多元隐函数求导

§5.5 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.57 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

1.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）多元复合函数求导法则隐函数与参数方程求导③ 掌握后可解锁条件极值与拉格朗日乘数法

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 隐函数存在定理是局部结论： $F_{z} \neq = 0$ 保证了什么★ 要懂

定理指出：如果

F \in C^{1}

，

F (P_{0}) = 0

且

F_{z} (P_{0}) \neq = 0

，那么在

P_{0}

的某个邻域内，方程

F (x, y, z) = 0

唯一确定一个可微函数

z = z (x, y)

。这里的局部二字不能丢，它只保证在

P_{0}

的一个小邻域内

z

是

(x, y)

的单值函数。从几何上看，

F_{z} \neq = 0

意味着

F

沿

z

方向严格单调，因而对每一组

(x, y)

，方程

F = 0

关于

z

恰有一个解，隐函数才能确定；一旦

F_{z} = 0

，这种单调性被破坏，

z

就可能分成几支或者无法单值表示。求导公式

z_{x} = - F_{x} / F_{z}

的分母正是

F_{z}

。

证明 / 推导

存在与唯一的证明. 设

F

在

P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

的某邻域内有连续的一阶偏导数，

F (P_{0}) = 0

，且

F_{z} (P_{0}) \neq = 0

。不妨设

F_{z} (P_{0}) > 0

。

因为

F_{z}

连续，由局部保号性，存在正数

δ_{0}

与

β

，使在长方体

U : ∣ x - x_{0} ∣ ∣ y - y_{0} ∣ ∣ z - z_{0} ∣ < δ_{0} < δ_{0} \leq β

内处处有

F_{z} > 0

。先固定

(x, y) = (x_{0}, y_{0})

。这时一元函数

F (x_{0}, y_{0}, z)

在

[z_{0} - β, z_{0} + β]

上严格单调增加。又

F (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0

，所以

F (x_{0}, y_{0}, z_{0} - β) < 0 < F (x_{0}, y_{0}, z_{0} + β) .

函数

F (x, y, z_{0} - β)

与

F (x, y, z_{0} + β)

都对

(x, y)

连续。再由局部保号性，存在

δ \in (0, δ_{0}]

，使当

∣ x - x_{0} ∣ < δ, ∣ y - y_{0} ∣ < δ

时仍有

F (x, y, z_{0} - β) < 0 < F (x, y, z_{0} + β) .

对这样固定的一组

(x, y)

，一元连续函数

F (x, y, z)

在区间

[z_{0} - β, z_{0} + β]

的两端取异号的值。由介值定理，它在该区间内有零点。又因在

U

内

F_{z} > 0

，它关于

z

严格单调增加，所以零点只有一个。把这个唯一的零点记作

z (x, y)

，便得到定义在

∣ x - x_{0} ∣ < δ, ∣ y - y_{0} ∣ < δ

上的单值函数，并且恒有

F (x, y, z (x, y)) = 0

。这就证明了隐函数的存在与唯一。

■

证明中的

δ

与

β

都是小量，结论只在这个小长方体上成立，定理的局部性即由此而来。条件

F_{z} \neq = 0

用在两处：一处保证两端取值异号，另一处保证零点唯一。

条件是充分的，不是必要的. 取

F (x, y, z) = z^{3} - x

。在原点处

F = 0

，而

F_{z} = 3 z^{2} = 0

，定理不适用。但方程

z^{3} = x

对每个

x

恰有一个实根，

z = 3 x

仍是单值的隐函数，只是它在

x = 0

处不可导。由此可见，

F_{z} (P_{0}) = 0

时隐函数未必不存在，但可微性可能随之失去。

举例说明

考察单位球面

F = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0

，这时

F_{z} = 2 z

。在上半球（

z > 0

）有

F_{z} \neq = 0

，

z = 1 - x^{2} - y^{2}

是单值的隐函数；下半球是另一支。但在赤道

z = 0

处

F_{z} = 0

，上下半球在那里相接，同一组

(x, y)

对应两个

z

，无法把

z

单值地表示为

(x, y)

的函数。可见定理中的局部性与条件

F_{z} \neq = 0

缺一不可，而公式

- F_{x} / F_{z}

的分母为零，正好如实反映了这一点。

2. 求一阶偏导数的三种等价方法，方程解不出时尤其有用★★ 必会

三种方法可任选其一。第一是公式法，

z_{x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}}, z_{y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}}

，计算快，但要记准负号。第二是直接求偏导数，把

z

看作

x, y

的函数，对原方程两边求偏导数，再解出

z_{x}

，这种做法最稳妥。第三是全微分法，对

F = 0

求全微分，解出

d z

，其中

d x, d y

的系数就是两个偏导数，一次可得两个。无论用哪一种，都必须注意：凡是出现

z

的项都要带上

z_{x}

，因为

z

是

x, y

的函数，决不能把

z

当作常量。这些方法的价值在方程解不出

z

时才真正显出来。

证明 / 推导

证（三种方法给出同一结果）. 设

F

有连续的偏导数，且

F_{z} \neq = 0

。于是方程

F (x, y, z) = 0

在

P_{0}

附近确定

z = z (x, y)

。把

z = z (x, y)

代回原方程，得恒等式

F (x, y, z (x, y)) \equiv 0.

它对该邻域内的一切

(x, y)

都成立，因此两端可以对

x

求偏导数。左端是复合函数。其中

x

既直接出现，又通过

z

出现，两部分都不能遗漏。由链式法则得

F_{x} + F_{z} \frac{\partial z}{\partial x} = 0.

右端的导数为

0

。因

F_{z} \neq = 0

，解出

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}},

同理

\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}}

。由此可见，公式法就是把直接求偏导数的结果整理成了公式。两者是同一件事，公式中的负号也由移项而来。

再看全微分法。对上述恒等式两端求全微分，得

F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z = 0, 即 d z = - \frac{F _{x}}{F _{z}} d x - \frac{F _{y}}{F _{z}} d y .

而

z

可微时又有

d z = z_{x} d x + z_{y} d y

。由于

d x, d y

可以独立地任意取值，两式中它们的系数必分别相等。所得的就是上面的两个偏导数。这就证明了三种方法彼此等价。三者都要用到

F_{z} \neq = 0

，这也是隐函数存在定理的条件。

■

举例说明

设

z = z (x, y)

由

e^{z} = x y z

确定，求

\frac{\partial z}{\partial x}

。这个方程无法解出

z

。用公式法，令

F = e^{z} - x y z

，则

F_{x} = - y z, F_{z} = e^{z} - x y

，当

e^{z} \neq = x y

时

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = \frac{y z}{e ^{z} - x y} .

用直接求偏导数的方法核对：对

e^{z} = x y z

两边关于

x

求偏导数，得

e^{z} z_{x} = y z + x y z_{x}

，解得

z_{x} = \frac{y z}{e ^{z} - x y}

，两者一致。

3. 求二阶偏导数：对一阶结果再用链式法则，并把一阶结果回代★★ 必会

求

z_{xx}, z_{x y}

时，是对一阶结果（例如

z_{x} = - x / z

一类）再求偏导数。必须注意其中的

z

仍是

x, y

的函数，遇到

z

就要继续用链式法则；求完之后再把已经求得的

z_{x}, z_{y}

回代化简。这是隐函数一类题目中较高的要求，考研压轴题中常见。

举例说明

设

z = z (x, y)

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0)

确定，求

z_{xx}

与

z_{x y}

。先求一阶偏导数。令

F = x^{2} + y^{2} + z^{2} - a^{2}

，则

z_{x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = - \frac{2 x}{2 z} = - \frac{x}{z}

，同理

z_{y} = - \frac{y}{z}

。再对

z_{x} = - x z^{- 1}

求偏导数，注意

z

是函数，得

z_{xx} = - z^{- 1} - x \cdot (- z^{- 2}) z_{x} = - \frac{1}{z} + \frac{x}{z ^{2}} (- \frac{x}{z}) = - \frac{z ^{2} + x ^{2}}{z ^{3}} = - \frac{a ^{2} - y ^{2}}{z ^{3}},

最后一步用

z^{2} = a^{2} - x^{2} - y^{2}

回代。同理

z_{x y} = \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{x}{z}) = \frac{x}{z ^{2}} z_{y} = \frac{x}{z ^{2}} (- \frac{y}{z}) = - \frac{x y}{z ^{3}}

。

4. 方程组的情形（数一重点）：求全微分再用克拉默法则最为简便★★ 必会

当雅可比行列式

\frac{\partial ( F , G )}{\partial ( u , v )} = F_{u} G_{u} F_{v} G_{v} \neq = 0

时，方程组

{F (x, y, u, v) = 0 G (x, y, u, v) = 0

确定

u = u (x, y), v = v (x, y)

。标准的求导方法是：对每个方程求全微分，得到关于

d u, d v

的线性方程组，再用克拉默法则把

d u, d v

用

d x, d y

表示出来，所得的系数就是各个偏导数。雅可比行列式不为零，正是这个线性方程组可解的条件。

证明 / 推导

证 ① 线性方程组的来历. 设

F, G

有连续偏导数，点

P_{0} (x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0})

满足

F = G = 0

，且在该点

J = \frac{\partial ( F , G )}{\partial ( u , v )} \neq = 0

。由隐函数存在定理，在

P_{0}

的某个邻域内方程组唯一确定了有连续偏导数的函数

u = u (x, y), v = v (x, y)

。把它们代回方程，两式对该邻域内的一切

(x, y)

都成立，于是可以对恒等式求全微分，得

F_{x} d x + F_{y} d y + F_{u} d u + F_{v} d v G_{x} d x + G_{y} d y + G_{u} d u + G_{v} d v = 0 = 0

即

(F_{u} G_{u} F_{v} G_{v}) (d u d v) = - (F_{x} G_{x} F_{y} G_{y}) (d x d y) .

这是以

d u, d v

为未知量的二元线性方程组，它的系数行列式就是

J

。

② 为什么 $J \neq = 0$ 是可解的条件. 由克拉默法则，当

J \neq = 0

时上述方程组有唯一解，并且解可以写成

d x, d y

的线性组合；当

J = 0

时方程组或者无解，或者有无穷多解，

d u, d v

不能由

d x, d y

唯一地表示出来。由此可见

J \neq = 0

就是这一步能够进行的条件，它与隐函数存在定理中的条件是同一个。

③ 为什么所得的系数就是偏导数. 由②解得

d u = P d x + Q d y

，其中

P, Q

是已经求出的表达式。另一方面

u = u (x, y)

可微，故又有

d u = u_{x} d x + u_{y} d y

。两式对一切

d x, d y

都成立，而

d x, d y

可以任意取值。先取

d x = 1, d y = 0

，得

u_{x} = P

；再取

d x = 0, d y = 1

，得

u_{y} = Q

。对

d v

同理。这就是从全微分直接读出偏导数的依据。

④ 一般公式. 把原方程组的两式对

x

求偏导数（这时

y

看作常数），由链式法则得

(F_{u} G_{u} F_{v} G_{v}) (u_{x} v_{x}) = - (F_{x} G_{x}) .

再用克拉默法则，得

u_{x} = - \frac{1}{J} F_{x} G_{x} F_{v} G_{v} = - \frac{1}{J} \frac{\partial ( F , G )}{\partial ( x , v )}, v_{x} = - \frac{1}{J} F_{u} G_{u} F_{x} G_{x} = - \frac{1}{J} \frac{\partial ( F , G )}{\partial ( u , x )} .

把其中的

x

换成

y

，即得

u_{y}, v_{y}

的公式。由此可见，先求全微分再用克拉默法则，与直接对方程组求偏导数所得的结果相同，只是书写更为整齐。

■

举例说明

设

u = u (x, y), v = v (x, y)

由

{u + v = x u^{2} + v^{2} = y

确定，求

u_{x}, v_{x}

。两边求全微分，得

d u + d v = d x, 2 u d u + 2 v d v = d y

，即

(1 2 u 1 2 v) (d u d v) = (d x d y), J = 1 2 u 1 2 v = 2 (v - u) \neq = 0 (u \neq = v) .

由克拉默法则，

d u = \frac{1}{J} d x d y 1 2 v = \frac{2 v d x - d y}{2 ( v - u )}

，故

u_{x} = \frac{v}{v - u}

。同理

d v = \frac{1}{J} 1 2 u d x d y = \frac{d y - 2 u d x}{2 ( v - u )}

，故

v_{x} = \frac{- u}{v - u} = \frac{u}{u - v}

。

💡 小知识

隐函数存在定理保证的只是局部有隐函数。以单位球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

为例，在赤道上

F_{z} = 2 z = 0

，那里的

z

就没法写成

(x, y)

的单值函数，因为上下半球恰好在这一圈相接。此时公式

- F_{x} / F_{z}

的分母为零，如实地把这个情况报告了出来。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

z = z (x, y)

由方程

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

确定（取上半球

z > 0

），求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 1

令

F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1

，则

F_{x} = 2 x, F_{y} = 2 y, F_{z} = 2 z

。当

z \neq = 0

时

F_{z} \neq = 0

，由隐函数求导公式

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = - \frac{2 x}{2 z} = - \frac{x}{z}

，同理

\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}} = - \frac{y}{z}

。注意公式前的负号不能丢。

例 2 设

z = z (x, y)

由方程

x + 2 y + z = e^{z}

确定，用公式法与全微分法分别求

\frac{\partial z}{\partial x}

、

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 1

公式法：令

F = x + 2 y + z - e^{z}

，则

F_{x} = 1, F_{y} = 2, F_{z} = 1 - e^{z}

（设

e^{z} \neq = 1

）。故

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = - \frac{1}{1 - e ^{z}} = \frac{1}{e ^{z} - 1}

，

\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{2}{1 - e ^{z}} = \frac{2}{e ^{z} - 1}

。全微分法：对方程两边求全微分

d x + 2 d y + d z = e^{z} d z

，即

(1 - e^{z}) d z = - d x - 2 d y

，解得

d z = \frac{1}{e ^{z} - 1} d x + \frac{2}{e ^{z} - 1} d y

，读出的系数与公式法一致。

例 3 设

y = y (x)

由方程

x^{2} + x y + y^{2} = 3

确定，求

\frac{d y}{d x}

，并求其在点

(1, 1)

处的值。难度 2

这是一元隐函数。令

F (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3

，则

F_{x} = 2 x + y, F_{y} = x + 2 y

。由公式

\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}

。代入点

(1, 1)

：

\frac{d y}{d x}_{(1, 1)} = - \frac{2 + 1}{1 + 2} = - \frac{3}{3} = - 1

。（也可两边对

x

求导：

2 x + y + x y^{'} + 2 y y^{'} = 0

，解出

y^{'} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}

，同样结果。）

例 4 设

z = z (x, y)

由方程

z^{2} = x^{2} + y^{2}

（

z > 0

）确定，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与二阶偏导

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}

。难度 2

令

F = z^{2} - x^{2} - y^{2}

，则

F_{x} = - 2 x, F_{z} = 2 z

，故

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = - \frac{- 2 x}{2 z} = \frac{x}{z}

。再求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{z})

，其中

z

仍是

x, y

的函数，用商的求导法则：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = \frac{1 \cdot z - x \cdot z _{x}}{z ^{2}} = \frac{z - x \cdot \frac{x}{z}}{z ^{2}} = \frac{z ^{2} - x ^{2}}{z ^{3}}

。又

z^{2} - x^{2} = y^{2}

，所以

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = \frac{y ^{2}}{z ^{3}}

。关键：对

z_{x}

再求导时，别忘 $z$ 是函数，要把已求得的

z_{x} = \frac{x}{z}

回代。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

设函数

z = z (x, y)

由方程

x - a z = e^{y + a z}

（

a

为非零常数）确定，则（　　）

A $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$
B $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$
C $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{1}{a}$
D $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{1}{a}$

2016 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (u, v)

可微，

z = z (x, y)

由方程

(x + 1) z - y^{2} = x^{2} f (x - z, y)

确定，则

d z_{(0, 1)} =

___.

2015 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

若函数

z = z (x, y)

由方程

e^{z} + x y z + x + cos x = 2

确定，则

d z_{(0, 1)} =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = z (x, y)

由方程

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6

确定，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

____（用

x, z

表示）。

练习 2 · 选择题

设

y = y (x)

由方程

x^{2} + y^{2} = 25

确定，则

\frac{d y}{d x} =

（　）。

A $- \frac{x}{y}$
B $\frac{x}{y}$
C $- \frac{y}{x}$
D $\frac{y}{x}$

练习 3 · 选择题

设

F (x, y, z)

有连续偏导数且

F (P_{0}) = 0

。要保证方程

F (x, y, z) = 0

在

P_{0}

附近唯一确定隐函数

z = z (x, y)

，只需在

P_{0}

处（　）。

A $F_{x} \neq = 0$
B $F_{y} \neq = 0$
C $F_{z} \neq = 0$
D $\nabla F = 0$

练习 4 · 填空题

设

z = z (x, y)

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3

（

z > 0

）确定，则

\frac{\partial z}{\partial x}

在点

(1, 1, 1)

处的值为 ____。

练习 5 · 选择题

设

u = u (x, y), v = v (x, y)

由方程组

{u + v = x + y xu + y v = 1

确定（

x \neq = y

），则

\frac{\partial u}{\partial x} =

（　）。

A $\frac{u + y}{y - x}$
B $\frac{u + y}{x - y}$
C $\frac{u - y}{y - x}$
D $\frac{x + u}{y - x}$

练习 6 · 填空题

设

z = z (x, y)

由方程

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} + x y - z = 9

确定，且

z (1, - 2) = 1

，则

d z_{(1, - 2)} =

____。

练习 7 · 解答题

设

z = z (x, y)

由方程

2 x^{2} + 2 x y + y^{2} + z^{2} - 2 z = 8

确定。
（1）求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

；
（2）求

z = z (x, y)

的全部驻点及其对应的

z

值；
（3）用二阶充分条件判断各驻点是否为极值点，并求出极值。

2010 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设函数

z = z (x, y)

由方程

F (\frac{y}{x}, \frac{z}{x}) = 0

确定，其中

F

为可微函数，且

F_{2}^{'} \neq = 0

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

（　　）

A $x$ .
B $z$ .
C $- x$ .
D $- z$ .

2005 年 · 数一 · 第 10 题 · 选择题 · 4 分

设有三元方程

x y - z ln y + e^{x z} = 1

，根据隐函数存在定理，存在点

(0, 1, 1)

的一个邻域，在此邻域内该方程（　　）

A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z = z (x, y)$ .
B可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y = y (x, z)$ 和 $z = z (x, y)$ .
C可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x = x (y, z)$ 和 $z = z (x, y)$ .
D可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x = x (y, z)$ 和 $y = y (x, z)$ .

1999 年 · 数一 · 第 11 题 · 解答题 · 5 分

设

y = y (x)

，

z = z (x)

是由方程

z = x f (x + y)

和

F (x, y, z) = 0

所确定的函数，其中

f

和

F

分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

\frac{d z}{d x}

多元隐函数求导

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 隐函数存在定理是局部结论：Fz​=0 保证了什么★ 要懂

2. 求一阶偏导数的三种等价方法，方程解不出时尤其有用★★ 必会

3. 求二阶偏导数：对一阶结果再用链式法则，并把一阶结果回代★★ 必会

4. 方程组的情形（数一重点）：求全微分再用克拉默法则最为简便★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 隐函数存在定理是局部结论： $F_{z} \neq = 0$ 保证了什么★ 要懂