的混合稀释问题，是一阶线性方程的实际背景。设

t

时刻的溶质量为

x (t)

，则由守恒关系得

\frac{d x}{d t} = 流入率 - 流出率

。其中流入率

=

流入液的浓度

\times

流入速率；流出率

=

当前浓度

\frac{x}{V ( t )} \times

流出速率（

x

在这里出现，正是因为有它，所列的关系式才成为微分方程）；体积

V (t) = V_{0} + (入 - 出) t

，当进、出速率相等时

V

保持不变，方程就是常系数的一阶线性方程。解出以后必须回代初值，并核对

t \to \infty

时的平衡状态是否合理。

举例说明

例. 水箱内有

100 L

水，其中溶有盐

10 kg

。含盐

0.5 kg/L

的盐水以

3 L/min

流入，充分混合后又以

3 L/min

流出。求

t

时刻箱中的盐量

x (t)

。

进、出速率相等，故

V \equiv 100 L

。

\frac{d x}{d t} = 流入 0.5 \times 3 - 流出 \frac{x}{100} \times 3 = 1.5 - 0.03 x,

即

\frac{d x}{d t} + 0.03 x = 1.5

。取积分因子

e^{0.03 t}

，

(e^{0.03 t} x)^{'} = 1.5 e^{0.03 t}

，得

x = 50 + C e^{- 0.03 t}

。由

x (0) = 10 \Rightarrow C = - 40

，故

x (t) = 50 - 40 e^{- 0.03 t} .

核对：当

t \to \infty

时，

x \to 50 kg

，浓度为

50/100 = 0.5 kg/L

，恰等于流入液的浓度，可见平衡状态是合理的。

💡 小知识

1798 年马尔萨斯用 dN/dt=kN 描述指数增长，预言人口终将超过粮食供给，由此掀起一场末日恐慌；1838 年费尔许尔斯特（Verhulst）添上一个表示拥挤程度的修正项，得到 Logistic 方程 dN/dt=kN(1−N/M)，增长被环境容量 M 刹住，曲线变成平缓的 S 形。同一支笔，把末日预言改写成了可持续的曲线。另一边，达尔文读了马尔萨斯之后，才产生了生存竞争的想法。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 一物体沿直线运动，受到与速度成正比的阻力，其速度满足

\frac{d v}{d t} = - 2 v

。已知初速

v (0) = 10

，求

v (t)

。难度 1

「加速度与速度成正比且方向相反」已给出方程

\frac{d v}{d t} = - 2 v

，这是可分离变量方程。分离

\frac{d v}{v} = - 2 d t

，积分得

ln ∣ v ∣ = - 2 t + C_{1}

，即

v = C e^{- 2 t}

。由初值

v (0) = 10

得

C = 10

，故

v (t) = 10 e^{- 2 t} .

核对实际：

t \to \infty

时

v \to 0

，速度在阻力下衰减到零，符合直觉。

例 2 一条曲线过原点，其上任一点

(x, y)

处切线的斜率都等于该点横坐标的两倍减去纵坐标，求该曲线方程。难度 2

切线斜率为

y^{'}

，「斜率等于

2 x - y

」即

y^{'} = 2 x - y ⟹ y^{'} + y = 2 x .

这是一阶线性方程，

P = 1, Q = 2 x

，积分因子

μ = e^{x}

，

(e^{x} y)^{'} = 2 x e^{x}

。由

\int 2 x e^{x} d x = 2 (x - 1) e^{x} + C

：

e^{x} y = 2 (x - 1) e^{x} + C ⟹ y = 2 x - 2 + C e^{- x} .

由过原点

y (0) = 0

：

- 2 + C = 0 \Rightarrow C = 2

。故

y = 2 x - 2 + 2 e^{- x} .

验证：

y^{'} = 2 - 2 e^{- x}

，而

2 x - y = 2 x - (2 x - 2 + 2 e^{- x}) = 2 - 2 e^{- x} = y^{'}

，成立。

例 3 设连续函数

f (x)

满足

f (x) = x + \int_{0}^{x} f (t) d t

，求

f (x)

。难度 2

求导降级：两边对

x

求导，由微积分基本定理

(\int_{0}^{x} f)^{'} = f (x)

，得

f^{'} (x) = 1 + f (x) ⟹ f^{'} (x) - f (x) = 1.

读初值：原方程令

x = 0

（变限积分为

0

）得

f (0) = 0

。 解一阶线性方程：积分因子

μ = e^{- x}

，

(e^{- x} f)^{'} = e^{- x}

，积分

e^{- x} f = - e^{- x} + C

，即

f = - 1 + C e^{x}

。由

f (0) = 0

得

C = 1

。故

f (x) = e^{x} - 1.

要点：含变限积分的方程，两边求导化为微分方程、令下限得初值，再按一阶线性求解。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数二 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设曲线

L : y = y (x) (x > e)

经过点

(e^{2}, 0)

，

L

上任一点

P (x, y)

到

y

轴的距离等于该点处的切线在

y

轴上的截距。
（Ⅰ）求

y (x)

；
（Ⅱ）在

L

上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积。

2020 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设函数

f (x)

可导，且

f^{'} (x) > 0

。曲线

y = f (x) (x \geq 0)

经过坐标原点

O

，其上任意一点

M

处的切线与

x

轴交于

T

，又

M P

垂直

x

轴于点

P

。已知由曲线

y = f (x)

、直线

M P

以及

x

轴所围图形的面积与

△ M T P

的面积之比恒为

3 : 2

，求满足上述条件的曲线的方程。

2017 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

设

y (x)

是区间

(0, \frac{3}{2})

内的可导函数，且

y (1) = 0

。点

P

是曲线

l : y = y (x)

上的任意一点，

l

在点

P

处的切线与

y

轴相交于点

(0, Y_{P})

，法线与

x

轴相交于点

(X_{P}, 0)

，若

X_{P} = Y_{P}

，求

l

上点的坐标

(x, y)

满足的方程。

2015 年 · 数二 · 第 20 题 · 解答题 · 10 分

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为

120^{\circ} C

的物体在

20^{\circ} C

的恒温介质中冷却，

30 min

后该物体温度降至

30^{\circ} C

。若要将该物体的温度继续降至

21^{\circ} C

，还需冷却多长时间？

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

某放射性元素的质量

m (t)

的衰变速度与当前质量成正比（

k > 0

为衰变常数）。则

m (t)

满足的微分方程是（　）。

A $\frac{d m}{d t} = - k m$
B $\frac{d m}{d t} = k m$
C $\frac{d m}{d t} = - k t$
D $\frac{d m}{d t} = - \frac{k}{m}$

练习 2 · 填空题

设连续函数

f (x)

满足

f (x) = 1 + 2 \int_{0}^{x} f (t) d t

，则

f (x) =

____。

练习 3 · 选择题

曲线

y = y (x)

上点

P (x, y)

处的切线在

y

轴上的截距等于（　）。

A $y - x y^{'}$
B $y + x y^{'}$
C $x - \frac{y}{y ^{'}}$
D $x y^{'} - y$

练习 4 · 选择题

对方程

f (x) = e^{x} + \int_{0}^{x} f (t) d t

两边关于

x

求导，得（　）。

A $f^{'} (x) = e^{x} + f (x)$
B $f^{'} (x) = e^{x} + x f (x)$
C $f^{'} (x) = f (x)$
D $f^{'} (x) = e^{x}$

练习 5 · 选择题

设连续函数

f (x)

满足

f (x) = sin x + \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

，则

f (x)

所满足的微分方程与初始条件是（　　）。

A $f^{'} - f = cos x, f (0) = 0$
B $f^{''} + f = sin x, f (0) = 0, f^{'} (0) = 1$
C $f^{''} - f = sin x, f (0) = 0, f^{'} (0) = 0$
D $f^{''} - f = - sin x, f (0) = 0, f^{'} (0) = 1$

练习 6 · 填空题

曲线

y = y (x)

过点

(1, 1)

，且其上任一点

P (x, y)

处的切线在

y

轴上的截距等于

x^{2}

，则该曲线的方程为 ____。

练习 7 · 解答题

设曲线

y = f (x)

过原点，且其上任意一点

(x, y)

处的切线斜率等于

2 x + y

。

（1）求

f (x)

；
（2）求由曲线

y = f (x)

、直线

x = 1

及

x

轴所围平面图形的面积。

2009 年 · 数二 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设

y = y (x)

是区间

(- π, π)

内过点

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

的光滑曲线。当

- π < x < 0

时，曲线上任一点处的法线都过原点；当

0 \leq x < π

时，函数

y (x)

满足

y^{''} + y + x = 0

。求

y (x)

的表达式。

2008 年 · 数二 · 第 19 题 · 解答题 · 11 分

设

f (x)

是区间

[0, + \infty)

上具有连续导数的单调增加函数，且

f (0) = 1

。对任意的

t \in [0, + \infty)

，由直线

x = 0

、

x = t

、曲线

y = f (x)

以及

x

轴所围成的曲边梯形绕

x

轴旋转一周生成一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的

2

倍，求函数

f (x)

的表达式。