换元积分法与分部积分法

§3.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.41 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

5.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）不定积分的概念与性质求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁有理函数及三角有理式积分定积分的计算一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 三大积分法的正式陈述：凑微分（第一类换元）、第二类换元、分部积分★★ 必会

① 第一类换元法（凑微分）：设

\int f (u) d u = F (u) + C

，

u = φ (x)

可导，则

\int f (φ (x)) φ^{'} (x) d x = F (φ (x)) + C .

运用时的要点是：认出

φ^{'} (x) d x = d φ (x)

，把

φ (x)

整体看作新变量。常用的微分式有：

x d x = \frac{1}{2} d (x^{2})

、

\frac{d x}{x} = d ln ∣ x ∣

、

e^{x} d x = d (e^{x})

、

\frac{d x}{1 + x ^{2}} = d (arctan x)

、

sin x d x = - d (cos x)

、

\frac{d x}{x} = 2 d (x)

。

② 第二类换元法：设

x = ψ (t)

单调、可导且

ψ^{'} (t) \neq = 0

，若

\int f (ψ (t)) ψ^{'} (t) d t = G (t) + C

，则

\int f (x) d x = G (ψ^{- 1} (x)) + C .

单调性保证反函数

ψ^{- 1}

存在，从而可以回代

t = ψ^{- 1} (x)

；不定积分的结果必须用

x

表示。三种标准的三角代换是：

a^{2} - x^{2}

令

x = a sin t

；

a^{2} + x^{2}

令

x = a tan t

；

x^{2} - a^{2}

令

x = a sec t

。另有根式整体代换

t = n a x + b

、倒代换

x = \frac{1}{t}

等。

③ 分部积分法：

u, v

可导且

\int v d u

存在，则

\int u d v = uv - \int v d u, 即 \int u v^{'} d x = uv - \int u^{'} v d x .

选取 $u$ 的次序为反、对、幂、指、三：反三角函数与对数函数优先取作

u

，因为求导后形式变简单；指数函数与三角函数排在后面，它们易于积分，宜归入

d v

；幂函数居中，与指数函数或三角函数相乘时取作

u

，与反三角函数或对数函数相乘时归入

d v

。

证明 / 推导

① 由复合函数求导法则

\frac{d}{d x} F (φ (x)) = F^{'} (φ (x)) φ^{'} (x) = f (φ (x)) φ^{'} (x)

，按原函数的定义即得。

③ 由乘积求导法则

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

移项，得

u v^{'} = (uv)^{'} - u^{'} v

，两端取不定积分即得。

② 只须验证

G (ψ^{- 1} (x))

确为

f (x)

的原函数。记

t = ψ^{- 1} (x)

，由反函数求导法则

(ψ^{- 1})^{'} (x) = \frac{1}{ψ ^{'} ( t )}

，于是

\frac{d}{d x} G (ψ^{- 1} (x)) = G^{'} (t) \cdot \frac{1}{ψ ^{'} ( t )} = f (ψ (t)) ψ^{'} (t) \cdot \frac{1}{ψ ^{'} ( t )} = f (x) . ■

举例说明

真题（2010 数一） 求

\int_{0}^{π^{2}} x cos x d x

。

解. 先用第二类换元法去掉根号。令

x = t^{2}

（

t \geq 0

，单调），则

d x = 2 t d t

，积分限

x : 0 \to π^{2}

相应换为

t : 0 \to π

，于是

\int_{0}^{π^{2}} x cos x d x = \int_{0}^{π} t cos t \cdot 2 t d t = 2 \int_{0}^{π} t^{2} cos t d t = 2 \int_{0}^{π} t^{2} d (sin t) .

再用分部积分法，取幂函数

t^{2}

作

u

，两次降幂，得

= 2 t^{2} sin t_{0}^{π} - 4 \int_{0}^{π} t sin t d t = 0 - 4 ([- t cos t]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos t d t) = - 4 (π + 0) = - 4 π .

（定积分换元时应同时更换积分限，不必回代；若是不定积分，那么最后必须把

t = x

代回。）

2. 分部积分的列表法：多项式与指数函数或三角函数之积的反复分部★★ 必会

当被积函数形如

P (x) e^{a x}

、

P (x) sin a x

、

P (x) cos a x

（其中

P

为多项式）时，需要反复分部，逐次写出

u, d v

既繁琐又容易出错。列表法把这一过程规范化：把需要求导的因子（多项式

P

，反复求导直到

0

）列成一列，把需要积分的因子（

e^{a x}

等，反复积分）列成另一列，两列错位相乘，符号依

+, -, +, -, \dots

交替，最后相加。它实质上就是把

\int u d v = uv - \int v d u

连用若干次，每次都对多项式求导，多项式越求越简单，最终化为零。

证明 / 推导

设

u = P (x)

，反复求导得

P, P^{'}, P^{''}, \dots, P^{(n)}, 0

；在

d v = e^{a x} d x

一侧反复积分，依次记为

v_{1}, v_{2}, \dots

。连用分部积分，得

\int P d v = P v_{1} - \int P^{'} v_{1} = P v_{1} - P^{'} v_{2} + \int P^{''} v_{2} = P v_{1} - P^{'} v_{2} + P^{''} v_{3} - \dots,

当

P^{(n + 1)} = 0

时过程自动终止。这就是列表法中错位相乘、符号交替再相加的由来。

■

举例说明

求

\int x^{2} e^{x} d x

。解. 求导一列为

x^{2} \to 2 x \to 2 \to 0

，积分一列为

e^{x} \to e^{x} \to e^{x}

，符号依次取

+, -, +

，于是

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C .

求导验证：

e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + e^{x} (2 x - 2) = x^{2} e^{x}

，结果无误。

✓

3. 建立递推（约化）公式：用分部积分处理一整族积分★★ 必会

有些积分带有一个正整数参数

n

（例如

\int sin^{n} x d x

、

\int \frac{d x}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{n}}

、

\int tan^{n} x d x

），一次不能积出，但可以用分部积分把

I_{n}

降为

I_{n - 1}

或

I_{n - 2}

，得到递推公式，再逐步下推到已知的

I_{0}

或

I_{1}

。其中

\int \frac{d x}{( x ^{2} + a ^{2} ) ^{n}}

的递推公式，在有理函数积分中遇到二次质因子的重因式时必须用到，是真题中较难的一类。

证明 / 推导

下面推导

I_{n} = \int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}

的递推公式。对

I_{n - 1}

用分部积分，取

u = (x^{2} + 1)^{- (n - 1)}, d v = d x, v = x

，得

I_{n - 1} = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n - 1}} + 2 (n - 1) \int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}} d x .

把

x^{2} = (x^{2} + 1) - 1

拆开，有

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}} d x = I_{n - 1} - I_{n}

，代回并整理，得

I_{n} (n = \frac{x}{2 ( n - 1 ) ( x ^{2} + 1 ) ^{n - 1}} + \frac{2 n - 3}{2 ( n - 1 )} I_{n - 1} \geq 2), I_{1} = arctan x + C . ■

举例说明

用递推公式求

\int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

（此时

n = 2

），得

I_{2} = \frac{x}{2 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2} I_{1} = \frac{x}{2 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2} arctan x + C .

4. 第二类换元的隐含前提：单调性与根式的符号， $x^{2} - a^{2}$ 须分区间讨论★ 要懂

第二类换元

x = ψ (t)

要求

ψ

单调，以保证一一对应并能够回代。作三角代换时尤其要注意新变量

t

的取值范围，否则开方后的正负号会出错。作

a^{2} - x^{2}

（

x = a sin t, t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

）与

a^{2} + x^{2}

（

x = a tan t

）的代换时，开方所得的

cos t, sec t > 0

，不易出错；但作

x^{2} - a^{2}

（

x = a sec t

）的代换时，定义域分成

x \geq a

与

x \leq - a

两支：前者取

t \in [0, \frac{π}{2})

，此时

tan t \geq 0

；后者取

t \in (\frac{π}{2}, π]

，此时

tan t \leq 0

。因而

x^{2} - a^{2} = a ∣ tan t ∣

，两支必须分别讨论，符号不可想当然。

证明 / 推导

补足 $x < - a$ 的一支. 令

x = a sec t

，取

t \in (\frac{π}{2}, π)

。端点

x = - a

处被积函数无定义，故取开区间。

先验证换元的前提。由

(sec t)^{'} = sec t tan t

，而在

(\frac{π}{2}, π)

内

sec t < 0, tan t < 0

，故

(sec t)^{'} > 0

。因此

sec t

在该区间上严格单调增加，

x

由

- \infty

增至

- a

，与

t

一一对应，可以回代。又此时

tan t < 0

，所以

x^{2} - a^{2} = a ∣ tan t ∣ = - a tan t,

与

x > a

的一支相差一个负号。于是

\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = \int \frac{a sec t tan t}{- a tan t} d t = - \int sec t d t = - ln ∣ sec t + tan t ∣ + C .

回代

sec t = \frac{x}{a}, tan t = - \frac{x ^{2} - a ^{2}}{a}

，得

- ln \frac{x - x ^{2} - a ^{2}}{a} + C = - ln x - x^{2} - a^{2} + ln a + C .

再由

(x - x^{2} - a^{2}) (x + x^{2} - a^{2}) = a^{2}

得

x - x^{2} - a^{2} = \frac{a ^{2}}{x + x ^{2} - a ^{2}}

，代入上式，并把其中的常数并入积分常数，即得

\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = ln x + x^{2} - a^{2} + C .

容易验证它在

x < - a

上确为原函数：求导得

\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}

。这就证明了两支虽然中间各步的符号完全不同，最终却可以合写成同一个公式。

■

举例说明

求

\int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} (a > 0)

。先讨论

x > a

的一支。令

x = a sec t, t \in [0, \frac{π}{2})

，则

d x = a sec t tan t d t

，

x^{2} - a^{2} = a tan t (\geq 0)

，于是

\int \frac{a sec t tan t}{a tan t} d t = \int sec t d t = ln ∣ sec t + tan t ∣ + C = ln x + x^{2} - a^{2} + C_{1} .

在

x < - a

的一支上

x^{2} - a^{2} = - a tan t

，中间各步的符号必须重新判断；最终两支可以统一写成

ln x + x^{2} - a^{2} + C

。如果不分区间讨论，那么符号就容易出错。

5. 凑微分中的配凑：不易看出的补项，例如 $\int sec x d x$ ★ 要懂

凑微分即第一类换元法，实质是复合函数求导法则的逆用：把

g^{'} (x) d x

收进

d (g (x))

之中。困难在于看出应当凑什么，有时还须先作代数上的配凑。下面两个常用而又不易看出的例子值得记熟：

\int sec x d x

靠分子分母同乘

sec x + tan x

，制造出分母的导数；

\int \frac{d x}{x ln x}

则把

\frac{d x}{x}

凑成

d (ln x)

。掌握了凑出分母的导数这一思路，一大类分式的积分便可求出。

举例说明

(1)

\int sec x d x = \int \frac{sec x ( sec x + tan x )}{sec x + tan x} d x

。令

u = sec x + tan x

，则

d u = (sec x tan x + sec^{2} x) d x = sec x (tan x + sec x) d x

与分子相同，故

\int sec x d x = \int \frac{d u}{u} = ln ∣ sec x + tan x ∣ + C .

(2)

\int \frac{d x}{x ln x} = \int \frac{d ( ln x )}{ln x} = ln ∣ ln x ∣ + C .

💡 小知识

分部积分有个口诀叫反对幂三指，依次指反三角、对数、幂、三角、指数，排在前面的优先取作

u

。这个次序暗合一个道理：越靠前的函数求导之后越简单，越靠后的函数越容易求原函数，这样换出来的

\int v d u

才会比原来好算。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

\int e^{2 x} d x

。难度 1

用第一类换元法（凑微分）。注意

d x = \frac{1}{2} d (2 x)

，把

2 x

看成整体

u

：

\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} \int e^{2 x} d (2 x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + C .

检验：

(\frac{1}{2} e^{2 x})^{'} = \frac{1}{2} \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x}

，正确。凑微分时系数

\frac{1}{2}

要配平。

例 2 求

\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x

。难度 1

分子

x

恰好（差一个常数）是分母的导数，凑微分：

x d x = \frac{1}{2} d (1 + x^{2})

。令

u = 1 + x^{2}

：

\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d ( 1 + x ^{2} )}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C .

因

1 + x^{2} > 0

，对数里可不写绝对值。识别信号：「分子是分母的导数（或差常数倍）」时，一律凑成

\frac{d ( 分母 )}{分母}

得对数。

例 3 求

\int x e^{x} d x

。难度 2

被积函数是「幂

\times

指数」，用分部积分法

\int u d v = uv - \int v d u

。按「反对幂三指」取

u = x

（求导变简单）、

d v = e^{x} d x

，则

d u = d x

，

v = e^{x}

：

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C .

检验：

((x - 1) e^{x})^{'} = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}

，正确。

例 4 求

\int ln x d x

。难度 2

表里没有

ln x

的原函数，用分部积分。把

ln x

整体取作

u

、其余（含

d x

）取作

d v

：

u = ln x

，

d v = d x

，则

d u = \frac{1}{x} d x

，

v = x

：

\int ln x d x = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x ln x - \int 1 d x = x ln x - x + C .

方法总结：对

ln x

、

arctan x

这类「求导后变有理式」的函数，取它作

u

、

d v = d x

，一步就能把积分转化好算。

例 5 求

\int x sin x d x

。难度 2

「幂

\times

三角」型，分部积分取

u = x

、

d v = sin x d x

，则

d u = d x

，

v = - cos x

：

\int x sin x d x = - x cos x - \int (- cos x) d x = - x cos x + \int cos x d x = - x cos x + sin x + C .

检验：

(- x cos x + sin x)^{'} = - cos x + x sin x + cos x = x sin x

，正确。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln ( x + 1 )}{x ^{2}} d x =

___.

2022 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

\int_{1}^{e^{2}} \frac{ln x}{x} d x =

______.

2018 年 · 数一 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (x)

具有

2

阶连续导数。若曲线

y = f (x)

过点

(0, 0)

且与曲线

y = 2^{x}

在点

(1, 2)

处相切，则

\int_{0}^{1} x f^{''} (x) d x =

______.

2018 年 · 数一 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

求不定积分

\int e^{2 x} arctan e^{x} - 1 d x

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

\int cos 2 x d x =

（　　）

A $sin 2 x + C$
B $\frac{1}{2} sin 2 x + C$
C $2 sin 2 x + C$
D $- \frac{1}{2} sin 2 x + C$

练习 2 · 填空题

\int 2 x e^{x^{2}} d x =

______

练习 3 · 选择题

用分部积分法求

\int x e^{x} d x =

（　　）

A $(x + 1) e^{x} + C$
B $(x - 1) e^{x} + C$
C $x e^{x} + e^{x} + C$
D $\frac{x ^{2}}{2} e^{x} + C$

练习 4 · 填空题

\int ln x d x =

______

练习 5 · 选择题

\int \frac{ln x}{x} d x =

（　　）

A $\frac{1}{2} (ln x)^{2} + C$
B $(ln x)^{2} + C$
C $ln ∣ ln x ∣ + C$
D $\frac{1}{x ^{2}} + C$

练习 6 · 选择题

\int \frac{( x - 1 ) e ^{x}}{x ^{2}} d x =

（　　）

A $e^{x} ln ∣ x ∣ - \frac{e ^{x}}{x} + C$
B $\frac{e ^{x}}{x ^{2}} + C$
C $- \frac{e ^{x}}{x} + C$
D $\frac{e ^{x}}{x} + C$

练习 7 · 填空题

\int arctan x d x =

______（

x > 0

）

练习 8 · 解答题

（1）求

\int \frac{d x}{( 1 + x ) ( 2 + x )}

；
（2）求

\int \frac{ln ( 1 + x )}{( 2 + x ) ^{2}} d x (x > - 1)

。

2016 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

已知函数

f (x) = {2 (x - 1), ln x, x < 1, x \geq 1,

则

f (x)

的一个原函数是（　　）

A $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x - 1), x < 1, x \geq 1.$
B $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x + 1) - 1, x < 1, x \geq 1.$
C $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x + 1) + 1, x < 1, x \geq 1.$
D $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x - 1) + 1, x < 1, x \geq 1.$

2004 年 · 数一 · 第 2 题 · 填空题 · 4 分

已知

f^{'} (e^{x}) = x e^{- x}

，且

f (1) = 0

，则

f (x) =

___。

换元积分法与分部积分法

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 三大积分法的正式陈述：凑微分（第一类换元）、第二类换元、分部积分★★ 必会

2. 分部积分的列表法：多项式与指数函数或三角函数之积的反复分部★★ 必会

3. 建立递推（约化）公式：用分部积分处理一整族积分★★ 必会

4. 第二类换元的隐含前提：单调性与根式的符号，x2−a2​ 须分区间讨论★ 要懂

5. 凑微分中的配凑：不易看出的补项，例如 ∫secxdx★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

4. 第二类换元的隐含前提：单调性与根式的符号， $x^{2} - a^{2}$ 须分区间讨论★ 要懂

5. 凑微分中的配凑：不易看出的补项，例如 $\int sec x d x$ ★ 要懂