向量组的秩与极大线性无关组

§10.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

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4.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）向量组的线性相关性矩阵的秩③ 掌握后可解锁施密特正交化与正交矩阵齐次线性方程组与基础解系

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 基本定理：向量组的秩 $=$ 它按列拼成的矩阵的秩，独立方向的个数与矩阵的秩是同一个数★★ 必会

向量组的秩定义为它的极大无关组所含向量的个数，按定义似乎要靠挑选才能确定；但基本定理指出，它就等于把这些向量按列拼成的矩阵

A

的秩

r (A)

。因此求向量组的秩、判定线性相关性、比较能否线性表示，都归结为对

A

作初等变换求

r (A)

。这样就把抽象的独立方向个数化成了可以计算的矩阵的秩。

证明 / 推导

证. 矩阵的秩

r (A)

等于

A

的列向量组的极大无关组所含列的个数，即列秩；而它也就是向量组

α_{1}, \dots, α_{s}

的极大无关组所含向量的个数，即向量组的秩。其根据是行秩

=

列秩

= r (A)

：初等行变换不改变列向量之间的线性关系，化为行最简形后，主元列所对应的原向量线性无关，且能表示其余各列，故主元列的个数

=

列秩

=

非零行的行数

= r (A)

。

■

举例说明

（数三 2017） 设

A = 110011121

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为线性无关的

3

维列向量，求向量组

A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}

的秩。解：

(A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}) = A (α_{1}, α_{2}, α_{3})

。因为

α_{i}

线性无关，所以

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

可逆；而右乘可逆矩阵不改变秩，故所求的秩

= r (A)

。对

A

作行变换得两个非零行，故

r (A) = 2

。向量组的秩就是它拼成的矩阵的秩，所以答案为

2

。

2. 极大无关组的两个条件缺一不可；选法不唯一，但所含向量的个数（即秩）唯一★ 要懂

一个部分组称为极大无关组，必须同时满足两个条件：(1) 它自身线性无关；(2) 全组中每个向量都能由它线性表示（等价地说，再添入任何一个向量就变为线性相关）。若缺少条件 (1)，则组内有多余的向量；若缺少条件 (2)，则不能覆盖全组。极大无关组的选法一般不唯一，不同的主元列都可以选；但它所含向量的个数是确定的，这个不变的数才称为秩。

证明 / 推导

证. 设

B_{1}, B_{2}

是同一向量组

T

的两个极大无关组。由条件 (2)，

T

中每个向量都可由

B_{1}

线性表示，而

B_{2} \subseteq T

，故

B_{2}

可由

B_{1}

表示，得

r (B_{2}) \leq r (B_{1})

；同理

r (B_{1}) \leq r (B_{2})

。因此

r (B_{1}) = r (B_{2})

。又

B_{1}, B_{2}

各自线性无关，其秩等于自身所含向量的个数，所以两者所含向量的个数相同。由此可见，秩与具体的选法无关。

■

举例说明

（数三 1987） 设

n

阶方阵

A

的秩

r (A) = r < n

，则在

A

的

n

个行向量中（　）(A) 必有

r

个行向量线性无关；(B) 任意

r

个行向量线性无关；(C) 任意

r

个行向量都构成极大无关组；(D) 任意一个行向量都可由其他

r

个表示。解：行向量组的秩

= r (A) = r

，即它的极大无关组含

r

个向量。这只能保证存在

r

个行向量线性无关，而不能说任意

r

个行向量都线性无关，因为所取的行有可能成比例，故 B、C 都不对，D 也不成立。所以选 A。极大无关组的选法不唯一，只有它所含向量的个数（即秩）才是唯一的。

3. 由行最简形可以一次求出秩、极大无关组与表示系数；且只能作行变换★★ 必会

一般的算法是：把

A = (α_{1}, \dots, α_{s})

作初等行变换化到行最简形，则非零行的行数 $=$ 秩；主元列所对应的原向量构成极大无关组；非主元列中的数字就是该向量由主元列表示时的系数，可以直接写出。这里有两处容易出错：一是必须化到行最简形，只化到阶梯形读不出表示系数；二是绝不能作列变换，否则列与列之间的关系被打乱，就会求错极大无关组；此外，极大无关组要写出原向量，而不是变换以后的列。

证明 / 推导

证. 作初等行变换

=

左乘一个可逆矩阵

P

。设

P A = R

为行最简形，则

R

的第

j

列是

P α_{j}

。如果在

R

中有

R_{:, k} = \sum_{j} c_{j} R_{:, j}

（其中

j

取遍主元列），即

P α_{k} = \sum c_{j} P α_{j}

，那么在等式两边左乘

P^{- 1}

，得

α_{k} = \sum c_{j} α_{j}

，可见原向量满足与变换后各列完全相同的线性关系。这就是表示系数可以从行最简形直接读出的依据，同时也说明只有行变换才保持列之间的关系。

■

举例说明

（数三 2006） 设

4

维向量

α_{1} = (1 + a, 1, 1, 1)^{T}, α_{2} = (2, 2 + a, 2, 2)^{T}, α_{3} = (3, 3, 3 + a, 3)^{T}, α_{4} = (4, 4, 4, 4 + a)^{T}

。问

a

取何值时它们线性相关？相关时求出一个极大无关组，并用它表示其余的向量。解：

∣ A ∣ = a^{3} (a + 10)

，故当

a = 0

或

a = - 10

时线性相关。当

a = 0

时：各列成比例，极大无关组为

{α_{1}}

，且

α_{2} = 2 α_{1}, α_{3} = 3 α_{1}, α_{4} = 4 α_{1}

。当

a = - 10

时：作初等行变换化到行最简形

100001000010 - 1 - 1 - 1 0

，秩为

3

，极大无关组为

{α_{1}, α_{2}, α_{3}}

，由末列直接读出

α_{4} = - α_{1} - α_{2} - α_{3}

。

4. 秩的比较：可以线性表示则秩不增， $r (I) \leq r (II)$ ；等价 $\Rightarrow$ 秩相等，但反过来不成立

若向量组

(I)

可由

(II)

线性表示，则

r (I) \leq r (II)

，即被表示的向量组的独立方向不会多于表示它的向量组。由此得到两条常用的推论：等价的向量组秩相等，因为它们可以互相表示；添加向量时秩不减，删去向量时秩不增。但反过来，秩相等不能推出等价，判定等价仍须回到能否互相表示。

证明 / 推导

证. 由假设

(I) = (II) C

，其中

C

是某个系数矩阵，故

r (I) = r ((II) C) \leq r (II)

，这里用到乘积的秩

\leq

各因子的秩。若

(I), (II)

等价，则它们可以互相表示，于是

r (I) \leq r (II)

且

r (II) \leq r (I)

，故二者相等。

■

举例说明

（数三 2010） 设向量组

(I) : α_{1}, \dots, α_{r}

可由

(II) : β_{1}, \dots, β_{s}

线性表示，下列结论中正确的是（　）(A) 若

(I)

线性无关，则

r \leq s

；(B) 若

(I)

线性相关，则

r > s

；(C) 若

(II)

线性无关，则

r \leq s

；(D) 若

(II)

线性相关，则

r > s

。解：由可以线性表示得

r (I) \leq r (II) \leq s

。若

(I)

线性无关，则

r (I) = r

，故

r \leq s

，所以选 A，其余三个结论都可以举出反例加以否定。这就是可以线性表示则秩不增这一结论的直接应用。

💡 小知识

极大线性无关组做的事情，就是用最少的向量代表全部。搜索引擎给网页排序、推荐系统给用户贴标签，背后都是把成千上万个维度压缩成一个极大无关组，也就是所谓的低秩表示。数学上把这件事称为降维，SVD、PCA 一类算法之所以有效，道理也在这里。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求向量组

α_{1} = (1, 1, 0)^{T}

，

α_{2} = (0, 1, 1)^{T}

，

α_{3} = (1, 2, 1)^{T}

的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用它表示。难度 1

按列拼成矩阵，作初等行变换化到行最简形：

A = 110011121 r_{2} - r_{1} 100011111 r_{3} - r_{2} 100010110 .

非零行有

2

行，故秩 $= 2$ 。主元在第

1, 2

列，故

α_{1}, α_{2}

构成一个极大线性无关组。由行最简形第

3

列

(1, 1, 0)^{T}

直接读出

α_{3} = 1 \cdot α_{1} + 1 \cdot α_{2} = α_{1} + α_{2} .

（验证：

α_{1} + α_{2} = (1, 2, 1)^{T} = α_{3}

。）

■

例 2 求

α_{1} = (1, - 1, 0)^{T}

，

α_{2} = (2, 1, 1)^{T}

，

α_{3} = (4, - 1, 1)^{T}

，

α_{4} = (1, 2, 1)^{T}

的秩、一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。难度 2

按列拼成矩阵，初等行变换到行最简形：

A = 1 - 1 0 211 4 - 1 1 121 r_{2} + r_{1} 100231431131 \frac{1}{3} r_{2} 100211411111 r_{3} - r_{2} r_{1} - 2 r_{2} 100010210 - 1 10 .

非零行

2

行，秩 $= 2$ ；主元在第

1, 2

列，故

α_{1}, α_{2}

为一个极大无关组。由行最简形第

3, 4

列直接读出：

α_{3} = 2 α_{1} + α_{2}, α_{4} = - α_{1} + α_{2} .

（验证：

2 α_{1} + α_{2} = (4, - 1, 1)^{T} = α_{3}

；

- α_{1} + α_{2} = (1, 2, 1)^{T} = α_{4}

。）

■

例 3 设

α_{1} = (1, 2, 1)^{T}

，

α_{2} = (1, 3, 2)^{T}

，

α_{3} = (1, a, 3)^{T}

。当

a

为何值时该向量组的秩为

2

？其余情形秩为多少？难度 2

按列拼成

3

阶方阵，先算行列式：

∣ A ∣ = 121132 1 a 3 = 1 \cdot (9 - 2 a) - 1 \cdot (6 - a) + 1 \cdot (4 - 3) = 9 - 2 a - 6 + a + 1 = 4 - a .

- 当

a \neq = 4

：

∣ A ∣ = 4 - a \neq = 0

，三向量线性无关，秩 $= 3$ ；
- 当

a = 4

：

∣ A ∣ = 0

，秩

< 3

。此时

α_{3} = (1, 4, 3)^{T}

，而

α_{1}, α_{2}

不成比例（秩至少

2

），故秩 $= 2$ 。
综上， $a = 4$ 时秩为 $2$ ，

a \neq = 4

时秩为

3

。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

已知向量组

α_{1} = 10 - 1 - 1

，

α_{2} = 1 - 1 0 - 2

，

α_{3} = 0 - 1 1 - 1

，

α_{4} = 01 - 1 1

，记

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

，

G = (α_{1}, α_{2})

。

（1）证明：

α_{1}, α_{2}

是

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

的极大线性无关组；

（2）求矩阵

H

使得

A = G H

，并求

A^{10}

。

2025 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分

设矩阵

A = 1 - 1 1 - 1 01 3 - 2 a 0 - a 2 - 1 - 1 3

的秩为

2

。

（Ⅰ）求

a

的值；

（Ⅱ）求

A

的列向量组的一个极大线性无关组

α, β

，并求矩阵

H

，使得

A = G H

，其中

G = (α, β)

。

2022 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设

α_{1} = (λ, 1, 1)^{T}, α_{2} = (1, λ, 1)^{T}, α_{3} = (1, 1, λ)^{T}, α_{4} = (1, λ, λ^{2})^{T}

。若向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

与

α_{1}, α_{2}, α_{4}

等价，则

λ

的取值范围是（　　）

A ${0, 1}$
B ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 2}$
C ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 1, λ \neq = - 2}$
D ${λ ∣ λ \in R, λ \neq = - 1}$

2019 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

已知向量组 I：

α_{1} = 114, α_{2} = 104, α_{3} = 12 a^{2} + 3

与 II：

β_{1} = 11 a + 3, β_{2} = 02 1 - a, β_{3} = 13 a^{2} + 3

. 若向量组 I 与 II 等价，求

a

的取值，并将

β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

向量组

α_{1} = (1, 2, 3)^{T}

，

α_{2} = (2, 4, 6)^{T}

，

α_{3} = (3, 6, 9)^{T}

的秩为 ____。

练习 2 · 选择题

关于向量组的极大线性无关组与秩，下列说法正确的是（　）。

A极大线性无关组是唯一的
B极大线性无关组所含向量的个数是唯一的
C向量组的秩一定等于向量的个数
D向量组的秩可以大于向量的个数

练习 3 · 填空题

已知向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

的秩为

3

，且

α_{4} = α_{1} + α_{2} + α_{3}

，则向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

的秩为 ____。

练习 4 · 选择题

设向量组

(I)

与

(II)

等价，则它们（　）。

A所含向量的个数一定相等
B秩一定相等
C一定都线性无关
D一定是同一组向量

练习 5 · 选择题

设

(I) : α_{1}, α_{2}, α_{3}

与

(II) : β_{1}, β_{2}, β_{3}

都是

4

维列向量组，已知

r (I) = 2, r (II) = 2, r (I, II) = 3,

其中

(I, II)

表示把两组向量合并而成的向量组。则（　）。

A $(II)$ 可由 $(I)$ 线性表示，但 $(I)$ 不能由 $(II)$ 线性表示
B $(I)$ 可由 $(II)$ 线性表示，但 $(II)$ 不能由 $(I)$ 线性表示
C $(I)$ 与 $(II)$ 等价
D $(I)$ 与 $(II)$ 互相都不能线性表示

练习 6 · 填空题

设

α_{1} = (1, 2, - 1, 1)^{T}

，

α_{2} = (2, 0, t, 0)^{T}

，

α_{3} = (0, - 4, 5, - 2)^{T}

。若该向量组的秩为

2

，则

t =

____。

练习 7 · 解答题

设

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (1, 1, 3)^{T}, α_{3} = (2, 1, a)^{T}, β = (1, 2, c)^{T} .

(1) 讨论

a

取何值时向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

的秩为

3

、何值时为

2

；秩为

2

时写出一个极大线性无关组，并把其余向量用它表示；

(2) 当

a = 4

时，讨论

c

取何值时

β

可由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示，写出表示式，并说明表示是否唯一；

(3) 当

a = 4, c = 5

时，判断向量组

(I) : α_{1}, α_{2}, α_{3}

与

(II) : α_{1}, α_{2}, β

是否等价，并说明理由。

2017 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

设矩阵

A = 110011121

，

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为线性无关的

3

维列向量组，则向量组

A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}

的秩为 ______。

2011 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 11 分

设向量组

α_{1} = (1, 0, 1)^{T}, α_{2} = (0, 1, 1)^{T}, α_{3} = (1, 3, 5)^{T}

不能由向量组

β_{1} = (1, 1, 1)^{T}, β_{2} = (1, 2, 3)^{T}, β_{3} = (3, 4, a)^{T}

线性表示．（I）求

a

的值；（II）将

β_{1}, β_{2}, β_{3}

用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示．

向量组的秩与极大线性无关组

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 基本定理：向量组的秩 = 它按列拼成的矩阵的秩，独立方向的个数与矩阵的秩是同一个数★★ 必会

2. 极大无关组的两个条件缺一不可；选法不唯一，但所含向量的个数（即秩）唯一★ 要懂

3. 由行最简形可以一次求出秩、极大无关组与表示系数；且只能作行变换★★ 必会

4. 秩的比较：可以线性表示则秩不增，r(I)≤r(II)；等价 ⇒ 秩相等，但反过来不成立

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 基本定理：向量组的秩 $=$ 它按列拼成的矩阵的秩，独立方向的个数与矩阵的秩是同一个数★★ 必会

4. 秩的比较：可以线性表示则秩不增， $r (I) \leq r (II)$ ；等价 $\Rightarrow$ 秩相等，但反过来不成立