全微分

§4.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.23 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

2.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数导数与微分的概念

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 可微的定义：全增量 $=$ 线性主部 $+ o (ρ)$ ，全微分就是用平面近似曲面★ 要懂

f

在

(x_{0}, y_{0})

处可微，是指全增量

Δ z = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})

能写成

Δ z ρ = A Δ x + B Δ y + o (ρ) = Δ x^{2} + Δ y^{2}

其中

A, B

与

Δ x, Δ y

无关。几何意义：曲面在该点附近足够平坦，可以用一小片平面（线性函数

A Δ x + B Δ y

）来近似，误差

o (ρ)

随着

ρ \to 0

而迅速衰减。全微分

d z = A d x + B d y

就是这一片线性近似本身。它是一元函数中用切线代替曲线这一做法在二元情形下的推广。定义中最要紧的一条是：误差是

ρ

的高阶无穷小，验证时决不能遗漏。

证明 / 推导

设

f

在

(x_{0}, y_{0})

处可微，即

Δ z ρ = A Δ x + B Δ y + o (ρ) = Δ x^{2} + Δ y^{2} .

下面证明这样的

A, B

只能有一组，并说明它给出的平面为什么配得上切平面这个名称。
（一）线性主部的唯一性. 设同时有

Δ z Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ) = a Δ x + b Δ y + o (ρ) .

两式相减，记

α = A - a, β = B - b

，得

α Δ x + β Δ y = o (ρ)

。令

Δ x = ρ cos θ, Δ y = ρ sin θ

，其中

θ

固定而

ρ \to 0^{+}

，代入上式并除以

ρ

，得

α cos θ + β sin θ = \frac{o ( ρ )}{ρ} \to 0.

左端与

ρ

无关，故它必等于零，即对一切

θ

都有

α cos θ + β sin θ = 0

。取

θ = 0

得

α = 0

，取

θ = \frac{π}{2}

得

β = 0

。因此

a = A, b = B

。这就证明了线性主部由函数本身唯一确定，从而记号

d z = A d x + B d y

是有意义的。
（二）平面近似的确切含义. 过点

P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

作平面

z = z_{0} + a Δ x + b Δ y

。它与曲面在同一条竖直线上的偏差为

d = Δ z - (a Δ x + b Δ y) = α Δ x + β Δ y + o (ρ) .

如果取

a = A, b = B

，那么

α = β = 0

，于是

d = o (ρ)

，即偏差是

ρ

的高阶无穷小。如果

(a, b) \neq = (A, B)

，那么

α, β

不全为零，由（一）中的算法得

\frac{d}{ρ} = α cos θ + β sin θ + \frac{o ( ρ )}{ρ} .

取

θ

使

α cos θ + β sin θ \neq = 0

，例如

α \neq = 0

时取

θ = 0

，则

\frac{d}{ρ}

不趋于零，偏差与

ρ

同阶。由此可见，在过

P_{0}

的一切非竖直平面中，只有一张能使偏差成为

ρ

的高阶无穷小。它就是全微分给出的那一张。这就证明了用平面近似曲面这句话的确切含义，也说明定义中

o (ρ)

这一要求不能减弱。

■

举例说明

z = x^{2} + y^{2}

在

(1, 1)

处：

Δ z = (1 + Δ x)^{2} + (1 + Δ y)^{2} - 2 = 2Δ x + 2Δ y + (Δ x^{2} + Δ y^{2})

。前两项

2Δ x + 2Δ y

是线性主部，余项

Δ x^{2} + Δ y^{2} = ρ^{2} = o (ρ)

。故函数在该点可微，且

d z_{(1, 1)} = 2 d x + 2 d y

。

2. 主要的关系及其推导：可微 $\Rightarrow$ 连续、可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在（反向都不成立）★★ 必会

必须熟记并理解下列关系：

偏导连续 \Rightarrow 可微 \Rightarrow {偏导数存在 (A = f_{x}, B = f_{y}) 函数连续

上面各个箭头反向都不成立：偏导数存在推不出可微，连续也推不出可微。在一元函数中，可导

\Leftrightarrow

可微，二者是等价的；而在多元函数中，偏导数存在这一条件比可微弱得多。这一区别是多元微分学中最要紧的地方。

证明 / 推导

设函数可微，即

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ)

。(1) 偏导数存在，且 $A = f_{x}$ ：令

Δ y = 0

，则

ρ = ∣Δ x ∣

，

\frac{Δ z}{Δ x} = A + \frac{o ( ∣Δ x ∣ )}{Δ x} \to A

，故

f_{x} = A

；同理可得

f_{y} = B

。(2) 连续：当

(Δ x, Δ y) \to (0, 0)

时

ρ \to 0

，于是

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ) \to 0

，即

lim f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) = f (x_{0}, y_{0})

，故函数在该点连续。

■

举例说明

下面是反向不成立的例子：

f = ∣ x y ∣

在原点连续，两个偏导数都等于

0

，即偏导数存在，但它在原点不可微（沿

Δ y = Δ x

验证，误差比

\to \frac{1}{2} \neq = 0

）。这说明连续且偏导数存在，仍不能保证可微。

3. 判断可微性的三个步骤★★ 必会

① 先求出该点处的两个偏导数

f_{x}, f_{y}

，在分界点处要用定义来求；如果偏导数不存在，就直接判定为不可微。② 如果

f_{x}, f_{y}

在该点连续，由充分条件立即判定为可微，这是最省事的办法。③ 否则回到定义，验证

ρ \to 0 lim \frac{Δ z - ( f _{x} Δ x + f _{y} Δ y )}{ρ} = 0.

如果这个极限等于

0

，则可微；如果沿某条路径（常取

Δ y = k Δ x

）此极限不为零，则不可微。必须注意，第②步给出的是充分而非必要的条件，可微并不要求偏导数连续。

举例说明

设

f = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} (x^{2} + y^{2} \neq = 0), f (0, 0) = 0

。由定义求得

f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0

。再验证

\frac{Δ z - 0}{ρ} = \frac{Δ x Δ y / Δ x ^{2} + Δ y ^{2}}{Δ x ^{2} + Δ y ^{2}} = \frac{Δ x Δ y}{Δ x ^{2} + Δ y ^{2}} .

沿

Δ y = Δ x

得

\frac{1}{2} \neq = 0

，故函数在原点不可微，尽管这个

f

在原点既连续、偏导数又存在。

4. 全微分的应用：近似计算与相对误差估计

当

∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣

都很小时，由可微性得到一次近似公式

f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) \approx f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y .

它既可以用来作数值近似（例如估计

1.0 4^{2.02}

、

3.0 2^{2} + 3.9 7^{2}

等），也可以用来作误差分析：对于

z = f (x, y)

，绝对误差

∣ d z ∣ \leq ∣ f_{x} ∣∣ d x ∣ + ∣ f_{y} ∣∣ d y ∣

，相对误差

\frac{d z}{z}

则由各个变量的相对误差线性叠加而得。选取基点的办法是：使

f (x_{0}, y_{0})

与各个偏导数都便于计算，例如取整数点。

举例说明

估计

(1.02)^{2} + (1.97)^{2}

的值。设

f = x^{2} + y^{2}

，取基点

(1, 2)

，则

f (1, 2) = 5

，

f_{x} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{1}{5}, f_{y} = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{2}{5}

。又

Δ x = 0.02, Δ y = - 0.03

，于是

f \approx 5 + \frac{0.02 - 0.06}{5} = 5 - \frac{0.04}{5} \approx 2.2361 - 0.0179 \approx 2.2182

（真值约为

2.2184

）。

💡 小知识

热力学里，内能的微分

d U

是全微分，因为

U

是状态函数，只看始末两点；而热量

δ Q

和功

δ W

依赖具体路径，并不是全微分。物理学家为此特意用

δ

而不是

d

来写它们。一个数学概念，就这样成了区分状态量与过程量的标尺。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

z = x^{2} y + y^{3}

，求全微分

d z

。难度 1

函数是初等函数、偏导连续，故可微，

d z = z_{x} d x + z_{y} d y

。求偏导：

z_{x} = 2 x y

（

y^{3}

当常数），

z_{y} = x^{2} + 3 y^{2}

（

x^{2}

当常系数）。所以

d z = 2 x y d x + (x^{2} + 3 y^{2}) d y .

例 2 设

z = x e^{y}

，求它在点

(1, 0)

处的全微分

d z_{(1, 0)}

。难度 1

先求偏导：

z_{x} = e^{y}, z_{y} = x e^{y}

。在

(1, 0)

处（

e^{0} = 1

）：

z_{x} = 1, z_{y} = 1

。故

d z_{(1, 0)} = 1 \cdot d x + 1 \cdot d y = d x + d y .

它就是曲面在该点的‘线性主部’，用来近似

z

的微小改变量。

例 3 用全微分近似计算

(1.04)^{2.02}

。难度 2

设

f (x, y) = x^{y}

，取基点

(x_{0}, y_{0}) = (1, 2)

，则

Δ x = 0.04, Δ y = 0.02

。因

f (1, 2) = 1

，偏导

f_{x} = y x^{y - 1}, f_{y} = x^{y} ln x

，在

(1, 2)

处

f_{x} = 2 \cdot 1 = 2, f_{y} = 1 \cdot ln 1 = 0

。用一次近似

f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) \approx f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y = 1 + 2 \times 0.04 + 0 \times 0.02 = 1.08.

故

(1.04)^{2.02} \approx 1.08

（真值约

1.0824

，误差很小）。

例 4 设

f (x, y) = ∣ x y ∣

，讨论

f

在原点是否可微。难度 2

第一步求偏导：

f (x, 0) = ∣0∣ = 0

，故

f_{x} (0, 0) = lim_{Δ x \to 0} \frac{0 - 0}{Δ x} = 0

；同理

f_{y} (0, 0) = 0

，两偏导都存在。第二步按定义验证：由于

f (0, 0) = 0

、

f_{x} = f_{y} = 0

，需看

\frac{Δ z - ( f _{x} Δ x + f _{y} Δ y )}{ρ} = \frac{∣Δ x Δ y ∣}{Δ x ^{2} + Δ y ^{2}} .

沿

Δ y = Δ x (Δ x > 0)

：上式

= \frac{Δ x ^{2}}{2 Δ x} = \frac{1}{2} \neq = 0

，极限不为

0

。故

f

在原点不可微——这是‘偏导存在却不可微’的又一典型。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

f (x, y)

可微，且

d f (0, 0) = π d x + 3 d y

。记

g (x) = f (ln x, sin π x)

，则

g^{'} (1) =

___。

2025 年 · 数二 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x, y)

可微且满足

df (x, y) = - 2 x e^{- y} d x + e^{- y} (x^{2} - y - 1) d y

，

f (0, 0) = 2

，求

f (x, y)

，并求

f (x, y)

的极值。

2024 年 · 数二 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x y}, 0, x y \neq = 0, x y = 0,

则在点

(0, 0)

处（　　）

A $\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x}$ 连续， $f (x, y)$ 可微
B $\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x}$ 连续， $f (x, y)$ 不可微
C $\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x}$ 不连续， $f (x, y)$ 可微
D $\frac{\partial f ( x , y )}{\partial x}$ 不连续， $f (x, y)$ 不可微

2021 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x, y)

可微，且

f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}

，

f (x, x^{2}) = 2 x^{2} ln x

，则

df (1, 1) =

（　　）

A $d x + d y$
B $d x - d y$
C $d y$
D $- d y$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = x^{3} y - x y^{2}

，则

d z =

____。

练习 2 · 选择题

设

z = e^{x^{2} + y^{2}}

，则

d z =

（　）。

A $e^{x^{2} + y^{2}} (d x + d y)$
B $e^{x^{2} + y^{2}} (2 x d x + 2 y d y)$
C $2 x d x + 2 y d y$
D $e^{x^{2} + y^{2}} (x d x + y d y)$

练习 3 · 选择题

关于二元函数

f (x, y)

在一点的性质，下列蕴含关系正确的是（　）。

A偏导数存在 $\Rightarrow$ 可微
B可微 $\Rightarrow$ 偏导数连续
C可微 $\Rightarrow$ 连续
D连续 $\Rightarrow$ 可微

练习 4 · 填空题

设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，用全微分近似计算

f (3.02, 3.97) \approx

____。

练习 5 · 选择题

设二元函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

的某邻域内有定义，且

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{f ( x , y ) - f ( 0 , 0 ) - x + 2 y}{x ^{2} + y ^{2}} = 0,

则下列结论正确的是（　）。

A $f$ 在 $(0, 0)$ 处不可微
B $d f_{(0, 0)} = d x - 2 d y$
C $f_{x} (0, 0) = - 1, f_{y} (0, 0) = 2$
D $f_{x} (0, 0) = 1, f_{y} (0, 0) = 2$

练习 6 · 填空题

设

z = ln (x + x^{2} + y^{2})

，则

d z_{(3, 4)} =

____。

练习 7 · 解答题

设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3} - y ^{3}}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0), (x, y) = (0, 0) .

（1）求

f_{x} (0, 0)

与

f_{y} (0, 0)

；（2）判断

f

在点

(0, 0)

处是否可微，并说明理由。

2020 年 · 数二 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设

z = arctan [x y + sin (x + y)]

，则

d z_{(0, π)} =

___。

2017 年 · 数二 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (x, y)

具有一阶连续偏导数，且

df (x, y) = y e^{y} d x + x (1 + y) e^{y} d y

，

f (0, 0) = 0

，则

f (x, y) =

___。

全微分

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 可微的定义：全增量 = 线性主部 +o(ρ)，全微分就是用平面近似曲面★ 要懂

2. 主要的关系及其推导：可微 ⇒ 连续、可微 ⇒ 偏导数存在（反向都不成立）★★ 必会

3. 判断可微性的三个步骤★★ 必会

4. 全微分的应用：近似计算与相对误差估计

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 可微的定义：全增量 $=$ 线性主部 $+ o (ρ)$ ，全微分就是用平面近似曲面★ 要懂

2. 主要的关系及其推导：可微 $\Rightarrow$ 连续、可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在（反向都不成立）★★ 必会