全微分

§4.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.25 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

1.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数导数与微分的概念

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 可微的定义：全增量 $=$ 线性主部 $+ o (ρ)$ ，全微分就是用平面来近似曲面★ 要懂

称

f

在

(x_{0}, y_{0})

处可微，是指全增量

Δ z = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})

能写成

Δ z ρ = A Δ x + B Δ y + o (ρ) = Δ x^{2} + Δ y^{2}

其中

A, B

与

Δ x, Δ y

无关。几何意义：曲面在该点附近足够平坦，可以用一小片平面，即线性函数

A Δ x + B Δ y

来近似，误差

o (ρ)

随

ρ \to 0

而迅速衰减。全微分

d z = A d x + B d y

就是这一线性近似本身。它是一元微分学中用切线代替曲线在二元情形下的推广。定义中最要紧的是误差为

ρ

的高阶无穷小这一条，验证时绝不能遗漏。

举例说明

设

z = x^{2} + y^{2}

，在

(1, 1)

处有

Δ z = (1 + Δ x)^{2} + (1 + Δ y)^{2} - 2 = 2Δ x + 2Δ y + (Δ x^{2} + Δ y^{2})

。前两项

2Δ x + 2Δ y

是线性主部，余项

Δ x^{2} + Δ y^{2} = ρ^{2} = o (ρ)

。所以它可微，且

d z_{(1, 1)} = 2 d x + 2 d y

。

2. 基本关系及其推导：可微 $\Rightarrow$ 连续，可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在，而反过来都不成立★★ 必会

下面的关系必须记熟并理解：

偏导连续 \Rightarrow 可微 \Rightarrow {偏导数存在 (A = f_{x}, B = f_{y}) 函数连续

上述各箭头反过来都不成立：偏导数存在推不出可微，连续也推不出可微。在一元函数中，可导

\Leftrightarrow

可微是等价的，而在多元函数中，偏导数存在要比可微弱得多。这一点是多元微分学中最重要的区别。

证明 / 推导

设函数可微，

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ)

。(1) 偏导数存在且 $A = f_{x}$ ：令

Δ y = 0

，则

ρ = ∣Δ x ∣

，

\frac{Δ z}{Δ x} = A + \frac{o ( ∣Δ x ∣ )}{Δ x} \to A

，故

f_{x} = A

；同理

f_{y} = B

。(2) 函数连续：当

(Δ x, Δ y) \to (0, 0)

时

ρ \to 0

，于是

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ) \to 0

，即

lim f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) = f (x_{0}, y_{0})

，可见函数连续。

■

举例说明

反过来不成立的例子：

f = ∣ x y ∣

在原点连续，两个偏导数都存在且等于

0

，但它在原点不可微。事实上，沿

Δ y = Δ x

验证时，误差与距离之比

\to \frac{1}{2} \neq = 0

，可见连续加上偏导数存在并不能保证可微。

3. 判断可微性的标准三步法★ 要懂

① 先求该点处的两个偏导数

f_{x}, f_{y}

，在分界点处要用定义计算；如果偏导数不存在，就直接判定为不可微。② 如果

f_{x}, f_{y}

在该点连续，这是可微的充分条件，可立即判定可微，这是最简便的做法。③ 否则回到定义，验证

ρ \to 0 lim \frac{Δ z - ( f _{x} Δ x + f _{y} Δ y )}{ρ} = 0.

若该极限为

0

，则可微；若沿某条路径，例如常取

Δ y = k Δ x

，此极限不为零，则不可微。注意第②步的条件是充分而非必要的，可微并不要求偏导数连续。

举例说明

设

f = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} (x^{2} + y^{2} \neq = 0), f (0, 0) = 0

。由定义求得

f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0

。再验证

\frac{Δ z - 0}{ρ} = \frac{Δ x Δ y / Δ x ^{2} + Δ y ^{2}}{Δ x ^{2} + Δ y ^{2}} = \frac{Δ x Δ y}{Δ x ^{2} + Δ y ^{2}} .

沿

Δ y = Δ x

得极限为

\frac{1}{2} \neq = 0

，故不可微，尽管这个

f

在原点连续且偏导数存在。

4. 全微分的用途：近似计算与相对误差的估计

当

∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣

都很小时，可微性给出一次近似

f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) \approx f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y .

它既可用于数值近似，例如估算

1.0 4^{2.02}

、

3.0 2^{2} + 3.9 7^{2}

等，也可用于误差分析：对

z = f (x, y)

，绝对误差有

∣ d z ∣ \leq ∣ f_{x} ∣∣ d x ∣ + ∣ f_{y} ∣∣ d y ∣

，而相对误差

\frac{d z}{z}

由各变量的相对误差线性叠加而成。选取基点的要领是：使

f (x_{0}, y_{0})

与各个偏导数都便于计算，例如取整数点。

举例说明

估算

(1.02)^{2} + (1.97)^{2}

。设

f = x^{2} + y^{2}

，取基点

(1, 2)

，则

f (1, 2) = 5

，

f_{x} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{1}{5}, f_{y} = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{2}{5}

。因

Δ x = 0.02, Δ y = - 0.03

，故

f \approx 5 + \frac{0.02 - 0.06}{5} = 5 - \frac{0.04}{5} \approx 2.2361 - 0.0179 \approx 2.2182

，与真值约

2.2184

相比十分接近。

💡 小知识

热力学里，内能的微分

d U

是全微分，因为

U

是状态函数，只与始末状态有关；而热量

δ Q

和功

δ W

都依赖过程路径，不是全微分，所以物理学家特意用

δ

而不是

d

来写它们。一个数学概念就这样成了区分状态量与过程量的标志。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

z = x^{2} y + y^{3}

，求全微分

d z

。难度 1

函数是初等函数、偏导连续，故可微，

d z = z_{x} d x + z_{y} d y

。求偏导：

z_{x} = 2 x y

（

y^{3}

当常数），

z_{y} = x^{2} + 3 y^{2}

（

x^{2}

当常系数）。所以

d z = 2 x y d x + (x^{2} + 3 y^{2}) d y .

例 2 设

z = x e^{y}

，求它在点

(1, 0)

处的全微分

d z_{(1, 0)}

。难度 1

先求偏导：

z_{x} = e^{y}, z_{y} = x e^{y}

。在

(1, 0)

处（

e^{0} = 1

）：

z_{x} = 1, z_{y} = 1

。故

d z_{(1, 0)} = 1 \cdot d x + 1 \cdot d y = d x + d y .

它就是曲面在该点的‘线性主部’，用来近似

z

的微小改变量。

例 3 用全微分近似计算

(1.04)^{2.02}

。难度 2

设

f (x, y) = x^{y}

，取基点

(x_{0}, y_{0}) = (1, 2)

，则

Δ x = 0.04, Δ y = 0.02

。因

f (1, 2) = 1

，偏导

f_{x} = y x^{y - 1}, f_{y} = x^{y} ln x

，在

(1, 2)

处

f_{x} = 2 \cdot 1 = 2, f_{y} = 1 \cdot ln 1 = 0

。用一次近似

f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) \approx f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y = 1 + 2 \times 0.04 + 0 \times 0.02 = 1.08.

故

(1.04)^{2.02} \approx 1.08

（真值约

1.0824

，误差很小）。

例 4 设

f (x, y) = ∣ x y ∣

，讨论

f

在原点是否可微。难度 2

第一步求偏导：

f (x, 0) = ∣0∣ = 0

，故

f_{x} (0, 0) = lim_{Δ x \to 0} \frac{0 - 0}{Δ x} = 0

；同理

f_{y} (0, 0) = 0

，两偏导都存在。第二步按定义验证：由于

f (0, 0) = 0

、

f_{x} = f_{y} = 0

，需看

\frac{Δ z - ( f _{x} Δ x + f _{y} Δ y )}{ρ} = \frac{∣Δ x Δ y ∣}{Δ x ^{2} + Δ y ^{2}} .

沿

Δ y = Δ x (Δ x > 0)

：上式

= \frac{Δ x ^{2}}{2 Δ x} = \frac{1}{2} \neq = 0

，极限不为

0

。故

f

在原点不可微——这是‘偏导存在却不可微’的又一典型。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

f (x, y)

满足

df (x, y) = \frac{x d y - y d x}{x ^{2} + y ^{2}}, f (1, 1) = \frac{π}{4}

，则

f (3, 3) =

______。

2021 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x, y)

可微，且

f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}

，

f (x, x^{2}) = 2 x^{2} ln x

，则

df (1, 1) =

（　　）。

A $d x + d y$ 。
B $d x - d y$ 。
C $d y$ 。
D $- d y$ 。

2020 年 · 数三 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

设

z = arctan [x y + sin (x + y)]

，则

d z_{(0, π)} =

______.

2017 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (x, y)

具有一阶连续偏导数，且

d f (x, y) = y e^{y} d x + x (1 + y) e^{y} d y

，

f (0, 0) = 0

，则

f (x, y) =

______。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = x^{3} y - x y^{2}

，则

d z =

____。

练习 2 · 选择题

设

z = e^{x^{2} + y^{2}}

，则

d z =

（　）。

A $e^{x^{2} + y^{2}} (d x + d y)$
B $e^{x^{2} + y^{2}} (2 x d x + 2 y d y)$
C $2 x d x + 2 y d y$
D $e^{x^{2} + y^{2}} (x d x + y d y)$

练习 3 · 选择题

关于二元函数

f (x, y)

在一点的性质，下列蕴含关系正确的是（　）。

A偏导数存在 $\Rightarrow$ 可微
B可微 $\Rightarrow$ 偏导数连续
C可微 $\Rightarrow$ 连续
D连续 $\Rightarrow$ 可微

练习 4 · 填空题

设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，用全微分近似计算

f (3.02, 3.97) \approx

____。

2012 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设连续函数

z = f (x, y)

满足

x \to 0 y \to 1 lim \frac{f ( x , y ) - 2 x + y - 2}{x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2}} = 0

，则

d z_{(0, 1)} =

______。

2011 年 · 数三 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设函数

z = (1 + \frac{x}{y})^{\frac{x}{y}}

，则

d z_{(1, 1)} =

______．

全微分

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 可微的定义：全增量 = 线性主部 +o(ρ)，全微分就是用平面来近似曲面★ 要懂

2. 基本关系及其推导：可微 ⇒ 连续，可微 ⇒ 偏导数存在，而反过来都不成立★★ 必会

3. 判断可微性的标准三步法★ 要懂

4. 全微分的用途：近似计算与相对误差的估计

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 可微的定义：全增量 $=$ 线性主部 $+ o (ρ)$ ，全微分就是用平面来近似曲面★ 要懂

2. 基本关系及其推导：可微 $\Rightarrow$ 连续，可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在，而反过来都不成立★★ 必会