直接法：求导、解出来
第一步：认身份——谁是自变量（求导的、被按住的），谁是函数。
第二步：两边对 x 求偏导；遇到 z 就乘 ∂x∂z，遇到 y 当常数。
第三步：把含 ∂x∂z 的项移到一边，解出它。
第四步：答案可以含 x,y,z，但不许含 ∂x∂z 自己。例例. 设 z=z(x,y) 由 x2+y2+z2=4z 确定，求 ∂x∂z。
第一步，认身份：x、y 是自变量，z 是它们的函数。对 x 求偏导时，y 被按住当常数。
第二步，两边对 x 求偏导。遇到 z 就乘 ∂x∂z（它是 x 的函数），遇到 y 当常数（导数为 0）：
2x+0+2z∂x∂z=4∂x∂z.
第三步，含 ∂x∂z 的项并到一边，解出来：
(2z−4)∂x∂z=−2x ⇒ ∂x∂z=2−zx.
第四步，答案里含 x、z 没问题，但不许含 ∂x∂z 自己——没解出来就是没做完。
顺带一句：z=2 的点要另行讨论，那里 2z−4=0，这个解法不成立。
公式法：三个偏导，套公式
第一步：把方程整理成 F(x,y,z)=0（所有项挪到一边）。
第二步：把 x,y,z 当三个独立变量，求 Fx,Fy,Fz。
第三步：检查 Fz=0，写出 −FzFx、−FzFy。
第四步：负号别丢。拿直接法对一遍更稳。例例. 同一道题（x2+y2+z2=4z），用公式法再做一遍。
第一步，整理成右边为零的样子：
F(x,y,z)=x2+y2+z2−4z=0.
第二步，把 x,y,z 当三个互不相干的变量求偏导——这一步里 z 不再是谁的函数：
Fx=2x,Fy=2y,Fz=2z−4.
第三步，Fz=0（即 z=2）时
∂x∂z=−FzFx=−2z−42x=2−zx,
同理 ∂y∂z=2−zy。
第四步，负号别丢。和直接法的结果一致 ✓
公式法快，但第二步的「z 是独立变量」和第一步的「z 是函数」说的是两件事，写在一张纸上很容易混——分开写，别省。
方程组：同时求导，解线性方程组
第一步：两个方程同时对 x 求偏导，u,v 都当函数（各乘 ux、vx）。
第二步：整理成关于 ux,vx 的二元一次方程组，常数项移到右端。
第三步：克拉默法则或消元解出来；系数行列式就是雅可比行列式。
第四步：要 uy,vy 时换右端重做一次，系数矩阵不用重算。例例. 设 u=u(x,y)、v=v(x,y) 由 {u+v=xu−yv=0 确定，求 ux、vx。
第一步，两式同时对 x 求偏导。u、v 都是函数，各乘各的偏导；y 当常数：
ux+vx=1,ux−yvx=0.
第二步，这已经是关于 ux,vx 的二元一次方程组，常数项在右端 ✓
第三步，消元：由第二式 ux=yvx，代入第一式得 (y+1)vx=1，于是
vx=1+y1,ux=1+yy(y=−1).
第四步，再要 uy、vy：对 y 求导得 uy+vy=0、uy−v−yvy=0。左端系数和上面一模一样，只有右端换了——所以系数矩阵（雅可比行列式）不用重算，这是分两次求的省力处。