偏导数

§4.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.19 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

5.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）多元函数的极限与连续导数与微分的概念③ 掌握后可解锁全微分多元复合函数求导法则多元函数的无条件极值

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 偏导数的计算实质是把多元函数化为一元函数；它在几何上是截线的切线斜率★★ 必会

求

f_{x}

就是把 $y$ 看作常数，只让

x

变动，再对

x

使用一元函数的求导法则；求

f_{y}

时反之。这种把其余变量固定、从而化为一元函数的想法贯穿全章。其几何意义是：

f_{x} (x_{0}, y_{0})

表示用竖直平面

y = y_{0}

去截曲面

z = f (x, y)

，所得截线在该点处切线的斜率，即沿

x

方向的坡度；

f_{y}

则用

x = x_{0}

去截。由此可见，偏导数只刻画了沿两个坐标方向的变化率，所反映的是单个方向上的信息。

举例说明

设

f = x^{2} + 3 x y + y^{2} e^{x}

。求

f_{x}

时，把

y^{2}

看作常系数，而

e^{x}

照常求导，得

f_{x} = 2 x + 3 y + y^{2} e^{x}

；求

f_{y}

时，把

e^{x}

看作常数，得

f_{y} = 3 x + 2 y e^{x}

。同一个字母在不同的求导中所处的地位可以不同，例如

z = x^{y}

，对

x

求导时它是幂函数，

z_{x} = y x^{y - 1}

；对

y

求导时它是指数函数，

z_{y} = x^{y} ln x

。

2. 多元函数的特殊之处：各偏导数都存在，函数却可能不连续★★ 必会

在一元函数中有可导

\Rightarrow

连续；但对多元函数，偏导数存在既推不出连续，也推不出可微。其原因在于：偏导数只沿

x

轴与

y

轴这两条直线取得信息，而连续性要求沿一切方向（包括沿斜线、沿曲线）逼近时都成立。这一差别是多元微分学中反复考查的内容，必须注意，偏导数存在是一个很弱的条件。

证明 / 推导

取

f (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} (x^{2} + y^{2} \neq = 0), f (0, 0) = 0

。由定义

f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( Δ x , 0 ) - 0}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{0}{Δ x} = 0,

同理

f_{y} (0, 0) = 0

，两个偏导数都存在。但沿

y = x

趋于原点时，

f = \frac{x ^{2}}{2 x ^{2}} = \frac{1}{2} \neq \to 0 = f (0, 0)

，可见函数在原点不连续。因此偏导数存在

\Rightarrow

连续这一推断不成立。

■

3. 分段函数在分界点处必须按定义求偏导数（这是常考的内容）★★ 必会

分段函数在分界点（常常是原点）处不能套用公式，而要用极限的定义

f_{x} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x _{0} + Δ x , y _{0} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{Δ x}

逐个计算。把分段表达式代入后，往往能算出一个确定的数值，即使函数在该点并不光滑。这类题目几乎每年都出现，是考查偏导数概念的主要形式。

举例说明

设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

，求

f_{x} (0, 0), f_{y} (0, 0)

。因为

f (Δ x, 0) = \frac{Δ x ^{2} \cdot 0}{Δ x ^{2}} = 0

，故

f_{x} (0, 0) = lim_{Δ x \to 0} \frac{0 - 0}{Δ x} = 0

；同理

f_{y} (0, 0) = 0

。可见两个偏导数都存在，且都等于

0

。（本例中

f

在原点还是连续的，但连续与否须另行判定，不能因偏导数存在就下结论。）

4. 混合偏导数相等是有条件的：只有 $f_{x y}, f_{y x}$ 连续时才能交换求导次序★ 要懂

二阶混合偏导数

f_{x y}

与

f_{y x}

一般未必相等；只有当二者在该点都连续时，才有

f_{x y} = f_{y x}

，这就是克莱罗定理（也称施瓦茨定理）。绝大多数初等函数都满足这个条件，所以平时随意交换次序不会出错；但对分段函数在分界点处，就可能出错。因此题目若要求验证

f_{x y} = f_{y x}

，必须先检查连续性这一前提，不能想当然。

证明 / 推导

下面举出反例：

f (x, y) = \frac{x y ( x ^{2} - y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} (x^{2} + y^{2} \neq = 0), f (0, 0) = 0

。先计算

f_{x} (0, y)

：可以对

x \neq = 0

求偏导后再令

x = 0

，也可以直接由定义得

f_{x} (0, y) = lim_{h \to 0} \frac{f ( h , y ) - f ( 0 , y )}{h} = lim_{h \to 0} \frac{y ( h ^{2} - y ^{2} )}{h ^{2} + y ^{2}} = - y

。于是

f_{x y} (0, 0) = \frac{\partial}{\partial y} (- y)_{0} = - 1

。同理

f_{y} (x, 0) = x

，得

f_{y x} (0, 0) = 1

。可见 $f_{x y} (0, 0) = - 1 \neq = 1 = f_{y x} (0, 0)$ 。正是因为它们在原点不连续，交换次序的法则才失效。

■

💡 小知识

偏导数专用的花体符号

\partial

读作偏，英文里念作 round d，它由勒让德引入，经雅可比推广后才通行开来。这个记号特意写得与一元的

d

不同，为的是随时提醒：眼下还有别的变量被按住当成了常数。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

z = x^{2} sin y + y^{3}

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 1

对谁求偏导，就把别的变量冻结成常数。求

\frac{\partial z}{\partial x}

时把

y

看成常数：

sin y

是常系数、

y^{3}

是常数，

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x sin y .

求

\frac{\partial z}{\partial y}

时把

x

看成常数：

x^{2}

是常系数，

\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} cos y + 3 y^{2} .

例 2 设

z = e^{x y} + x^{2} y

，求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}

在点

(1, 0)

处的值。难度 1

先求偏导表达式，再代点（不要代早了）。对

x

：

\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{x y} + 2 x y

；对

y

：

\frac{\partial z}{\partial y} = x e^{x y} + x^{2}

。代入

(1, 0)

（注意

e^{0} = 1

）：

\frac{\partial z}{\partial x}_{(1, 0)} = 0 \cdot 1 + 0 = 0, \frac{\partial z}{\partial y}_{(1, 0)} = 1 \cdot 1 + 1 = 2.

例 3 设

z = e^{x} cos y

，求四个二阶偏导数，验证

z_{x y} = z_{y x}

，并说明

z_{xx} + z_{y y} = 0

。难度 2

一阶：

z_{x} = e^{x} cos y, z_{y} = - e^{x} sin y

。二阶：

z_{xx} = e^{x} cos y, z_{y y} = - e^{x} cos y, z_{x y} = \frac{\partial}{\partial y} (z_{x}) = - e^{x} sin y, z_{y x} = \frac{\partial}{\partial x} (z_{y}) = - e^{x} sin y .

可见

z_{x y} = z_{y x} = - e^{x} sin y

（二者连续，由混合偏导相等定理次序可换）。又

z_{xx} + z_{y y} = e^{x} cos y - e^{x} cos y = 0

，说明

z = e^{x} cos y

满足拉普拉斯方程（是调和函数）。

例 4 设

f (x, y) = 3 x^{3} + y^{3}

，求

f_{x} (0, 0)

与

f_{y} (0, 0)

。难度 2

原点是‘尖点’，直接套幂函数公式会出现

0

的负次幂，必须回到偏导数定义。注意

f (x, 0) = 3 x^{3} = x

，故

f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ x - 0}{Δ x} = 1.

同理

f (0, y) = y

，得

f_{y} (0, 0) = 1

。教训：分界点/尖点处的偏导只能用定义算，得到的竟是干净的

1

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设函数

z = z (x, y)

由方程

x - a z = e^{y + a z}

（

a

是非零常数）确定，则（　　）。

A $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$
B $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$
C $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{1}{a}$
D $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{1}{a}$

2026 年 · 数三 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

求函数

f (x, y) = (2 x^{2} - y^{2}) e^{x}

的极值。

2025 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

z = z (x, y)

由

z + ln z - \int_{y}^{x} x e^{- t^{2}} d t = 1

确定，则

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}_{(1, 1)} =

______。

2024 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

函数

f (x, y) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 y^{4} + 12 x + 24 y

的极值点是 ______。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = ln (x^{2} + y^{2})

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

____。

练习 2 · 选择题

设

z = cos (x y^{2})

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

（　）。

A $- sin (x y^{2})$
B $- y^{2} sin (x y^{2})$
C $- 2 x y sin (x y^{2})$
D $y^{2} sin (x y^{2})$

练习 3 · 填空题

设

z = x^{y} (x > 0)

，则

\frac{\partial z}{\partial y} =

____。

练习 4 · 选择题

若

f (x, y)

在点

P_{0}

处两个偏导数

f_{x} (P_{0}), f_{y} (P_{0})

都存在，则下列结论一定成立的是（　）。

A $f$ 在 $P_{0}$ 处连续
B $f$ 在 $P_{0}$ 处可微
C $f$ 在 $P_{0}$ 处未必连续
D $f$ 在 $P_{0}$ 处的极限一定存在

练习 5 · 填空题

设

z = x^{2} y + x y^{2}

，则二阶混合偏导

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} =

____。

练习 6 · 选择题

设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3} y}{x ^{6} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0), (x, y) = (0, 0),

则下列结论中正确的是（　　）。

A $f$ 沿任何过原点的直线趋于 $(0, 0)$ 时极限都是 $0$ ，故 $f$ 在 $(0, 0)$ 处连续
B $f$ 在 $(0, 0)$ 处连续，从而两个偏导数都存在
C $f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0$ ，但 $f$ 在 $(0, 0)$ 处不连续
D $f$ 在 $(0, 0)$ 处的两个偏导数都不存在

练习 7 · 填空题

设

f (x, y)

在点

(1, 2)

处的两个偏导数都存在，且

t \to 0 lim \frac{f ( 1 + 2 t , 2 ) - f ( 1 , 2 )}{t} = 6, t \to 0 lim \frac{f ( 1 , 2 - 3 t ) - f ( 1 , 2 )}{t} = 12,

则

f_{x} (1, 2) + f_{y} (1, 2) =

____。

练习 8 · 解答题

设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3} - y ^{3}}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0), (x, y) = (0, 0) .

(1) 求

f_{x} (0, 0)

与

f_{y} (0, 0)

；

(2) 讨论

f (x, y)

在点

(0, 0)

处是否可微；

(3) 讨论偏导函数

f_{x} (x, y)

在点

(0, 0)

处是否连续，并说明这与 (2) 的结论是否矛盾。

2023 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x, y) = ln (y + ∣ x sin y ∣)

，则（　　）。

A在 $(0, 1)$ 处 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 不存在， $\frac{\partial f}{\partial y}$ 存在
B在 $(0, 1)$ 处 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 存在， $\frac{\partial f}{\partial y}$ 不存在
C在 $(0, 1)$ 处 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 均存在
D在 $(0, 1)$ 处 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 均不存在

2022 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (t)

连续，令

F (x, y) = \int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t

，则（　　）

A $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial ^{2} F}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{2} F}{\partial y ^{2}}$
B $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial ^{2} F}{\partial x ^{2}} = - \frac{\partial ^{2} F}{\partial y ^{2}}$
C $\frac{\partial F}{\partial x} = - \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial ^{2} F}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{2} F}{\partial y ^{2}}$
D $\frac{\partial F}{\partial x} = - \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial ^{2} F}{\partial x ^{2}} = - \frac{\partial ^{2} F}{\partial y ^{2}}$

偏导数

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 偏导数的计算实质是把多元函数化为一元函数；它在几何上是截线的切线斜率★★ 必会

2. 多元函数的特殊之处：各偏导数都存在，函数却可能不连续★★ 必会

3. 分段函数在分界点处必须按定义求偏导数（这是常考的内容）★★ 必会

4. 混合偏导数相等是有条件的：只有 fxy​,fyx​ 连续时才能交换求导次序★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

4. 混合偏导数相等是有条件的：只有 $f_{x y}, f_{y x}$ 连续时才能交换求导次序★ 要懂