多元函数的无条件极值

高等数学 · 多元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 必要条件：极值点处两个偏导都为零（驻点）

极值和一元一样是局部的事：若在

P_{0}

的某个邻域内恒有

f (P) \leq f (P_{0})

，
就说

f

在

P_{0}

取极大值。极小值同理。

必要条件（费马定理的二元版）. 若

f

在

P_{0}

取极值，且两个偏导在那里存在，则

f_{x} (P_{0}) = 0, f_{y} (P_{0}) = 0.

这样的点叫驻点。道理一句话：把

y

钉在

y_{0}

，

f (x, y_{0})

是一元函数且在

x_{0}

取极值，
于是它的导数为零——那正是

f_{x}

。

两头都要留神，因为两头都不是充分的：

驻点不一定是极值点（

z = x y

在原点，见下例）；

极值点不一定是驻点（偏导可能不存在，如

z = x^{2} + y^{2}

在原点取极小）。

2. 充分条件：先看 $A C - B^{2}$ 定「是不是」，再看 $A$ 定「大还是小」

设

P_{0}

是驻点，

f

在它附近有二阶连续偏导，记

A = f_{xx} (P_{0}), B = f_{x y} (P_{0}), C = f_{y y} (P_{0}) .

判别法.

A C - B^{2} > 0 A C - B^{2} < 0 A C - B^{2} = 0 是极值 不是极值（鞍点） 失效，另想办法

第一行里再分一次：

A > 0

是极小，

A < 0

是极大。

动笔顺序固定：

A C - B^{2}

的符号定「是不是极值」，

A

的符号定「极大还是极小」。
两步不能颠倒，也不能只看一个。

3. 整套流程，以及 $A C - B^{2} = 0$ 怎么办

求无条件极值的全部动作：

① 解方程组

f_{x} = 0

、

f_{y} = 0

，把所有驻点找出来；

② 对每个驻点算

A, B, C

（注意要代入那个点）；

③ 查表，定出是极大、极小还是鞍点；

④ 把极值算出来（代回原函数）。

第①步最容易出错：因式分解时丢根。

f_{x} = 3 (x + 3) (x - 1) = 0

给的是两个

x

，
配上

f_{y} = 0

的两个

y

，一共四个驻点，个个都要查。

$A C - B^{2} = 0$ 时判别法失效，只能回定义：在那一点附近找路径比较函数值，
或者直接用不等式看出符号。失效不等于没有极值。

4. 有界闭区域上的最值：内部驻点 $+$ 边界

最值和极值是两件事：极值是局部的，最值是整个区域上的，而且可能在边界上取到。

有界闭区域

D

上连续函数的最值一定存在（那三条性质），找法是列候选：

① 内部：所有驻点（以及偏导不存在的点）处的函数值；

② 边界：把边界的方程代进

f

，化成一元函数的最值问题；

③ 比大小：把①②得到的所有值放在一起，最大的是最大值，最小的是最小值。

内部驻点不必判别是极大还是极小——最后要比大小，判别是白做的功。

边界上的最值也可以用下一节的拉格朗日乘数法做，那是同一件事的另一种写法。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求无条件极值：四步

第一步：解

f_{x} = 0

、

f_{y} = 0

组成的方程组，把所有驻点列出来（因式分解别丢根）。

第二步：求

f_{xx}, f_{x y}, f_{y y}

的表达式，再逐点代入得

A, B, C

。

第三步：

A C - B^{2} > 0

时看

A

定极大极小；

< 0

写「非极值点」；

= 0

转下一条。

第四步：把极值点代回

f

，答出极值（题问点就答点）。

例例. 求

f (x, y) = x^{3} - y^{3} + 3 x^{2} + 3 y^{2} - 9 x

的极值。

第一步，解驻点方程组：

f_{x} = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 0, f_{y} = - 3 y^{2} + 6 y = 0.

前者

(x + 3) (x - 1) = 0

得

x = - 3, 1

；后者

y (y - 2) = 0

得

y = 0, 2

。组合起来是四个驻点——因式分解时丢一个根，就少一个驻点，而丢掉的那个往往正是答案。

第二步，

f_{xx} = 6 x + 6

、

f_{x y} = 0

、

f_{y y} = - 6 y + 6

。

第三步，逐点代入：

(1, 0)

：

A = 12, B = 0, C = 6

，

A C - B^{2} = 72 > 0

且

A > 0

\Rightarrow

极小；

(- 3, 2)

：

A = - 12, C = - 6

，

A C - B^{2} = 72 > 0

且

A < 0

\Rightarrow

极大；

(1, 2)

与

(- 3, 0)

：

A C - B^{2} = - 72 < 0

\Rightarrow

非极值点。

第四步，代回求值：极小值

f (1, 0) = - 5

，极大值

f (- 3, 2) = 31

。

题问「极值」就答这两个数，问「极值点」才答坐标。

$A C - B^{2} = 0$ ：回定义

第一步：先看函数有没有明显的符号（配方、非负、完全平方）。

第二步：没有的话，取两条特殊路径（如

y = x_{0}

与

y = x

）代进去，比较函数值。

第三步：两条路上一正一负

\Rightarrow

不是极值；都不小于（不大于）

f (P_{0})

\Rightarrow

是极值。

第四步：写结论时说明依据是定义，不是判别法。

例例.

f = x^{4} + y^{4}

与

g = x^{3} + y^{3}

在原点都有

A C - B^{2} = 0

，判别法失效，各是什么情况？

第一步，先看有没有明显的符号。

f = x^{4} + y^{4} \geq 0 = f (0, 0)

对一切

(x, y)

成立——由定义，原点是极小值点，极小值

0

。

第二步，

g

看不出符号，取两条特殊路径。沿

y = 0

：

g (x, 0) = x^{3}

。

第三步，

x > 0

时

x^{3} > 0 = g (0, 0)

，

x < 0

时

x^{3} < 0 = g (0, 0)

。在原点的任何邻域里都既有比它大的、也有比它小的

\Rightarrow

不是极值点。

第四步，写结论时点明依据是定义（比较邻域内的函数值），不是

A C - B^{2}

判别法——那个判别法在这里已经失效，拿它说事就是用一个不成立的理由得了个对答案。

求有界闭区域上的最值

第一步：在区域内部求驻点（与偏导不存在的点），算出函数值，不必判别。

第二步：处理边界——代入边界方程化成一元函数，或分段代入每一段边界。

第三步：求出每段边界上的最值，边界的端点（角点）也要单独算。

第四步：所有候选值比大小，答最大值与最小值。

例例. 求

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - x y

在正方形

D : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

上的最值。

第一步（内部），

f_{x} = 2 x - y = 0

、

f_{y} = 2 y - x = 0

解得

x = y = 0

，它落在边界上，不算内部驻点。所以内部没有候选点。

第二步（边界），四条边分别代入，化成一元函数：

y = 0

：

f = x^{2}

，取值

0 \sim 1

；　

x = 0

：

f = y^{2}

，取值

0 \sim 1

；

y = 1

：

f = x^{2} - x + 1

，在

x = \frac{1}{2}

处取

\frac{3}{4}

，两端取

1

；　

x = 1

：对称，同样是

\frac{3}{4}

与

1

。

第三步（角点），

f (0, 0) = 0

、

f (1, 0) = f (0, 1) = f (1, 1) = 1

。

第四步，所有候选值比大小：最小值 $0$ （在

(0, 0)

），最大值 $1$ （在三个角点上同时取到）。

边界上那个

\frac{3}{4}

既不是最大也不是最小——但不算出来就不知道。边界上的驻点和角点都必须进候选名单。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

驻点直接当极值点

驻点只是「嫌疑点」。

z = x y

的原点是驻点，却是鞍点。

症状：解完方程组就写「故极小值为

f (P_{0})

」，中间没有

A, B, C

。

一元那边也有同样的坑（「把驻点直接当成极值点」），二元只是多了一张判别表。

判别式写成 $B^{2} - A C$ ，表却照原样查

两个式子差一个负号，整张表的大于小于就全反了。

真要用

B^{2} - A C

（有的书这么写），记得

< 0

才是极值。

稳妥的办法是每次都按 $A C - B^{2}$ 写，顺序

A \cdot C

在前、

B^{2}

在后。

解驻点方程组时丢根

f_{x} = 0

若是二次方程，就有两个

x

；

f_{y} = 0

有两个

y

，组合起来是四个驻点。

常见手误：两边同除以一个可能为零的因式，或者只配一对

(x, y)

就往下做。

做完先数一数：驻点个数与方程的次数对不对得上。

求最值时只算内部驻点，忘了边界

最值可能在边界上，而边界上根本不要求

f_{x} = f_{y} = 0

。

上面那个

z = x + y

在圆盘上的例子，内部一个驻点都没有，答案全在边界。

动笔前先问一句：题目给的是闭区域吗？是就必须处理边界（还有角点）。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 驻点与定义

练 1

z = x^{2} + y^{2} - 2 x

的驻点是 ________。

练 2

「

P_{0}

是

f

的驻点」指的是（）。

A $f (P_{0}) = 0$
B $f_{xx} (P_{0}) = 0$
C $f$ 在 $P_{0}$ 可微
D $f_{x} (P_{0}) = f_{y} (P_{0}) = 0$

练 3

z = x y

的驻点是 ________。

练 4

关于驻点与极值点，正确的是（）。

A驻点必是极值点
B驻点不一定是极值点
C极值点必是驻点
D两者是一回事

第二组 · 用判别法

练 5

z = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x

的驻点是 ________。

练 6

承上题，在该驻点处

A C - B^{2} =

（）。

A $3$
B $- 3$
C $4$
D $0$

练 7

承上题，该函数的极小值为 ________。

练 8

若驻点

P_{0}

处

A C - B^{2} < 0

，则

P_{0}

（）。

A是极大值点
B不是极值点
C是极小值点
D无法判断

第三组 · 失效与最值

练 9

若驻点处

A C - B^{2} = 0

，则（）。

A一定不是极值点
B一定是极值点
C一定是鞍点
D判别法失效，要回定义

练 10

z = (x - y)^{2}

在直线

y = x

上每一点都取到极________值（填「大」或「小」）。

练 11

z = x + y

在闭圆盘

x^{2} + y^{2} \leq 1

上的最大值为 ________。

练 12

求有界闭区域上连续函数的最值时，必须考虑（）。

A只有内部驻点
B只有边界上的点
C内部驻点与边界都要
D只有偏导不存在的点

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

多元函数的无条件极值

先打基础

1. 必要条件：极值点处两个偏导都为零（驻点）

2. 充分条件：先看 AC−B2 定「是不是」，再看 A 定「大还是小」

3. 整套流程，以及 AC−B2=0 怎么办

4. 有界闭区域上的最值：内部驻点 + 边界

常用结构

求无条件极值：四步

AC−B2=0：回定义

求有界闭区域上的最值

基础易错

驻点直接当极值点

判别式写成 B2−AC，表却照原样查

解驻点方程组时丢根

求最值时只算内部驻点，忘了边界

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 充分条件：先看 $A C - B^{2}$ 定「是不是」，再看 $A$ 定「大还是小」

3. 整套流程，以及 $A C - B^{2} = 0$ 怎么办

4. 有界闭区域上的最值：内部驻点 $+$ 边界

$A C - B^{2} = 0$ ：回定义

判别式写成 $B^{2} - A C$ ，表却照原样查