要点精讲
把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。
1. 极大线性无关组的定义：无关 + 任加必相关；等价刻画与个数唯一★★ 必会
① 定义. 设向量组 T:α1,…,αs 的一个部分组 αi1,…,αir 满足：
(i) αi1,…,αir 本身线性无关；
(ii) 从 T 中任取一个向量 α 添入后，αi1,…,αir,α 都线性相关；
则称它为 T 的一个极大线性无关组（简称极大无关组）。极大二字的含义是：在保持线性无关的前提下，T 中任何一个向量都不能再添进来。
② 等价的刻画（比定义更便于使用）. 在 (i) 成立的前提下，(ii) 可以换成：
(ii') T 中每个向量都可由 αi1,…,αir 线性表示。
于是极大无关组 =线性无关的部分组 + 能表示整组= 与原组等价的线性无关的部分组。由此也可以看出它的作用：研究整个向量组的线性问题，只需研究这 r 个代表。
③ 个数唯一，向量组的秩. 极大无关组可以不唯一，但所含向量的个数必相同，这个公共的个数称为向量组的秩，记作 r(α1,…,αs)。规定全由零向量组成的向量组的秩为 0（它没有极大无关组）。基本事实：r≤s；r=s⟺ 原组线性无关（这时极大无关组就是它自己）；向量组的秩 = 把向量拼成矩阵后所得矩阵的秩（见本页向量组的秩 = 矩阵的秩条）。具体求法：把向量按列拼成矩阵，作初等行变换化成阶梯形，非零行的个数就是秩，主元所在列对应的原向量构成一个极大无关组；其余向量的表示系数，再化成行最简形后直接读出。
证明 / 推导
先证 (ii) ⟺ (ii')，这里设部分组线性无关.
(ii) ⇒ (ii')：任取 α∈T。如果 α 本来就在部分组中，那么显然可以表示。否则由 (ii) 知 αi1,…,αir,α 线性相关，即存在不全为零的 λ1,…,λr,k 使 λ1αi1+⋯+λrαir+kα=0。这里必有 k=0，否则 λi 不全为零，却使一个线性无关组的组合为零，矛盾。于是 α=−kλ1αi1−⋯−kλrαir。
(ii') ⇒ (ii)：如果 α 可由部分组表示，那么向量组 αi1,…,αir,α 中有一个向量可由其余向量表示，因而必线性相关。
再证个数唯一. 设两个极大无关组分别含 r1 与 r2 个向量。由 (ii')，第一组的每个向量都可由第二组线性表示。如果 r1>r2，那么由以少表多、多必相关（§11.1）知第一组必线性相关，与它线性无关相矛盾，故 r1≤r2；由对称性又有 r2≤r1。于是 r1=r2。■举例说明
例（1990 年数一·填空题）. 求向量组 α1=(1,2,3,4), α2=(2,3,4,5), α3=(3,4,5,6), α4=(4,5,6,7) 的秩。
解. 以 αiT 为列拼成矩阵，作行变换直到化为行最简形：
1234234534564567→10002−1−2−33−2−4−64−3−6−9→1000210032004300→10000100−1200−2300.
非零行有 2 个，故秩为 2。主元在第 1、2 列，因此 {α1,α2} 是一个极大无关组；由行最简形直接读出系数：α3=−α1+2α2, α4=−2α1+3α2（可代入验证）。
与定义对照：α1,α2 不成比例，因而线性无关，这是条件 (i)；添入 α3 或 α4 后，新添的向量可由 α1,α2 表示，该组必线性相关，这是条件 (ii)。必须注意它并不唯一：{α2,α3} 同样是极大无关组（这时 α1=2α2−α3, α4=2α3−α2），但所含向量的个数只能是 2。正因如此，秩才是一个确定的数。2. 向量组的秩 = 矩阵的秩何以成立（行秩 = 列秩的向量组形式）★ 要懂
按定义，向量组的秩是极大无关组所含向量的个数，反映的是列的独立个数；而矩阵的秩 r(A) 通常由初等变换后的非零行的个数得到，反映的是行的独立个数。两者相等并非显然，它实际上等价于行秩 = 列秩。明白了这一点，才知道为什么对 A 作行变换求出的 r(A)就是列向量组中独立方向的个数，从而一切求秩、求极大无关组的做法才有根据。
证明 / 推导
证 设 A=(α1,…,αs)，r(A)=r，即存在 r 阶非零子式，而没有 r+1 阶非零子式。
(a) 存在 r 个线性无关的列. 取某个 r 阶非零子式所在的 r 列，这 r 列中有一个 r×r 子方阵的行列式 =0，因此这 r 列线性无关，独立的列数 ≥r。
(b) 任意 r+1 列都线性相关. 否则便有 r+1 个线性无关的列，它们构成的 m×(r+1) 子矩阵的秩为 r+1，其中含有 r+1 阶非零子式，与 r(A)=r 相矛盾。所以独立的列数 ≤r。
合并以上两条即知，极大无关组恰含 r 个向量，也就是向量组的秩 =r(A)。■3. 初等行变换保持列向量之间的线性关系，这是直接读出系数的根据
求极大无关组、写出非主元列的表示式时，我们直接从行最简形中读出系数。为什么行变换以后读出的关系对原向量也成立？因为初等行变换 = 左乘一个可逆矩阵 P，而左乘可逆矩阵不改变各列之间的线性关系。由此也可以看出，为什么只能作行变换而不能作列变换：列变换会打乱列的相关结构，从而求出错误的极大无关组。
证明 / 推导
证 行变换把 A=(α1,…,αs) 变为 B=PA=(Pα1,…,Pαs)，其中 P 可逆。对任意一组系数 c=(c1,…,cs)T，有
j∑cjαj=0⟺ Ac=0⟺ PAc=0 (P 可逆)⟺ Bc=0⟺ j∑cj(Pαj)=0.
即原来的列与新的列满足完全相同的线性关系。因此行最简形中读出的关系，例如第 j 列 = 若干主元列的线性组合、系数为 …，对原向量原封不动地成立。■举例说明
设 α1=(1,2,1)T,α2=(2,3,0)T,α3=(4,7,2)T,α4=(1,1,−1)T，按列拼成 A 后作行变换：
A=12123047211−1→100010210−110.
主元在第 1,2 列，秩为 2，极大无关组为 {α1,α2}。由行最简形直接读出 α3=2α1+α2, α4=−α1+α2。这些系数对原向量同样成立（验证 2α1+α2=(4,7,2)T=α3），这是因为行变换保持了列之间的关系。4. 三条常用的秩不等式：拼接、求和与乘积
向量组与矩阵的秩满足下面几条常用的不等式，在证明题中出现得很多：
- 拼接：max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)；
- 求和：r(A+B)≤r(A)+r(B)（同型）；
- 乘积：r(AB)≤min{r(A),r(B)}，并有 Sylvester 下界 r(A)+r(B)−n≤r(AB)（其中 A 为 m×n，B 为 n×p）；特别地，AB=0⇒r(A)+r(B)≤n。
从向量组的角度看：拼接就是把两组列向量并在一起；r(A,B)=r(A)+r(B) 成立当且仅当两组向量所张成的方向没有重叠。
证明 / 推导
证 拼接的右端不等式. 取 A 的列向量组的极大无关组（共 r(A) 个）与 B 的列向量组的极大无关组（共 r(B) 个），二者合起来能线性表示 (A,B) 的所有列，因此 r(A,B)≤r(A)+r(B)。左端不等式. A 的列是 (A,B) 的列的一部分，故 r(A)≤r(A,B)；同理 r(B)≤r(A,B)。
AB=0⇒r(A)+r(B)≤n. 由 AB=0 知 B 的每一列 bj 满足 Abj=0，即 B 的列都是 Ax=0 的解，落在解空间（其维数为 n−r(A)）之内，因此 r(B)≤n−r(A)。■举例说明
设 A,B 均为 n 阶方阵，且 AB=0。如果 r(A)=n（即 A 可逆），求 r(B)。由 r(A)+r(B)≤n 得 r(B)≤n−n=0，故 r(B)=0，即 B=0。（也可以这样看：A 可逆时，在 AB=0 两边左乘 A−1 即得 B=0。）5. 综合应用：含参数向量组求秩、极大无关组与表示式★ 要懂
求含参数的向量组的秩，步骤是：拼成矩阵 → 作行变换 → 按参数是否使某个主元消失分情形讨论。作答时要给出三项内容：秩、由原向量构成的极大无关组、非主元列的表示式。必须注意：极大无关组要用原向量来写，而不是行变换以后的列。
举例说明
求 α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,3)T,α3=(1,4,a)T 的秩与极大无关组，并在秩不足时给出表示式。
按列拼成方阵，得 ∣A∣=11112314a=a−7。
- 当 a=7 时：∣A∣=0，秩为 3，极大无关组就是 {α1,α2,α3}，其中没有多余的向量；
- 当 a=7 时：秩为 2，化成行最简形得 α3=3α2−2α1，极大无关组为 {α1,α2}。
一般的做法：向量个数与维数相同时，先用行列式迅速找出临界的参数值，再对临界值化成行最简形，求出极大无关组与表示式。真题精选
近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。
2026 年 · 数一 · 第 21 题 · 解答题 · 12 分
已知向量组
α1=10−1−1, α2=1−10−2, α3=0−11−1, α4=01−11。设
A=(α1,α2,α3,α4)，
G=(α1,α2)。
（1）证明：
α1,α2 是
α1,α2,α3,α4 的极大线性无关组；
（2）求矩阵
H 使得
A=GH，并求
A10。
2024 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分
设向量
α1=a1−11，
α2=11ba，
α3=1a−11。若
α1,α2,α3 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则（ ）
- Aa=1,b=−1.
- Ba=1,b=−1.
- Ca=−2,b=2.
- Da=−2,b=2.
2022 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分
设 α1=(λ,1,1)T, α2=(1,λ,1)T, α3=(1,1,λ)T, α4=(1,λ,λ2)T。若向量组 α1,α2,α3 与 α1,α2,α4 等价，则 λ 的取值范围是（ ）
- A{0,1}.
- B{λ∣λ∈R, λ=−2}.
- C{λ∣λ∈R, λ=−1, λ=−2}.
- D{λ∣λ∈R, λ=−1}.
2017 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分
设矩阵
A=110011121，
α1,α2,α3 为线性无关的
3 维列向量组，则向量组
Aα1,Aα2,Aα3 的秩为 ______.
随堂练习
先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。
练习 1 · 选择题
向量组 α1=(1,0,0)T，α2=(0,2,0)T，α3=(0,0,3)T 的秩是（ ）。
练习 2 · 填空题
向量组 α1=(1,2,3)T，α2=(2,4,6)T，α3=(1,0,0)T 的秩是 ____。
练习 3 · 选择题
设向量组 α1,α2,α3,α4 的秩为 2，则（ ）。
- A其中任意 2 个向量都线性无关
- B其中任意 3 个向量都线性相关
- C其中必有两个向量成比例
- D极大无关组含 3 个向量
练习 4 · 填空题
设向量组 α1=(1,1,1)T，α2=(1,2,3)T，α3=(2,3,a)T 的秩为 2，则 a= ____。
练习 5 · 选择题
设 α1,α2,α3 线性无关，令
β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+tα1.
若向量组 β1,β2,β3 的秩为 2，则 t=（ ）。
练习 6 · 填空题
已知向量组 α1,α2,α3 的秩为 3，向量组 α1,α2,α3,β 的秩为 3，向量组 α1,α2,α3,γ 的秩为 4，则向量组 α1,α2,α3,β+γ 的秩为 ____。
练习 7 · 解答题
设
α1=1213,α2=21−11,α3=1−1−2a,α4=42−2b.（1）问
a,b 取何值时向量组
α1,α2,α3,α4 的秩最小？求出该最小秩；
（2）在（1）所得的取值下，求一个极大线性无关组，并把其余向量用它线性表示；
（3）当
a=0, b=0 时，求该向量组的秩、一个极大线性无关组，并把其余向量用它线性表示。
2013 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分
设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（ ）
- A矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价.
- B矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价.
- C矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价.
- D矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价.
2012 年 · 数一 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分
设
α1=00c1，
α2=01c2，
α3=1−1c3，
α4=−11c4，其中
c1,c2,c3,c4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）
- Aα1,α2,α3.
- Bα1,α2,α4.
- Cα1,α3,α4.
- Dα2,α3,α4.