条件极值与拉格朗日乘数法

§5.8 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.54 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

1.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）多元函数的无条件极值多元隐函数求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 梯度为什么平行：沿约束的方向导数为零；乘数 $λ$ 的边际意义★ 要懂

在条件极值点处，沿约束曲线的方向导数必为零，因此

\nabla f

垂直于约束曲线的切线方向；而

\nabla φ

也垂直于约束曲线，因为梯度垂直于等值线。两个向量都垂直于同一条切线，所以

\nabla f

与

\nabla φ

平行，即存在数

λ

使

\nabla f + λ \nabla φ = 0

。这就是拉格朗日方程组前两式的来历。乘数

λ

本身也有意义，它等于约束值每放宽一个单位时最优目标值的变化率，在经济学中称为影子价格。

证明 / 推导

设约束为

φ (x, y) = c

，最优点随

c

而变，记作

x^{*} (c)

，最优值为

M (c) = f (x^{*} (c))

。对

c

求导，由链式法则得

M^{'} (c) = \nabla f \cdot \frac{d x ^{*}}{d c}

。又对约束

φ (x^{*} (c)) = c

两边关于

c

求导，得

\nabla φ \cdot \frac{d x ^{*}}{d c} = 1

。把驻点条件

\nabla f = - λ \nabla φ

代入，得

M^{'} (c) = - λ \nabla φ \cdot \frac{d x ^{*}}{d c} = - λ \cdot 1 = - λ .

因此

λ = - M^{'} (c)

，即乘数的相反数恰是最优值关于约束的边际变化率。

■

2. 解题的主线与消去 $λ$ 的技巧，还可以用来反推几何公式★★ 必会

标准步骤如下。第一，构造函数

L = f + λ φ

。第二，令

L_{x} = L_{y} = 0

，并与约束

φ = 0

联立。第三，常把前两式相除以消去

λ

，得到变量之间的关系，再与约束联立求出候选点。第四，把候选点代回

f

比较大小，定出最值；条件极值一般不用

A C - B^{2}

判别。约束方程

L_{λ} = φ = 0

是方程组中的一个，决不能漏掉。用这套方法还可以反推出许多几何与代数公式。

举例说明

用拉格朗日乘数法求原点到平面

a x + b y + cz = d

（

a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq = 0

）的最短距离，即在该约束下求

f = x^{2} + y^{2} + z^{2}

的最小值。令

L = x^{2} + y^{2} + z^{2} + λ (a x + b y + cz - d)

。由

L_{x} = 2 x + λa = 0

得

x = - \frac{λa}{2}

，同理

y = - \frac{λb}{2}, z = - \frac{λ c}{2}

。代入约束，得

- \frac{λ}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = d

，故

λ = - \frac{2 d}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

。于是

f_{m i n} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{λ ^{2}}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \frac{d ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}},

最短距离为

f_{m i n} = \frac{∣ d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

，这就是熟知的点到平面的距离公式。

3. 求闭区域最值的完整做法：内部驻点与边界候选点统一比较★★ 必会

最值可能出现在区域内部，也可能出现在边界上，两者都要考察。第一，求内部驻点，即解

f_{x} = f_{y} = 0

。第二，边界就是一条约束曲线，可以用拉格朗日乘数法求候选点，也可以把边界参数化或者代入降元。第三，把内部驻点处的值与边界上的候选值放在一起比较，最大的是最大值，最小的是最小值。这与 §5.7 中求闭区域最值的做法一致，只是边界改用拉格朗日乘数法处理。

举例说明

求

f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2} - x

在闭圆盘

x^{2} + y^{2} \leq 1

上的最值。先看内部：由

f_{x} = 2 x - 1 = 0, f_{y} = 4 y = 0

得驻点

(\frac{1}{2}, 0)

，它在圆盘内部，

f = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

。再看边界

x^{2} + y^{2} = 1

：代入

y^{2} = 1 - x^{2}

得

f = x^{2} + 2 (1 - x^{2}) - x = - x^{2} - x + 2, x \in [- 1, 1]

。令

g^{'} (x) = - 2 x - 1 = 0

得

x = - \frac{1}{2}

，

g (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{4}

；两个端点处

g (1) = 0, g (- 1) = 2

。所以边界上的最大值为

\frac{9}{4}

，在

x = - \frac{1}{2}, y = \pm \frac{3}{2}

处取得，最小值为

0

，在

(1, 0)

处取得。把

{- \frac{1}{4}, \frac{9}{4}, 0}

放在一起比较，得最大值为

\frac{9}{4}

，最小值为

- \frac{1}{4}

。

4. 方法的取舍、多个约束的情形，以及四处常见的错误

第一，乘数法与消元法的取舍。如果约束能显式解出一个变量，代入目标函数降元后按无条件极值处理往往更快；解不出，或者利用对称性更方便时，才用乘数法。两种做法结果一致。

第二，多个约束用多个乘数。求

f (x, y, z)

在两个约束

φ = 0, ψ = 0

下的极值，构造

L = f + λ φ + μ ψ

，令

L_{x} = L_{y} = L_{z} = 0

，再与两个约束联立，共五个方程。

第三，四处常见的错误：漏掉约束方程

L_{λ} = 0

；对条件极值误用

A C - B^{2}

判别，这时应当比较函数值或结合题目背景；忽略隐含的变量范围，几何或物理问题中

x, y, z > 0

往往会淘汰一些候选点；求闭区域最值时只算内部而漏掉边界。

💡 小知识

拉格朗日乘数

λ

在经济学里另有一个名字，叫影子价格：它的数值恰好等于约束每放宽一个单位、最优目标能够多出来的收益。一个纯数学的辅助参数，就这样成了衡量资源边际价值的尺度。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

f (x, y) = x y

在约束

x + y = 6

下的最大值。难度 1

构造拉格朗日函数

L = x y + λ (x + y - 6)

，令各偏导为零：

L_{x} = y + λ = 0

，

L_{y} = x + λ = 0

，

L_{λ} = x + y - 6 = 0

。由前两式得

x = y

（都等于

- λ

），代入约束

2 x = 6 \Rightarrow x = y = 3

。得候选点

(3, 3)

，

f (3, 3) = 9

。由实际背景（和固定求积最大，AM-GM）知这是最大值，故最大值为

9

。别漏约束方程

L_{λ} = 0

。

例 2 求

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在约束

x + y = 2

下的最小值（即原点到直线

x + y = 2

距离的平方）。难度 1

令

L = x^{2} + y^{2} + λ (x + y - 2)

，则

L_{x} = 2 x + λ = 0

，

L_{y} = 2 y + λ = 0

，

L_{λ} = x + y - 2 = 0

。前两式相减得

2 x - 2 y = 0

，即

x = y

。代入约束

2 x = 2 \Rightarrow x = y = 1

。候选点

(1, 1)

，

f (1, 1) = 1 + 1 = 2

。这是最小值

2

（对应距离

2

，与点到直线距离公式

\frac{∣0 + 0 - 2∣}{2} = 2

吻合）。

例 3 求

f (x, y, z) = x y z

在约束

x + y + z = 3

（

x, y, z > 0

）下的最大值。难度 2

令

L = x y z + λ (x + y + z - 3)

，则

L_{x} = y z + λ = 0

，

L_{y} = x z + λ = 0

，

L_{z} = x y + λ = 0

，

L_{λ} = x + y + z - 3 = 0

。由前两式

y z = x z

，因

z > 0

得

x = y

；同理由后两式得

y = z

。故

x = y = z

，代入约束

3 x = 3 \Rightarrow x = y = z = 1

。候选点

(1, 1, 1)

，

f = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

。由 AM-GM，正数和固定时积在各数相等时最大，故最大值为

1

。

例 4 求

f (x, y, z) = x + 2 y + 2 z

在约束

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9

下的最大值与最小值。难度 2

令

L = x + 2 y + 2 z + λ (x^{2} + y^{2} + z^{2} - 9)

，则

L_{x} = 1 + 2 λ x = 0

，

L_{y} = 2 + 2 λ y = 0

，

L_{z} = 2 + 2 λ z = 0

。解得

x = - \frac{1}{2 λ}, y = z = - \frac{1}{λ}

，即

y = z = 2 x

。代入约束：

x^{2} + (2 x)^{2} + (2 x)^{2} = 9 x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 1

。当

x = 1

：

y = z = 2

，

f = 1 + 4 + 4 = 9

；当

x = - 1

：

y = z = - 2

，

f = - 1 - 4 - 4 = - 9

。故最大值 $9$ ，最小值 $- 9$ （也可由柯西不等式

∣ f ∣ \leq 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} \cdot 3 = 9

验证）。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2022 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

当

x \geq 0, y \geq 0

时，

x^{2} + y^{2} \leq k e^{x + y}

恒成立，则

k

的取值范围是 ______.

2021 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

已知曲线

C : {x^{2} + 2 y^{2} - z = 6, 4 x + 2 y + z = 30,

求

C

上的点到

x O y

坐标面距离的最大值.

2018 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

将长为

2 m

的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

用拉格朗日乘数法求

f (x, y)

在约束

φ (x, y) = 0

下的极值时，应构造的辅助函数是（　）。

A $L = f (x, y) \cdot λ φ (x, y)$
B $L = f (x, y) + λ φ (x, y)$
C $L = f (x, y) - φ (x, y)$
D $L = f (x, y) + λ$

练习 2 · 填空题

f (x, y) = x y

在约束

x + y = 10

（

x > 0, y > 0

）下的最大值为 ____。

练习 3 · 填空题

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在约束

x + y = 4

下的最小值为 ____。

练习 4 · 选择题

f (x, y) = x y

在约束

x^{2} + y^{2} = 2

上的最大值为（　）。

A $1$
B $2$
C $\frac{1}{2}$
D $2$

练习 5 · 选择题

设

u = x + y + z

，则

u

在两个约束条件

x^{2} + y^{2} = 2

与

x + z = 1

下的最大值为（　）。

A $3$
B $2$
C $1 + 22$
D $1 + 2$

练习 6 · 填空题

设

x > 0, y > 0, z > 0

且

x + y + z = 12

，则函数

u = x^{2} y^{3} z

的最大值为 ____。

练习 7 · 解答题

在椭圆

x^{2} + 4 y^{2} = 4

上求一点，使它到直线

2 x + 3 y - 6 = 0

的距离最短，并求出这个最短距离。

2015 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

f (x, y) = x + y + x y

，曲线

C : x^{2} + y^{2} + x y = 3

，求

f (x, y)

在曲线

C

上的最大方向导数。

2008 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 11 分