多元函数的无条件极值

§4.6 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.77 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

4.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数函数的单调性与极值③ 掌握后可解锁条件极值与拉格朗日乘数法

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 必要条件（费马定理）：极值点必为驻点，但驻点未必是极值点★★ 必会

若

f

在

P_{0}

处取得极值，且两个偏导数都存在，那么

f_{x} (P_{0}) = f_{y} (P_{0}) = 0

，这样的点称为驻点。但反过来不成立，驻点也可能是鞍点（例如

z = x^{2} - y^{2}

在原点处）。此外，偏导数不存在的点也可能取得极值（例如

z = x^{2} + y^{2}

在原点处取得极小值），这类点必须单独考察。因此偏导数都等于零，只是筛选可能的极值点的第一步。

证明 / 推导

固定

y = y_{0}

，令

g (x) = f (x, y_{0})

。

f

在

P_{0}

处取得极值

\Rightarrow g

在

x_{0}

处也取得极值。又

g

作为一元函数可导，由一元函数的费马定理得

g^{'} (x_{0}) = f_{x} (P_{0}) = 0

。同理，固定

x = x_{0}

得

f_{y} (P_{0}) = 0

。上述条件只是沿两个坐标方向得到的必要条件，它对其余方向上的变化没有任何限制，所以并不充分。

■

2. 充分条件中 $A C - B^{2}$ 的来源：驻点处的二次型与黑塞矩阵的正定性★★ 必会

设

P_{0}

为驻点，

f

具有二阶连续偏导数，记

A = f_{xx}, B = f_{x y}, C = f_{y y}, H = A C - B^{2}

。则：

H > 0, A > 0

时取得极小值；

H > 0, A < 0

时取得极大值；

H < 0

时为鞍点；

H = 0

时这一判别法失效。其中的道理是：在驻点处一阶项全部为零，函数增量的主要部分是一个二次型，而

H = A C - B^{2}

恰好是黑塞矩阵

(A B B C)

的行列式。微分学与线性代数在这里联系了起来。

证明 / 推导

在驻点附近作二阶泰勒展开（此时

f_{x} = f_{y} = 0

），得

Δ f = f (P) - f (P_{0}) = \frac{1}{2} (A Δ x^{2} + 2 B Δ x Δ y + C Δ y^{2}) + o (ρ^{2}) .

Δ f

的符号由括号中的二次型

Q (Δ x, Δ y)

决定。对称矩阵

(A B B C)

正定

\Leftrightarrow A > 0

且

A C - B^{2} > 0

，此时

Q > 0

，

Δ f > 0

，故取得极小值；当矩阵负定时（即

A < 0, A C - B^{2} > 0

），取得极大值；当

A C - B^{2} < 0

时

Q

不定，即取值有正有负，此时为鞍点。

■

举例说明

f = x^{2} - y^{2}

在原点处是驻点，此时

A = 2, B = 0, C = - 2

，

H = - 4 < 0

，故原点是鞍点。沿

x

轴方向取得极小值，沿

y

轴方向取得极大值，形如马鞍。

3. $H = 0$ 时判别法失效，应回到定义考察 $Δ f$ 的符号，可沿特殊路径试探★ 要懂

H = A C - B^{2} = 0

时上述判别法失效，必须回到定义，考察

Δ f = f (P) - f (P_{0})

在

P_{0}

附近的符号。常用的办法是沿特殊路径（

y = x, y = - x, x = 0, y = 0

）进行试探。如果沿不同路径所得的符号相反，那么该点不是极值点；如果能够证明

Δ f

恒非负（或恒非正），那么该点是极小值点（极大值点）。

举例说明

三个

H = 0

的对比（均以原点为驻点）：①

f = x^{2} + y^{4}

，

Δ f = x^{2} + y^{4} \geq 0

恒成立，故为极小值点；②

f = x^{2} - y^{4}

，沿

x = 0

得

- y^{4} \leq 0

、沿

y = 0

得

x^{2} \geq 0

，两者符号相反，故不是极值点；③

f = x^{2} + y^{3}

，沿

x = 0

的

y^{3}

在

y > 0, y < 0

时变号，故不是极值点。由此可见，

H = 0

时三种情形都可能出现，只能逐个分析。

4. 极值 $\neq =$ 最值：求闭区域上的最值，必须把内部驻点 $+$ 边界上的最值放在一起比较★★ 必会

极值是局部概念，最值是整体概念。求有界闭区域上的最值时，必须同时考察两部分：① 区域内部的驻点以及偏导数不存在的点处的函数值；② 边界上的最值，通常把边界化为一元函数来处理，或者使用拉格朗日乘数法。把所有候选点处的函数值放在一起比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。如果只计算内部驻点，就会遗漏边界上的最值，这是常见的失分之处。

举例说明

求

f = x^{2} + 2 y^{2} - x

在闭圆盘

x^{2} + y^{2} \leq 1

上的最值。在区域内部，

f_{x} = 2 x - 1 = 0, f_{y} = 4 y = 0 \Rightarrow (\frac{1}{2}, 0)

，

f = - \frac{1}{4}

。在边界

x^{2} + y^{2} = 1

上，代入

y^{2} = 1 - x^{2}

得

g (x) = x^{2} + 2 (1 - x^{2}) - x = - x^{2} - x + 2, x \in [- 1, 1]

；

g^{'} (x) = - 2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}

，

g (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{4}

；在端点处

g (1) = 0, g (- 1) = 2

。比较

{- \frac{1}{4}, \frac{9}{4}, 0, 2}

，得最大值 $\frac{9}{4}$ ，最小值 $- \frac{1}{4}$ 。

💡 小知识

鞍点（saddle point）的名字来自马鞍：马鞍面沿一个方向下凹，沿另一个方向上凸，正中间那一点既不是最高处也不是最低处。判别式

A C - B^{2}

其实就是黑塞矩阵

(A B B C)

的行列式，微积分与线性代数在这里接上了头。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5

的极值。难度 1

第一步求驻点：

f_{x} = 2 x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1

，

f_{y} = 2 y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2

，驻点

(1, 2)

。第二步判别：

A = f_{xx} = 2, B = f_{x y} = 0, C = f_{y y} = 2

，

H = A C - B^{2} = 4 > 0

且

A > 0

，故

(1, 2)

为极小值点。极小值

f (1, 2) = 1 + 4 - 2 - 8 + 5 = 0

。（其实

f = (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2}

，极小值

0

一目了然。）

例 2 求

f (x, y) = 4 (x - y) - x^{2} - y^{2}

的极值。难度 1

驻点：

f_{x} = 4 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 2

，

f_{y} = - 4 - 2 y = 0 \Rightarrow y = - 2

，驻点

(2, - 2)

。判别：

A = f_{xx} = - 2, B = 0, C = f_{y y} = - 2

，

H = A C - B^{2} = 4 > 0

且

A < 0

，故为极大值点。极大值

f (2, - 2) = 4 (2 - (- 2)) - 4 - 4 = 16 - 8 = 8

。

例 3 求

f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y

的极值。难度 2

驻点：

f_{x} = 3 x^{2} - 3 y = 0 \Rightarrow y = x^{2}

，

f_{y} = 3 y^{2} - 3 x = 0 \Rightarrow x = y^{2}

。联立得

x = (x^{2})^{2} = x^{4}

，即

x^{4} - x = 0 \Rightarrow x (x^{3} - 1) = 0

，

x = 0

或

x = 1

；对应驻点

(0, 0), (1, 1)

。二阶偏导

A = 6 x, B = - 3, C = 6 y

，故

H = A C - B^{2} = 36 x y - 9

。逐点判别：在

(0, 0)

处

H = - 9 < 0

，是鞍点；在

(1, 1)

处

H = 36 - 9 = 27 > 0

且

A = 6 > 0

，为极小值点，

f (1, 1) = 1 + 1 - 3 = - 1

。故

f

有极小值

- 1

，无极大值。

例 4 求

f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x - 6 y

的极值（注意

f_{x y} \neq = 0

）。难度 2

驻点：

f_{x} = 2 x + y - 3 = 0, f_{y} = x + 2 y - 6 = 0

。由第一式

y = 3 - 2 x

代入第二式：

x + 2 (3 - 2 x) - 6 = 0 \Rightarrow - 3 x = 0 \Rightarrow x = 0, y = 3

，驻点

(0, 3)

。二阶：

A = f_{xx} = 2, B = f_{x y} = 1, C = f_{y y} = 2

，

H = A C - B^{2} = 4 - 1 = 3 > 0

且

A > 0

，为极小值点。极小值

f (0, 3) = 0 + 0 + 9 - 0 - 18 = - 9

。要点：

B \neq = 0

时更要老实算

H = A C - B^{2}

，别忘了减

B^{2}

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

求函数

f (x, y) = (2 x^{2} - y^{2}) e^{x}

的极值。

2024 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

函数

f (x, y) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 y^{4} + 12 x + 24 y

的极值点是 ______。

2022 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设某产品的产量

Q

由资本投入量

x

和劳动投入量

y

决定，生产函数为

Q = 12 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}

，该产品的销售单价

p

与

Q

的关系为

p = 1160 - 1.5 Q

. 若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为

6

和

8

，求利润最大时的产量.

2021 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

求函数

f (x, y) = 2 ln ∣ x ∣ + \frac{( x - 1 ) ^{2} + y ^{2}}{2 x ^{2}}

的极值。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

函数

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y

的唯一驻点是 ____。

练习 2 · 选择题

设

(x_{0}, y_{0})

是

f

的驻点，且

f_{xx} = 2, f_{x y} = 2, f_{y y} = 1

，则该点（　）。

A是极大值点
B是极小值点
C是鞍点，不是极值点
D无法判定

练习 3 · 填空题

函数

f (x, y) = x^{2} + y^{2} + x y - 3 x

的极小值为 ____。

练习 4 · 选择题

‘

f_{x} (P_{0}) = f_{y} (P_{0}) = 0

’是‘可偏导的

f

在

P_{0}

取极值’的（　）。

A充分条件
B必要条件
C充分必要条件
D既不充分也不必要

练习 5 · 选择题

设

f (x, y) = x^{3} - 3 x y^{2}

，则关于点

(0, 0)

，下列说法正确的是（　）。

A $(0, 0)$ 是 $f$ 的极大值点
B $(0, 0)$ 是 $f$ 的极小值点
C $(0, 0)$ 是驻点但不是极值点，因为在原点的任意小邻域内 $f$ 既取正值又取负值
D $(0, 0)$ 不是极值点，因为在该点 $B^{2} - A C > 0$

练习 6 · 填空题

函数

f (x, y) = x^{3} - y^{3} + 3 x^{2} + 3 y^{2} - 9 x

的极大值为 ____。

练习 7 · 解答题

求函数

f (x, y) = x^{2} - 2 x y + 2 y

在闭区域

D = {(x, y) ∣ x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 4}

上的最大值与最小值。

2020 年 · 数三 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

求函数

f (x, y) = x^{3} + 8 y^{3} - x y

的极值.

2017 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

二元函数

z = x y (3 - x - y)

的极值点是（　　）。

A $(0, 0)$
B $(0, 3)$
C $(3, 0)$
D $(1, 1)$

多元函数的无条件极值

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 必要条件（费马定理）：极值点必为驻点，但驻点未必是极值点★★ 必会

2. 充分条件中 AC−B2 的来源：驻点处的二次型与黑塞矩阵的正定性★★ 必会

3. H=0 时判别法失效，应回到定义考察 Δf 的符号，可沿特殊路径试探★ 要懂

4. 极值 = 最值：求闭区域上的最值，必须把内部驻点 + 边界上的最值放在一起比较★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 充分条件中 $A C - B^{2}$ 的来源：驻点处的二次型与黑塞矩阵的正定性★★ 必会

3. $H = 0$ 时判别法失效，应回到定义考察 $Δ f$ 的符号，可沿特殊路径试探★ 要懂

4. 极值 $\neq =$ 最值：求闭区域上的最值，必须把内部驻点 $+$ 边界上的最值放在一起比较★★ 必会