条件极值与拉格朗日乘数法

§4.7 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.64 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

0.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）多元函数的无条件极值多元隐函数求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 拉格朗日方程组的来历：用隐函数降元推出（数学二不需要梯度）★ 要懂

数学二不讲梯度，但只用隐函数求导也能把拉格朗日乘数法说清楚。从几何上看，在条件极值点处，目标函数的一条等值线恰与约束曲线相切，因而两条曲线在该点有相同的方向。用代数语言来说，这等价于向量

(f_{x}, f_{y})

与

(φ_{x}, φ_{y})

成比例；引入比例常数

λ

，就得到函数

L = f + λ φ

的驻点方程。由此可见，乘数法并不是新的原理，它不过是隐函数降元

+

一个比例常数的另一种表述而已。

证明 / 推导

设约束条件为

φ (x, y) = 0

，且在极值点附近

φ_{y} \neq = 0

。由隐函数存在定理，它确定函数

y = y (x)

，且

\frac{d y}{d x} = - \frac{φ _{x}}{φ _{y}}

。代入目标函数，得一元函数

Φ (x) = f (x, y (x))

，于是所求的条件极值就是

Φ

的极值。因此

Φ^{'} (x) = f_{x} + f_{y} \frac{d y}{d x} = f_{x} - f_{y} \frac{φ _{x}}{φ _{y}} = 0 ⟹ f_{x} φ_{y} - f_{y} φ_{x} = 0.

这说明

(f_{x}, f_{y})

与

(φ_{x}, φ_{y})

成比例。记比例常数为

- λ

，即有

f_{x} + λ φ_{x} = 0, f_{y} + λ φ_{y} = 0

，再配上约束条件

φ = 0

，这三式恰好是

L = f + λ φ

的驻点方程组。

■

2. 解题的基本步骤与两式相除消去 $λ$ 的方法；条件极值一般不用 $A C - B^{2}$ 判别★★ 必会

一般按下列步骤求解：① 作辅助函数

L = f + λ φ

；② 令

L_{x} = f_{x} + λ φ_{x} = 0, L_{y} = f_{y} + λ φ_{y} = 0, φ = 0

；③ 通常把前两式相除以消去 $λ$ ，得到

x, y

之间的关系，再与约束方程联立，求出候选点；④ 把各候选点代回

f

，比较函数值的大小，即得最值。注意：条件极值一般不用无条件极值的

A C - B^{2}

来判别，因为约束条件已把两个变量联系在一起；通常的做法是根据有界闭的约束集上连续函数必取得最值这一定理直接比较各候选点处的函数值，或者结合问题的实际背景来判断。约束方程

L_{λ} = φ = 0

也是方程组中的一个方程，不能遗漏。

举例说明

求

f = x^{2} + y^{2}

在约束

x y = 1

（其中

x, y > 0

）下的最小值。作

L = x^{2} + y^{2} + λ (x y - 1)

，令

L_{x} = 2 x + λ y = 0, L_{y} = 2 y + λ x = 0

。两式相除以消去 $λ$ ，得

\frac{2 x}{2 y} = \frac{λ y}{λ x} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{y}{x} \Rightarrow x^{2} = y^{2}

，取正值即得

x = y

。代入

x y = 1

，解得

x = y = 1

，此时

f = 2

。从几何上看，所求的就是双曲线

x y = 1

上离原点最近的点，最小值为

2

。

3. 闭区域上求最值的完整做法：把内部驻点与边界上的候选点放在一起比较

最值可能在区域内部取得，也可能在边界上取得，两者都必须考察：① 在内部，解方程组

f_{x} = 0, f_{y} = 0

求出驻点；② 在边界上，边界本身就是一条约束曲线，可用拉格朗日乘数法求候选点，也可以把边界参数化或代入以减少变量的个数；③ 把内部驻点处的函数值与边界上候选点处的函数值放在一起比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。只考察内部而漏掉边界，是这类题目中最常见的错误。

举例说明

求

f = x^{2} + y^{2} - x y + 1

在闭圆盘

x^{2} + y^{2} \leq 4

上的最值。内部：由

f_{x} = 2 x - y = 0, f_{y} = 2 y - x = 0 \Rightarrow (0, 0)

，此驻点处

f = 1

。边界

x^{2} + y^{2} = 4

：此时

f = 4 - x y + 1 = 5 - x y

，而在半径为

2

的圆上

x y \in [- 2, 2]

，这是因为

∣ x y ∣ \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} = 2

，于是

f = 5 - x y \in [3, 7]

，其中最大值

7

在

x y = - 2

处取得，例如在点

(2, - 2)

；最小值

3

在

x y = 2

处取得，例如在点

(2, 2)

。把两部分的结果放在一起比较

{1, 3, 7}

，得最大值 $7$ （在边界上），最小值 $1$ （在内部驻点处）。由此可见，内部的驻点同样不能遗漏。

4. 乘数法与消元法的取舍、多个约束的情形以及四个常见错误

(1) 乘数法与消元法的取舍：如果约束方程能显式解出一个变量，那么代入目标函数降元后按无条件极值处理往往更快；只有在解不出，或者利用对称性更为方便时，才使用乘数法。两者殊途同归，本节第一个要点就是用降元的办法把乘数法推出来的。(2) 多个约束用多个乘数：求

f (x, y, z)

在两个约束

φ = 0, ψ = 0

下的极值时，作

L = f + λ φ + μ ψ

，令

L_{x} = L_{y} = L_{z} = 0

，并与两个约束方程联立，共得五个方程。(3) 四个常见错误：① 遗漏约束方程

L_{λ} = φ = 0

；② 对条件极值误用

A C - B^{2}

判别，正确的做法是比较各候选点处的函数值或结合实际背景判断；③ 忽略隐含的取值范围，在几何或物理问题中往往还有

x, y, z > 0

，这会淘汰一部分候选点；④ 求闭区域上的最值时只考察内部而漏掉边界。注意避免这几点，条件极值一类题目就不易出错。

💡 小知识

拉格朗日乘数

λ

在经济学里另有一个名字，叫影子价格：它恰好等于约束每放宽一个单位、最优目标能多增加多少。一个纯粹为求解而引入的辅助参数，后来成了衡量资源边际价值的尺度。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

f (x, y) = x y

在约束

x + y = 6

（

x > 0, y > 0

）下的最大值。难度 1

构造

L = x y + λ (x + y - 6)

，令

L_{x} = y + λ = 0, L_{y} = x + λ = 0, x + y = 6.

前两式给

x = y = - λ

，代入约束

2 x = 6 \Rightarrow x = y = 3

。故候选点

(3, 3)

，

f (3, 3) = 9

。由于

x + y

固定时两数越接近乘积越大（且边界

x \to 0

时

f \to 0

），

(3, 3)

给出最大值 $9$ 。

例 2 求原点到直线

x + y = 2

的最短距离（即在约束

x + y = 2

下最小化

f = x^{2} + y^{2}

）。难度 1

最小化

f = x^{2} + y^{2}

（距离的平方）。令

L = x^{2} + y^{2} + λ (x + y - 2)

：

L_{x} = 2 x + λ = 0, L_{y} = 2 y + λ = 0 \Rightarrow x = y, x + y = 2 \Rightarrow x = y = 1.

候选点

(1, 1)

，

f = 1^{2} + 1^{2} = 2

，故最短距离

f = 2

。（与点到直线公式

\frac{∣0 + 0 - 2∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{2} = 2

一致。）

例 3 求

f (x, y) = x^{2} y

在约束

x + y = 3

（

x > 0, y > 0

）下的最大值。难度 2

令

L = x^{2} y + λ (x + y - 3)

：

L_{x} = 2 x y + λ = 0, L_{y} = x^{2} + λ = 0, x + y = 3.

由后两式

λ = - x^{2}

，代入第一式

2 x y = x^{2}

，因

x > 0

得

2 y = x

。与约束联立：

x + y = 3, x = 2 y \Rightarrow 3 y = 3 \Rightarrow y = 1, x = 2

。候选点

(2, 1)

，

f = 2^{2} \cdot 1 = 4

。端点

x \to 0

或

y \to 0

时

f \to 0

，故最大值为 $4$ 。

例 4 求

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

上的最大值与最小值。难度 2

令

L = x^{2} + y^{2} + λ (\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} - 1)

：

L_{x} = 2 x + \frac{λ}{2} x = x (2 + \frac{λ}{2}) = 0, L_{y} = 2 y + 2 λ y = 2 y (1 + λ) = 0.

分类讨论：① 若

x = 0

，由约束

y^{2} = 1 \Rightarrow (0, \pm 1)

，

f = 1

；② 若

y = 0

，由约束

\frac{x ^{2}}{4} = 1 \Rightarrow (\pm 2, 0)

，

f = 4

。（若

x, y

同时非零，则需

λ = - 4

且

λ = - 1

，矛盾，舍去。）约束是有界闭曲线，连续函数必取到最值，比较候选值

{1, 4}

：最大值 $4$ （在 $(\pm 2, 0)$ ），最小值 $1$ （在 $(0, \pm 1)$ ）。这正是‘长半轴最远、短半轴最近’。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2018 年 · 数二 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

将长为

2 m

的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

2013 年 · 数二 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

求曲线

x^{3} - x y + y^{3} = 1 (x \geq 0, y \geq 0)

上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

f (x, y) = x y

在约束

x + y = 10

（

x, y > 0

）下的最大值为 ____。

练习 2 · 填空题

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在约束

2 x + y = 5

下的最小值为 ____。

练习 3 · 选择题

求

f (x, y)

在约束

φ (x, y) = 0

下的极值，令

L = f + λ φ

。下列方程不属于拉格朗日方程组的是（　）。

A $f_{x} + λ φ_{x} = 0$
B $f_{y} + λ φ_{y} = 0$
C $φ (x, y) = 0$
D $λ = 0$

练习 4 · 选择题

f (x, y) = x + y

在约束

x^{2} + y^{2} = 2

上的最大值为（　）。

A $2$
B $2$
C $22$
D $4$

2008 年 · 数二 · 第 21 题 · 解答题 · 11 分

求函数

u = x^{2} + y^{2} + z^{2}

在约束条件

z = x^{2} + y^{2}

和

x + y + z = 4

下的最大值与最小值。

2006 年 · 数二 · 第 12 题 · 选择题 · 4 分

设

f (x, y)

与

φ (x, y)

均为可微函数，且

φ_{y}^{'} (x, y) \neq = 0

。已知

(x_{0}, y_{0})

是

f (x, y)