多元复合函数求导法则

高等数学 · 多元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 链式法则：一路相乘，多路相加

设

z = f (u, v)

，而

u = u (x, y)

、

v = v (x, y)

。则

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} .

怎么记：画一张树形图。 顶上是

z

，下面挂

u

和

v

，

u

、

v

下面各挂

x

和

y

。

从

z

走到

x

有几条路，式子里就有几项；每条路上的导数相乘，各条路的结果相加。

一路相乘，多路相加 .

对

y

的偏导同理，把上式里的

x

换成

y

。

中间变量三个、四个也一样——路数变多，项数跟着变多，法则一个字不改。

2. 只剩一个自变量时写 $d$ ，不写 $\partial$

三种常见的搭法，差别全在最终还剩几个自变量：

① $z = f (u)$ ， $u = u (x, y)$ . 外层只有一个中间变量，写

f^{'}

：

\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (u) \frac{\partial u}{\partial x} .

② $z = f (u, v)$ ， $u = u (t)$ ， $v = v (t)$ . 最终只剩

t

一个自变量，叫全导数：

\frac{d z}{d t} = f_{u} u^{'} (t) + f_{v} v^{'} (t) .

③ $z = f (x, y)$ ，而 $y = y (x)$ .

x

既直接进

f

，又通过

y

进

f

：

\frac{d z}{d x} = f_{x} + f_{y} y^{'} (x) .

第一项是「直接那条路」，它的导数是

1

，所以看不见乘号。

记号不是风格，是信息：写

\partial

就表示还有别的自变量被按住；
②③ 里没有别的自变量可按，所以只能写

d

。

3. 抽象函数： $f_{1}^{'}$ 仍是函数，不是常数

题目常把外层写成抽象的

f

，只告诉你它有二阶连续偏导。这时用下标记号：

f_{1}^{'}

是

f

对第一个位置的偏导，

f_{2}^{'}

是对第二个位置的偏导
（有的书写成

f_{u}^{'}

、

f_{v}^{'}

，一回事）。

要害在这里： $f_{1}^{'}$ 本身还是 $u, v$ 的函数，所以也还是

x, y

的复合函数。
求二阶偏导时，对它再用一次链式法则。

二阶的记号同理：

f_{11}^{''}

是对第一个位置连求两次，

f_{12}^{''}

是先一后二。
题目给了「二阶连续偏导」这句话，就是在告诉你

f_{12}^{''} = f_{21}^{''},

于是可以合并同类项。

这一条是本节真正的考点：法则本身不难，难的是记得 $f_{1}^{'}$ 要继续求导。

4. $x$ 既是自变量又是中间变量： $\partial f / \partial x$ 不等于 $\partial z / \partial x$

看这个形状：

z = f (x, u), u = u (x, y) .

x

一方面直接坐在第一个位置上，另一方面还藏在

u

里。两条路都要算：

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} \frac{\partial u}{\partial x} .

第一项 $f_{1}^{'}$ 读作「把第二个位置钉死，只动第一个位置」，
它和左边的

\frac{\partial z}{\partial x}

不是一回事：

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial x} \neq = \frac{\partial z}{\partial x} .

左边只走直接那条路，右边把

u

那条路也算上了。

这就是为什么这类题一律用

f_{1}^{'}

、

f_{2}^{'}

的下标记号写——

\frac{\partial f}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial x}

写出来长得几乎一样，
混了也看不出来。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

画树形图：数路、相乘、相加

第一步：把中间变量写出来（

u = \dots

、

v = \dots

），顶上是

z

，底下是自变量。

第二步：数一数从

z

到那个自变量有几条路——有几条，答案就有几项。

第三步：每条路上把各段导数相乘。

第四步：各条路相加，最后把中间变量回代成

x, y

。

例例. 设

z = f (u, v)

，

u = x^{2} y

、

v = \frac{x}{y}

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

。

第一步，中间变量是

u

、

v

；顶上是

z

，底下是

x

、

y

。

第二步，数路：从

z

到

x

有两条（一条经

u

、一条经

v

），所以答案有两项。

第三步，每条路上相乘：

经

u

：

f_{1}^{'} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot 2 x y

；

经

v

：

f_{2}^{'} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f_{2}^{'} \cdot \frac{1}{y}

。

第四步，相加：

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x y f_{1}^{'} + \frac{1}{y} f_{2}^{'} .

数路是硬指标：几条路就几项。少一项不是「化简了」，是漏了一条路。

抽象函数求二阶偏导

第一步：先写出一阶，形如

f_{1}^{'} \cdot u_{x} + f_{2}^{'} \cdot v_{x}

。

第二步：对每一项用乘积法则：前面的系数照常求导，

f_{1}^{'}

、

f_{2}^{'}

各自再链式一次。

第三步：

f_{1}^{'}

再链式得

f_{11}^{''} u_{x} + f_{12}^{''} v_{x}

，

f_{2}^{'}

同理。

第四步：用

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

合并同类项，答案按

f_{11}^{''}

、

f_{12}^{''}

、

f_{22}^{''}

排好。

例例. 设

z = f (x y, x + y)

，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

第一步，记

u = x y

、

v = x + y

，先写一阶：

z_{x} = y f_{1}^{'} + f_{2}^{'} .

第二步，对

y

再求导，逐项用乘积法则。

y f_{1}^{'}

这一项：

y

求导得

1

乘

f_{1}^{'}

，再加

y

乘

f_{1}^{'}

对

y

的导数。

第三步，

f_{1}^{'}

自己再链式一次（它还是

u, v

的函数）：

\frac{\partial}{\partial y} f_{1}^{'} = f_{11}^{''} u_{y} + f_{12}^{''} v_{y} = x f_{11}^{''} + f_{12}^{''},

同理

\frac{\partial}{\partial y} f_{2}^{'} = x f_{21}^{''} + f_{22}^{''}

。合起来

z_{x y} = f_{1}^{'} + y (x f_{11}^{''} + f_{12}^{''}) + (x f_{21}^{''} + f_{22}^{''}) .

第四步，用

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

合并，按顺序排好：

z_{x y} = f_{1}^{'} + x y f_{11}^{''} + (x + y) f_{12}^{''} + f_{22}^{''} .

最容易漏的是头一项 $f_{1}^{'}$ ：它来自对系数

y

求导，不是链式带出来的。

下笔前先认记号

第一步：数最终的自变量——只剩一个写

\frac{d z}{d t}

，多个写

\partial

。

第二步：外层是一元（

z = f (u)

）就写

f^{'}

，是多元就写

f_{1}^{'}

、

f_{2}^{'}

。

第三步：出现「

x

同时是自变量和中间变量」时，一律用下标记号，别写

\partial f / \partial x

。

第四步：答案里不留中间变量，也不留

f^{'}

之外的含糊写法。

例例. 同一个

f

，三种写法各用在哪里？

① 最终只剩一个自变量：

z = f (x, y)

，

x = x (t)

、

y = y (t)

。写直的 d，叫全导数：

\frac{d z}{d t} = f_{1}^{'} x^{'} (t) + f_{2}^{'} y^{'} (t) .

② 外层是一元：

z = f (u)

、

u = u (x, y)

。写

f^{'}

不写

f_{1}^{'}

（只有一个位置，编号没有意义）：

\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (u) u_{x}

。

③ $x$ 既是自变量又是中间变量：

z = f (x, x + y)

。这时

\frac{\partial f}{\partial x}

有歧义——指最终那个

x

，还是第一个位置？一律用下标记号：

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} .

左边的

\frac{\partial z}{\partial x}

对的是最终的

x

，右边的

f_{1}^{'}

对的是第一个位置。写成同一个符号，这道题就彻底讲不清了。

最后：答案里不留中间变量——设过

u

、

v

的，收尾要回代成

x

、

y

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

漏掉一条路，少一项

项数等于路数。

z = f (u, v)

而

u, v

都含

x

时，

\frac{\partial z}{\partial x}

必有两项。

最常漏的是「直接那条路」：

z = f (x, x y)

里的

f_{1}^{'}

，因为它的导数是

1

，看着不像一项。

动笔前先把树形图画出来、数好路数，再按数目写项。

把 $f_{1}^{'}$ 当成常数

f_{1}^{'}

仍是复合函数，求二阶时必须对它再链式一次。

症状：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}

算出来只有一两项，没有

f_{11}^{''}

、

f_{12}^{''}

这些下标。

自检：外层求了两次导，答案里的下标就该有两位。

$\partial f / \partial x$ 与 $\partial z / \partial x$ 混用

前者只动第一个位置，后者把所有含

x

的路都算上。

两个写法长得太像，混了之后式子少一项还很难看出来——所以这类题统一写

f_{1}^{'}

、

f_{2}^{'}

。

题面若给的是

z = f (x, y, u)

、

u = u (x, y)

，先在旁边把三个位置编号再动笔。

全导数写成偏导

z = f (u, v)

、

u = u (t)

、

v = v (t)

时，最终自变量只有

t

，要写

\frac{d z}{d t}

。

写成

\frac{\partial z}{\partial t}

等于宣称「还有别的自变量被按住」，而题里没有。

这是记号错，不是计算错，但它在阅卷时照样扣分。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 数路与相乘

练 1

设

z = f (u, v)

，

u = u (x, y)

，

v = v (x, y)

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

（）。

A $f_{u} u_{x}$
B $f_{u} u_{x} + f_{v} v_{x}$
C $f_{u} + f_{v}$
D $f_{u} v_{x} + f_{v} u_{x}$

练 2

设

z = u^{2}

，

u = x + y

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

________。

练 3

设

z = f (u)

，

u = x y

，

f

可导，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

________。

练 4

设

z = f (u, v)

，而

u, v

都只是

t

的函数，则求出来的东西应记作（）。

A $\frac{d z}{d t}$
B $\frac{\partial z}{\partial t}$
C $\frac{\partial z}{\partial u}$
D $\frac{d z}{d u}$

第二组 · 认路与认记号

练 5

设

z = sin (x y)

，

y = x^{2}

，则

\frac{d z}{d x} =

________。

练 6

设

z = f (x, y)

可微，

y = y (x)

可导，则

\frac{d z}{d x} =

（）。

A $f_{y} y^{'}$
B $f_{x}$
C $f_{x} y^{'} + f_{y}$
D $f_{x} + f_{y} y^{'}$

练 7

设

z = f (x + y, x y)

，

f

可微，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

________。

练 8

关于

z = f (x + y, x y)

中的

f_{1}^{'}

，正确的是（）。

A它是常数
B它等于 $\frac{\partial z}{\partial x}$
C它仍是 $x, y$ 的函数，可以继续求导
D它恒等于零

第三组 · 二阶与综合

练 9

设

z = f (x y)

，

f

有二阶导数，则

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} =

________。

练 10

设

z = f (x + y, x y)

，

f

有二阶连续偏导，则

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}

合并同类项后共有（）。

A $2$ 项
B $3$ 项
C $4$ 项
D $5$ 项

练 11

设

z = f (u, v)

，

u = x^{2}

，

v = y^{2}

，则

\frac{\partial z}{\partial y} =

________。

练 12

设

z = f (x, u)

，

u = u (x)

，

f

与

u

都可微，则

\frac{d z}{d x} =

（）。

A $f_{1}^{'}$
B $f_{2}^{'} u^{'}$
C $f_{1}^{'} + f_{2}^{'} u^{'}$
D $f_{1}^{'} u^{'} + f_{2}^{'}$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

多元复合函数求导法则

先打基础

1. 链式法则：一路相乘，多路相加

2. 只剩一个自变量时写 d，不写 ∂

3. 抽象函数：f1′​ 仍是函数，不是常数

4. x 既是自变量又是中间变量：∂f/∂x 不等于 ∂z/∂x

常用结构

画树形图：数路、相乘、相加

抽象函数求二阶偏导

下笔前先认记号

基础易错

漏掉一条路，少一项

把 f1′​ 当成常数

∂f/∂x 与 ∂z/∂x 混用

全导数写成偏导

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 只剩一个自变量时写 $d$ ，不写 $\partial$

3. 抽象函数： $f_{1}^{'}$ 仍是函数，不是常数

4. $x$ 既是自变量又是中间变量： $\partial f / \partial x$ 不等于 $\partial z / \partial x$

把 $f_{1}^{'}$ 当成常数

$\partial f / \partial x$ 与 $\partial z / \partial x$ 混用