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齐次线性方程组与基础解系

线性代数 · 线性方程组

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. $A x = 0$ 什么时候有非零解

右端全是零的方程组

A x = 0 (A 是 m \times n)

叫齐次线性方程组。

它永远有解——

x = 0

总是一个，叫零解。所以问题从来不是「有没有解」，而是有没有零解以外的解。

判据只有一条：

r (A) < n r (A) = n 有非零解 只有零解

这里

n

是未知量个数（即

A

的列数），不是方程个数。

两条一眼就能用的推论：

① 方程个数少于未知量个数（ $m < n$ ）时必有非零解，因为

r (A) \leq m < n

。

② $A$ 是方阵时：有非零解

⟺ ∣ A ∣ = 0

；只有零解

⟺ ∣ A ∣ \neq = 0

。

和上一章接上了：

A x = 0

有非零解

⟺ A

的列向量组线性相关。两句话说的是同一件事——非零解的分量，正是那组不全为零的系数。

2. 解集是一个向量空间：解空间

A x = 0

的全体解构成一个向量空间，称为

A

的解空间，记作

N (A)

。

为什么是向量空间：两条封闭性都成立（下面那条证明就验这个）。所以它含零向量、能谈基与维数。

维数公式（本章最重要的一条）：

dim N (A) = n - r (A) .

右边正是自由未知量的个数。

基础解系就是解空间的一组基：

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

线性无关，且每个解都能由它们线性表示。于是通解写成

x = k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}, k_{i} 任意 .

三个数要分清：

n

是未知量个数，

r (A)

是秩，

n - r (A)

是基础解系里向量的个数。写通解时系数

k

的个数必须等于

n - r (A)

——这是自查的第一刀。

$r (A) = n$ 时解空间只有零向量，维数为

0

，没有基础解系（通解就是

x = 0

）。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条证明的手法是把 $A$ 乘进括号，用已知条件把每一项变成零。设

η_{1}, η_{2}

都是非齐次方程组

A x = b

的解。

证明：

η_{1} - η_{2}

是对应齐次方程组

A x = 0

的解。

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

3. 求基础解系：自由未知量轮流取 $1$

标准流程：

① 把 $A$ 化成行最简形（主元为

1

，主元列其余位置为

0

）。

② 定出主元列和自由列。 主元列对应主变量，其余列对应自由变量，共

n - r

个。

③ 自由变量轮流取「一个 $1$ 、其余 $0$ 」，每取一次回代解出主变量，得到一个解向量

ξ_{i}

。

④ 这 $n - r$ 个 $ξ_{i}$ 就是基础解系，通解是它们的任意线性组合。

为什么这样取出来的一定无关：把这些

ξ_{i}

按列排好，自由变量那几行恰好构成一个单位阵，秩至少是

n - r

；而解空间维数就是

n - r

，所以它们正好是一组基。

「轮流取 $1$ 」不是唯一取法，只是最省事、最容易验的一种。任何

n - r

个线性无关的解都是合法的基础解系。

4. 和上一章串起来：三句话是同一件事

把本节、上一章的结论摆在一起，它们说的是同一件事的不同侧面（

A

为

m \times n

，列向量记作

α_{1}, \dots, α_{n}

）：

A x = 0 只有零解 有非零解 列向量组 线性无关 线性相关 秩 r (A) = n r (A) < n

为什么能这样对应：

A x = 0

展开就是

x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{n} α_{n} = 0,

非零解的分量，正是「不全为零的系数」。 两个定义字面上就是同一个式子。

方阵时还能再接一条：

∣ A ∣ = 0 ⟺

有非零解

⟺

列相关

⟺ r (A) < n ⟺ A

不可逆。

考场上的用法：题目给你哪一种语言，就翻成最好算的那一种。给行列式就算行列式，给向量组就化矩阵，给方程组就看自由度。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断 $A x = 0$ 有无非零解

第一步：数清

n

（未知量个数

=

列数），别拿成行数。

第二步：若方程个数

m < n

，直接判有非零解，收工。

第三步：否则化阶梯形求

r (A)

。

第四步：

r (A) < n

有非零解，

r (A) = n

只有零解。方阵时也可改算

∣ A ∣

。

例例. 判断

{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 2 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} = 0

有无非零解。

第一步，数清

n = 4

（未知量个数

=

列数），别拿成方程个数。

第二步，方程个数

m = 2 < 4 = n

\Rightarrow

直接判有非零解，收工。

方程比未知数少，一定有非零解——这一步能省掉整道题。

第三、四步，若要往下：化阶梯形得

r (A) = 2 < 4

\Rightarrow

有非零解 ✓ 结论相同。

反过来，

{x_{1} + x_{2} = 0 x_{1} - x_{2} = 0

的

m = n = 2

，第二步过不了，必须算：

r = 2 = n

\Rightarrow

只有零解。

求基础解系与通解

第一步：把

A

化到行最简形，定出主元列。

第二步：算

n - r

，这是基础解系的向量个数——先算出来，后面好自查。

第三步：自由变量轮流取「一个

1

、其余

0

」，回代得

ξ_{1}, \dots, ξ_{n - r}

。

第四步：写通解

x = k_{1} ξ_{1} + \dots + k_{n - r} ξ_{n - r}

，系数个数必须等于 $n - r$ ；挑一个

ξ

代回原方程核对。

例例. 求上题的基础解系与通解。

第一步，化行最简形：

(12121314) \to (10101112) \to (101001 - 1 2),

主元在第

1

、

3

列，自由变量是

x_{2}, x_{4}

。

第二步，

n - r = 4 - 2 = 2

——先算出来，一会儿好自查。

第三步，自由变量轮流取「一个

1

、其余

0

」：

(x_{2}, x_{4}) = (1, 0) \Rightarrow ξ_{1} = (- 1, 1, 0, 0)^{T}

；

(x_{2}, x_{4}) = (0, 1) \Rightarrow ξ_{2} = (1, 0, - 2, 1)^{T}

。

第四步，通解

x = k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}

。

k

的个数

2 = n - r

✓ 代回核对

ξ_{2}

：

1 + 0 - 2 + 1 = 0

✓、

2 + 0 - 6 + 4 = 0

✓

由解的信息反推秩

第一步：题目给「基础解系含

t

个向量」或「解空间维数为

t

」。

第二步：套

t = n - r (A)

。

第三步：解出

r (A) = n - t

。

第四步：再按需要翻成别的语言——列向量组的秩、

∣ A ∣

是否为零、

A

可不可逆。

例例. 已知

A

是

5 \times 4

矩阵，

A x = 0

的基础解系含

2

个向量。求

r (A)

，并判断

A

的列向量组是否线性相关。

第一步，题给

t = 2

。

第二步，套

t = n - r (A)

。这里

n

是列数 $4$ ，不是行数

5

。

第三步，

2 = 4 - r (A)

\Rightarrow

r (A) = 2

。

第四步，翻成别的语言：

A

有

4

个列向量而秩只有

2 < 4

\Rightarrow

列向量组线性相关。

（若

A

是方阵，还能接着说

∣ A ∣ = 0

、

A

不可逆；这里不是方阵，那两句就不能说。）

n

取成行数是这一条唯一的坑：

t = n - r

里的

n

永远是未知量个数。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把 $n$ 拿成方程个数

判据和维数公式里的

n

都是未知量个数，也就是

A

的列数。

3 \times 5

的矩阵，

n = 5

不是

3

。

拿错这个数，

dim N (A) = n - r

算出来可能还是负数——出现负数就说明这里错了。

说「齐次方程组可能无解」

齐次方程组永远有解，零解总在那里。

题目问的从来是「有没有非零解」。

答题时写「无解」是硬伤，而且说明判据没理解。

通解里系数的个数不对

通解

x = k_{1} ξ_{1} + \dots

里任意常数的个数必须恰好是

n - r (A)

。

多写一个，意味着你给出的「基础解系」是相关的；少写一个，解没写全。

写完先数一遍 $k$ 的个数，这是最快的自查。

$η_{1} + η_{2}$ 当成非齐次的解

齐次的解集对加法封闭，非齐次的不封闭。

A (η_{1} + η_{2}) = b + b = 2 b \neq = b

（除非

b = 0

）。

两个非齐次解能做的是相减——差落在齐次解空间里，这是下一节的基石。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 有没有非零解

练 1

齐次线性方程组

A x = 0

（）。

A可能无解
B一定有解
C一定有非零解
D一定只有零解

练 2

设

A

为

3 \times 4

矩阵，则

A x = 0

________（填「必有」或「未必有」）非零解。

练 3

n

阶方阵

A

使

A x = 0

只有零解的充要条件是（）。

A $∣ A ∣ = 0$
B $r (A) < n$
C $A$ 的列向量组线性相关
D $∣ A ∣ \neq = 0$

练 4

设

A

为

4 \times 6

矩阵，

r (A) = 3

，则

dim N (A) =

________。

第二组 · 基础解系

练 5

设

A

为

5 \times 5

矩阵，

r (A) = 2

，则基础解系含 ________ 个向量。

练 6

A x = 0

的解集（）。

A对加法封闭，对数乘不封闭
B是一个向量空间
C不含零向量
D只在 $r (A) < n$ 时才含零向量

练 7

若

A x = 0

的基础解系含

2

个向量，

A

有

5

列，则

r (A) =

________。

练 8

设

ξ_{1}, ξ_{2}

是

A x = 0

的解，则下列不一定是

A x = 0

的解的是（）。

A $ξ_{1} + ξ_{2}$
B $3 ξ_{1}$
C $ξ_{1} - ξ_{2}$
D $ξ_{1} + e$ （ $e$ 为某固定非零向量）

第三组 · 求通解

练 9

x_{1} + x_{2} = 0

（两个未知量）的基础解系为 ________。

练 10

已知

A x = 0

的通解为

k_{1} ξ_{1} + k_{2} ξ_{2}

（

ξ_{1}, ξ_{2}

无关），

A

有

4

列，则

r (A) =

（）。

A $1$
B $4$
C $2$
D $3$

练 11

设

η_{1}, η_{2}

是

A x = b

（

b \neq = 0

）的两个不同的解，则

η_{1} - η_{2}

是 ________ 的解。

练 12

设

A

为

n

阶方阵且

r (A) = n - 1

，则

A x = 0

的基础解系（）。

A不存在
B含 $n - 1$ 个向量
C含 $n$ 个向量
D含 $1$ 个向量

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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