多元复合函数求导法则

§5.4 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.25 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

2.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁多元隐函数求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 链式法则的正式定理： $z = f (u, v)$ 可微时 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ ，沿曲线为全导数★★ 必会

定理（多元复合函数求导法则） 设

z = f (u, v)

在对应点

(u, v)

处可微，

u = u (x, y), v = v (x, y)

在点

(x, y)

处偏导数存在，则复合函数

z = f (u (x, y), v (x, y))

在

(x, y)

处的偏导数存在，且

\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} .

全导数的情形 如果中间变量都只依赖于一个变量

t

，即

z = f (u (t), v (t))

，其中

u, v

在

t

处可导，

f

可微，那么

z

是

t

的一元函数，它的导数

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d t}

称为全导数。对于抽象函数，常按位置把

\frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v}

记作

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

，以下各条沿用这个记号。

外层可微这个条件不可少 如果

f

只有偏导数存在而不可微（考研中常用的充分条件是偏导数连续），那么公式可能失效。例如取

f (u, v) = \frac{uv}{u ^{2} + v ^{2}}

，并补充定义

f (0, 0) = 0

，则

f_{u} (0, 0) = f_{v} (0, 0) = 0

；但沿

u = v = t

复合后

z (t) \equiv \frac{1}{2} (t \neq = 0), z (0) = 0

，它在

t = 0

处间断，因而不可导，而公式右端却给出

0

。

证明 / 推导

只证

\partial z / \partial x

，其余同理。固定

y

，给

x

以增量

Δ x

，相应地记

Δ u = u (x + Δ x, y) - u (x, y)

，

Δ v

同理。因为

f

在

(u, v)

处可微，把一阶近似

Δ z = f_{u} Δ u + f_{v} Δ v + o (ρ)

写成等价的

ε

形式，得

Δ z = f_{u} Δ u + f_{v} Δ v + ε_{1} Δ u + ε_{2} Δ v, (Δ u, Δ v) \to (0, 0) 时 ε_{1}, ε_{2} \to 0.

两边除以

Δ x

，得

\frac{Δ z}{Δ x} = f_{u} \frac{Δ u}{Δ x} + f_{v} \frac{Δ v}{Δ x} + ε_{1} \frac{Δ u}{Δ x} + ε_{2} \frac{Δ v}{Δ x} .

令

Δ x \to 0

。由偏导数存在知

\frac{Δ u}{Δ x} \to u_{x}, \frac{Δ v}{Δ x} \to v_{x}

，同时

Δ u, Δ v \to 0

，于是

ε_{1}, ε_{2} \to 0

，末两项的极限为零，因此

z_{x} = f_{u} u_{x} + f_{v} v_{x}

。

■

证明中起决定作用的是可微性所提供的一阶近似。如果外层函数只有偏导数存在，这一步就无法进行，公式也就可能失效。

举例说明

（2007 填空 4 分） 设

f (u, v)

为二元可微函数，

z = f (x^{y}, y^{x})

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

。

解. 令

u = x^{y}, v = y^{x}

。对

x

求偏导时

y

视为常数：

u = x^{y}

是幂函数，

u_{x} = y x^{y - 1}

；

v = y^{x}

是指数函数，

v_{x} = y^{x} ln y

。代入定理：

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot y x^{y - 1} + f_{2}^{'} \cdot y^{x} ln y = y x^{y - 1} f_{1}^{'} + y^{x} ln y f_{2}^{'} .

全导数用法（2021 年第 2 题，选择 5 分）：设函数

f (x, y)

可微，且

f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}

，

f (x, x^{2}) = 2 x^{2} ln x

，则

d f (1, 1) =

（　　）

(A)

d x + d y

.　(B)

d x - d y

.　(C)

d y

.　(D)

- d y

.

解. 两条复合曲线分别求全导数：

\frac{d}{d x} f (x + 1, e^{x}) = f_{1}^{'} + e^{x} f_{2}^{'}

，在

x = 0

处

= [(x + 1)^{2} + 2 x (x + 1)]_{x = 0} = 1

；

\frac{d}{d x} f (x, x^{2}) = f_{1}^{'} + 2 x f_{2}^{'}

，在

x = 1

处

= [4 x ln x + 2 x]_{x = 1} = 2

。于是

f_{1}^{'} (1, 1) + f_{2}^{'} (1, 1) = 1, f_{1}^{'} (1, 1) + 2 f_{2}^{'} (1, 1) = 2

，解得

f_{1}^{'} (1, 1) = 0, f_{2}^{'} (1, 1) = 1

，故

d f (1, 1) = d y

（选 C）。

2. 沿每条路径连乘、对所有路径求和；注意某变量既直接出现又含在中间变量里的情形★★ 必会

画出变量的依赖关系图，从因变量到某个自变量的每条路径上，把沿途的偏导数相乘，再把所有路径的结果相加；中间变量有几个，和式就有几项。最容易漏项的情形是：某个自变量既直接出现在

f

中，又包含在中间变量里。这时对它求导，直接出现的那一份和经由中间变量的那几份都要算，都不能遗漏。

证明 / 推导

下面说明直接出现的那一项从何而来，以及它为什么不能遗漏。设

z = f (x, y, u, v)

，其中

f

可微，而

u = u (x, y), v = v (x, y)

的偏导数存在。这时

x

既直接出现在

f

中，又含在

u, v

里。

证把

x, y

自身也看作中间变量。令

s t u v = x = y = u (x, y) = v (x, y)

则

z = f (s, t, u, v)

的四个中间变量都是

x, y

的函数，而且

\frac{\partial s}{\partial x} = 1, \frac{\partial t}{\partial x} = 0

。对四个中间变量使用链式法则，得

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \frac{\partial s}{\partial x} + f_{2}^{'} \frac{\partial t}{\partial x} + f_{3}^{'} \frac{\partial u}{\partial x} + f_{4}^{'} \frac{\partial v}{\partial x} = f_{1}^{'} + f_{3}^{'} \frac{\partial u}{\partial x} + f_{4}^{'} \frac{\partial v}{\partial x} .

由此可见，直接出现的那一项之所以存在，是因为

\partial s / \partial x = 1

。它与经由中间变量的各项地位相同，都对应依赖关系图上的一条路径，所以不能遗漏。

■

两个记号的区别. 上式左端的

\frac{\partial z}{\partial x}

与右端的

f_{1}^{'}

含义不同。

f_{1}^{'}

是把

f

的其余三个位置都固定不动，只对第一个位置求导；而

\frac{\partial z}{\partial x}

是把

y

固定，让

x

变动，这时

u, v

也随

x

一同变动。二者只在

f_{3}^{'} u_{x} + f_{4}^{'} v_{x} = 0

时才相等，一般并不相等。为免混淆，通常把外层函数的偏导数按位置编号记作

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}, \dots

，而不写成

\partial f / \partial x

。

举例说明

设

z = f (x, x y)

，其中

f (s, t)

有连续偏导数，

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial s}, f_{2}^{'} = \frac{\partial f}{\partial t}

。第一个位置

s = x

，

x

直接出现；第二个位置

t = x y

，

x

又含在其中。于是

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot \frac{\partial s}{\partial x} + f_{2}^{'} \cdot \frac{\partial t}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot 1 + f_{2}^{'} \cdot y = f_{1}^{'} + y f_{2}^{'},

其中

f_{1}^{'} \cdot 1

就是最容易被漏掉的直接项。同理

\frac{\partial z}{\partial y} = f_{1}^{'} \cdot 0 + f_{2}^{'} \cdot x = x f_{2}^{'}

。

3. 全微分形式不变性：一次求出两个偏导数，换元时公式的形式不变★ 要懂

不论

u, v

是自变量还是中间变量，总有

d z = \frac{\partial z}{\partial u} d u + \frac{\partial z}{\partial v} d v

。因此求复合函数的偏导数时，可以先写出

d z

，再把

d u, d v

展开成

d x, d y

；合并同类项后，

d x, d y

的系数就是

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}

。这样一次就得到两个偏导数，而且不会漏项。极坐标、球坐标换元时公式的形式保持不变，根据也在于这条性质。

证明 / 推导

下面用链式法则证明一个常考的恒等式。设

z = f (x, y)

有连续偏导数，作极坐标变换

x = r cos θ, y = r sin θ

，则

z_{x}^{2} + z_{y}^{2} = z_{r}^{2} + \frac{1}{r ^{2}} z_{θ}^{2} .

证由链式法则得

z_{r} = z_{x} cos θ + z_{y} sin θ, z_{θ} = z_{x} (- r sin θ) + z_{y} (r cos θ)

。于是

z_{r}^{2} + \frac{1}{r ^{2}} z_{θ}^{2} = (z_{x} cos θ + z_{y} sin θ)^{2} + (- z_{x} sin θ + z_{y} cos θ)^{2} .

展开后交叉项

\pm 2 z_{x} z_{y} cos θ sin θ

相消，剩下

z_{x}^{2} (cos^{2} θ + sin^{2} θ) + z_{y}^{2} (sin^{2} θ + cos^{2} θ) = z_{x}^{2} + z_{y}^{2}

。

■

这个等式说明梯度的模的平方是与坐标系无关的几何量。

4. 抽象复合函数求二阶偏导数： $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 仍然是复合函数★★ 必会

设

z = f (u, v)

，其中

u, v

是

x, y

的函数。求一阶偏导数得

z_{x} = f_{1}^{'} u_{x} + f_{2}^{'} v_{x}

。再求二阶偏导数时，必须认清

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

与

f

有相同的结构：它们仍以

u, v

为中间变量，对

x

求导时要再用一次链式法则，即

\frac{\partial}{\partial x} f_{1}^{'} = f_{11}^{''} u_{x} + f_{12}^{''} v_{x}

，

\frac{\partial}{\partial x} f_{2}^{'} = f_{21}^{''} u_{x} + f_{22}^{''} v_{x}

。把

f_{1}^{'}

当作常量而漏掉这一步，是求二阶偏导数时最常见的错误。

举例说明

设

z = f (x + y, x y)

，

f \in C^{2}

。记

u = x + y, v = x y

，则

u_{x} = 1, v_{x} = y

。一阶偏导数为

z_{x} = f_{1}^{'} \cdot 1 + f_{2}^{'} \cdot y = f_{1}^{'} + y f_{2}^{'}

。求二阶偏导数时

y

相对于

x

是常量，故

z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (f_{1}^{'}) + y \frac{\partial}{\partial x} (f_{2}^{'}) = (f_{11}^{''} \cdot 1 + f_{12}^{''} \cdot y) + y (f_{21}^{''} \cdot 1 + f_{22}^{''} \cdot y) .

利用

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

合并，得

z_{xx} = f_{11}^{''} + 2 y f_{12}^{''} + y^{2} f_{22}^{''}

。可见每个

f_{i}^{'}

都再生出两项，一步也不能省。

5. 链式法则把多元问题化归为一元问题，可直接用来验证微分方程的解

链式法则的作用是把多元问题化归为一元问题：沿参数曲线来看，多元函数就成了参数的一元函数。由它可以推出隐函数的求导公式（§5.5）和方向导数的公式（§5.6）。验证某个表达式满足某偏微分方程一类的题目，也要用它，按链式法则逐项求出偏导数代入即可。

举例说明

验证

u (x, t) = φ (x + a t) + ψ (x - a t)

（其中

φ, ψ

二阶可导，

a

为常数）满足一维波动方程

u_{tt} = a^{2} u_{xx}

。记

ξ = x + a t, η = x - a t

。对

t

求导，得

u_{t} = a φ^{'} (ξ) - a ψ^{'} (η)

，

u_{tt} = a^{2} φ^{''} (ξ) + a^{2} ψ^{''} (η)

；对

x

求导，得

u_{x} = φ^{'} (ξ) + ψ^{'} (η)

，

u_{xx} = φ^{''} (ξ) + ψ^{''} (η)

。比较两式即得

u_{tt} = a^{2} (φ^{''} + ψ^{''}) = a^{2} u_{xx}

。这就是波动方程的达朗贝尔解，全部由链式法则求导得到。

💡 小知识

全微分形式不变性带来了极大的方便：无论把

u, v

当作自变量还是中间变量，

d z = f_{u} d u + f_{v} d v

的写法都一字不改。换元之后不必重新求导，热力学和经济学里换变量时公式能够照搬，靠的也是这一点。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

z = u^{2} + v^{2}

，其中

u = cos t, v = sin t

，求全导数

\frac{d z}{d t}

。难度 1

这是「一个因变量、两个中间变量、一个自变量」的情形，用全导数公式

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d t}

。这里

\frac{\partial z}{\partial u} = 2 u, \frac{\partial z}{\partial v} = 2 v

，

\frac{d u}{d t} = - sin t, \frac{d v}{d t} = cos t

。代入：

\frac{d z}{d t} = 2 cos t \cdot (- sin t) + 2 sin t \cdot cos t = 0

。验证：

z = cos^{2} t + sin^{2} t = 1

是常数，导数确为

0

，与结果一致。

例 2 设

z = uv

，其中

u = x + y, v = x - y

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 1

「两个中间变量、两个自变量」，用

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}

（对

y

同理）。这里

\frac{\partial z}{\partial u} = v, \frac{\partial z}{\partial v} = u

，

u_{x} = 1, v_{x} = 1, u_{y} = 1, v_{y} = - 1

。于是

\frac{\partial z}{\partial x} = v \cdot 1 + u \cdot 1 = u + v = 2 x

，

\frac{\partial z}{\partial y} = v \cdot 1 + u \cdot (- 1) = v - u = - 2 y

。验证：

z = uv = (x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

，直接求偏导也得

z_{x} = 2 x, z_{y} = - 2 y

，一致。

例 3 设

z = f (x^{2} + y^{2})

，其中

f

可导，证明

y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = 0

。难度 2

这是抽象复合函数，只有一个中间变量

u = x^{2} + y^{2}

。由链式法则

\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = f^{'} (x^{2} + y^{2}) \cdot 2 x

，同理

\frac{\partial z}{\partial y} = f^{'} (x^{2} + y^{2}) \cdot 2 y

。代入待证式：

y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = y \cdot 2 x f^{'} - x \cdot 2 y f^{'} = 2 x y f^{'} - 2 x y f^{'} = 0

。得证。要点：

f^{'}

仍以

x^{2} + y^{2}

为自变量，不能丢。

例 4 设

z = f (x y, x + y)

，其中

f

具有连续偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 2

设中间变量

u = x y, v = x + y

，记

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial u}, f_{2}^{'} = \frac{\partial f}{\partial v}

（下标数字表示对第几个位置求偏导）。各偏导：

u_{x} = y, v_{x} = 1, u_{y} = x, v_{y} = 1

。于是

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot y + f_{2}^{'} \cdot 1 = y f_{1}^{'} + f_{2}^{'}

，

\frac{\partial z}{\partial y} = f_{1}^{'} \cdot x + f_{2}^{'} \cdot 1 = x f_{1}^{'} + f_{2}^{'}

。「连线相乘、分线相加」：从

z

到

x

有经

u

、经

v

两条路径，故两项相加。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知函数

f (u)

在区间

(0, + \infty)

内具有二阶导数，记

g (x, y) = f (\frac{x}{y})

。若

g (x, y)

满足

x^{2} \frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + x y \frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} + y^{2} \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}} = 1

，且

g (x, x) = 1

，

\frac{\partial g}{\partial x}_{(x, x)} = \frac{2}{x}

，求

f (u)

2024 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

设函数

f (u, v)

具有

2

阶连续偏导数，且

d f ∣_{(1, 1)} = 3 d u + 4 d v

。令

y = f (cos x, 1 + x^{2})

，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{x = 0} =

___.

2022 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设函数

z = x y f (\frac{y}{x})

，其中

f (u)

可导。若

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = y^{2} (ln y - ln x)

，则（　　）

A $f (1) = \frac{1}{2}, f^{'} (1) = 0$ .
B $f (1) = 0, f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ .
C $f (1) = \frac{1}{2}, f^{'} (1) = 1$ .
D $f (1) = 0, f^{'} (1) = 1$ .

2021 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x, y)

可微，且

f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}

，

f (x, x^{2}) = 2 x^{2} ln x

，则

d f (1, 1) =

（　　）

A $d x + d y .$
B $d x - d y .$
C $d y .$
D $- d y .$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = u^{2} v

，其中

u = t, v = t^{2}

，则

\frac{d z}{d t} =

____。

练习 2 · 选择题

设

z = f (u, v)

可微，

u = x^{2}, v = y^{2}

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

（　）。

A $2 x f_{1}^{'}$
B $2 x f_{1}^{'} + 2 y f_{2}^{'}$
C $f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$
D $2 x f_{1}^{'} + 2 x f_{2}^{'}$

练习 3 · 选择题

设

z = f (x, y)

可微，且

y = y (x)

可导，则全导数

\frac{d z}{d x} =

（　）。

A $\frac{\partial f}{\partial x}$
B $\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x}$
C $\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x}$
D $\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d y}{d x}$

练习 4 · 填空题

设

z = f (2 x - y)

，其中

f

可导，则

\frac{\partial z}{\partial x} + 2 \frac{\partial z}{\partial y} =

____。

练习 5 · 选择题

设

z = f (x y, x + y)

，其中

f

具有二阶连续偏导数，记

f_{1}^{'} = f_{1}^{'} (x y, x + y)

。则

\frac{\partial}{\partial y} [f_{1}^{'} (x y, x + y)] =

（　　）。

A $f_{11}^{''}$
B $0$
C $f_{12}^{''}$
D $x f_{11}^{''} + f_{12}^{''}$

练习 6 · 填空题

设

z = f (x, \frac{x}{y})

，其中

f

具有连续偏导数，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

____（用

f_{1}^{'}

表示）。

练习 7 · 解答题

设

z = f (x y, x + y)

，其中

f

具有二阶连续偏导数。求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

2019 年 · 数一 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (u)

可导，

z = f (sin y - sin x) + x y

，则

\frac{1}{cos x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{cos y} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} =

______.

2017 年 · 数一 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (u, v)

具有

2

阶连续偏导数，

y = f (e^{x}, cos x)

，求

\frac{d y}{d x}_{x = 0}

，

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{x = 0}

多元复合函数求导法则

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 链式法则的正式定理：z=f(u,v) 可微时 ∂x∂z​=∂u∂z​∂x∂u​+∂v∂z​∂x∂v​，沿曲线为全导数★★ 必会

2. 沿每条路径连乘、对所有路径求和；注意某变量既直接出现又含在中间变量里的情形★★ 必会

3. 全微分形式不变性：一次求出两个偏导数，换元时公式的形式不变★ 要懂

4. 抽象复合函数求二阶偏导数：f1′​,f2′​ 仍然是复合函数★★ 必会

5. 链式法则把多元问题化归为一元问题，可直接用来验证微分方程的解

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 链式法则的正式定理： $z = f (u, v)$ 可微时 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ ，沿曲线为全导数★★ 必会

4. 抽象复合函数求二阶偏导数： $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 仍然是复合函数★★ 必会