隐函数与参数方程求导

§2.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.89 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

1.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁多元隐函数求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 隐函数求导法为什么成立，以及怎样继续求二阶导数★★ 必会

由于

F (x, y (x)) \equiv 0

在区间上是恒等式，等式两端作为

x

的同一个函数，它们的导数当然相等。求导时只需注意到

y

是

x

的函数，含

y

的项要带出

y^{'}

。求二阶导数时，把已求得的

y^{'}

的表达式再对

x

求导，遇到

y^{'}

就代入一阶导数的结果，遇到

y

仍要带出

y^{'}

。

证明 / 推导

范例推导： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的 $y^{''}$ . 先求一阶导数：

2 x + 2 y y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y}

。对

y^{'} = - \frac{x}{y}

再求导（用商的求导法则，其中

y

要带出

y^{'}

），得

y^{''} = - \frac{1 \cdot y - x \cdot y ^{'}}{y ^{2}} = - \frac{y - x ( - \frac{x}{y} )}{y ^{2}} = - \frac{y + \frac{x ^{2}}{y}}{y ^{2}} = - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{y ^{3}} .

再利用原方程

x^{2} + y^{2} = 1

得

y^{''} = - \frac{1}{y ^{3}}

。

■

把结果代回原方程加以化简，是求隐函数二阶导数时常用的最后一步。

2. 参数方程二阶导数的正确公式，以及最容易出错的一步★ 要懂

参数式

{x = φ (t) y = ψ (t)

的一阶导数

\frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )}

仍是

t

的函数。求二阶导数时，不能写成

\frac{y ¨}{x ¨}

。必须把一阶导数看作

t

的新的函数，再用一次参数方程的求导公式，即再除以一次 $φ^{'} (t)$ 。每求一次导数，就要除以一次

φ^{'}

，这一点必须遵守。

证明 / 推导

公式推导. 记

g (t) = \frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'}}{φ ^{'}}

，那么

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} g (t) = \frac{d g / d t}{d x / d t} = \frac{1}{φ ^{'}} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{ψ ^{'}}{φ ^{'}}) = \frac{ψ ^{''} φ ^{'} - ψ ^{'} φ ^{''}}{( φ ^{'} ) ^{3}} .

分母中出现

(φ^{'})^{3}

（其中一个来自商的求导法则，另一个来自再除以

φ^{'}

），这是检验结果是否正确的标志。

■

举例说明

例.

{x = cos t y = sin t

（上半单位圆，

t \in (0, π)

），求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。
解.

\frac{d y}{d x} = \frac{cos t}{- sin t} = - cot t

。再除以

\frac{d x}{d t} = - sin t

，得

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{( - cot t ) _{t}^{'}}{- sin t} = \frac{csc ^{2} t}{- sin t} = - \frac{1}{sin ^{3} t} .

■

3. 相关变化率：以时间为自变量的隐函数求导

当几个变量都随时间

t

变化，并且受到一个关系式

F (x, y) = 0

的约束时，把关系式两端对

t

求导，就可以把各个变化率联系起来。这就是隐函数求导法，只是把自变量换成了

t

。解题时分三步：① 写出约束关系式；② 两端对

t

求导，得到各变化率所满足的方程；③ 代入某一时刻的具体数值，求出所要的变化率。

举例说明

例（下滑的梯子）. 长

5

m 的梯子靠墙，底端离墙

x

、顶端高

y

，满足

x^{2} + y^{2} = 25

。底端以

\frac{d x}{d t} = 1

m/s 远离墙，求

x = 3

m 时顶端下滑的速度。
解. 此时

y = 25 - 9 = 4

。把

x^{2} + y^{2} = 25

两端对

t

求导，得

2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} = 0

，于是

\frac{d y}{d t} = - \frac{x}{y} \frac{d x}{d t} = - \frac{3}{4} \times 1 = - \frac{3}{4} m/s .

负号表示

y

在减小，即顶端以

\frac{3}{4}

m/s 下滑。

■

4. 隐式 / 参数曲线的切线与法线★ 要懂

无论曲线由隐式方程还是由参数方程给出，只要求出斜率

k = y^{'}_{P}

，切线方程即为

y - y_{0} = k (x - x_{0})

，法线方程即为

y - y_{0} = - \frac{1}{k} (x - x_{0})

（

k \neq = 0

）。对参数方程，点

P

对应某个

t_{0}

，斜率为

\frac{ψ ^{'} ( t _{0} )}{φ ^{'} ( t _{0} )}

。当

φ^{'} (t_{0}) = 0

而

ψ^{'} (t_{0}) \neq = 0

时，切线是竖直的，其方程为

x = x_{0}

，这种情形需要单独讨论。

举例说明

例（数三 2020）. 求曲线

x + y + e^{2 x y} = 0

在点

(0, - 1)

处的切线方程。
解. 两端对

x

求导（这里

y = y (x)

，含

y

的项要带出

y^{'}

），得

1 + y^{'} + e^{2 x y} \cdot (2 y + 2 x y^{'}) = 0.

代入

x = 0, y = - 1

（此时

e^{2 x y} = e^{0} = 1

，

2 x y^{'} = 0

），得

1 + y^{'} + 1 \cdot (- 2) = 0 \Rightarrow y^{'} (0) = 1

。
切线过点

(0, - 1)

，斜率为

1

，故切线方程为

y - (- 1) = 1 \cdot (x - 0)

，即

y = x - 1

。

■

💡 小知识

隐函数求导让我们能给解不出显式表达式的曲线求切线。笛卡尔叶形线

x^{3} + y^{3} = 3 a x y

曾经难倒早期的几何学家，它没办法整体写成

y = f (x)

的形式，而用隐函数求导两步就能得到任意一点的切线斜率。费马与笛卡尔当年那场切线之争，技术上的焦点就在这里。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设方程

x^{2} + y^{2} = 25

确定

y = y (x)

，求

y^{'}

及曲线在点

(3, 4)

处的切线斜率。难度 1

方程两边对

x

求导，

y

视为

x

的函数（

\frac{d}{d x} y^{2} = 2 y y^{'}

）：

2 x + 2 y y^{'} = 0 ⟹ y^{'} = - \frac{x}{y} .

代入点

(3, 4)

：

k = y^{'}_{(3, 4)} = - \frac{3}{4}

。

例 2 设

x^{2} + x y + y^{2} = 3

确定

y = y (x)

，求

y^{'}

，并求在点

(1, 1)

处的

y^{'}

。难度 1

两边对

x

求导（

x y

用乘积法则得

y + x y^{'}

）：

2 x + (y + x y^{'}) + 2 y y^{'} = 0 ⟹ (x + 2 y) y^{'} = - (2 x + y) ⟹ y^{'} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y} .

代入

(1, 1)

：

y^{'} = - \frac{2 + 1}{1 + 2} = - 1

。

例 3 设

{x = 1 + t^{2}, y = t^{3},

求

\frac{d y}{d x}

与

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。难度 2

一阶：

\frac{d x}{d t} = 2 t, \frac{d y}{d t} = 3 t^{2} ⟹ \frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2}}{2 t} = \frac{3 t}{2} .

二阶： 把

\frac{d y}{d x} = \frac{3 t}{2}

再对

x

求导，须再除一次 $\frac{d x}{d t}$ ：

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{3 t}{2} )}{\frac{d x}{d t}} = \frac{3/2}{2 t} = \frac{3}{4 t} .

例 4 （相关变化率）半径为

r

的球体积

V = \frac{4}{3} π r^{3}

。若半径以

\frac{d r}{d t} = 2

cm/s 的速率增大，求

r = 3

cm 时体积的变化率

\frac{d V}{d t}

。难度 2

把

V, r

都看作

t

的函数，对

V = \frac{4}{3} π r^{3}

两边关于

t

求导（链式法则）：

\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \cdot \frac{d r}{d t} .

代入

r = 3, \frac{d r}{d t} = 2

：

\frac{d V}{d t} = 4 π \cdot 9 \cdot 2 = 72 π cm^{3} / s .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

已知可导函数

y = y (x)

满足

a e^{x} + y^{2} + y - ln (1 + x) cos y + b = 0

，且

y (0) = 0, y^{'} (0) = 0

。（Ⅰ）求

a, b

的值；（Ⅱ）判断

x = 0

是否为

y (x)

的极值点。

2020 年 · 数三 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

曲线

x + y + e^{2 x y} = 0

在点

(0, - 1)

处的切线方程为 ______.

2011 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

曲线

tan (x + y + \frac{π}{4}) = e^{y}

在点

(0, 0)

处的切线方程为 ______．

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

曲线

x^{2} + y^{2} = 1

所确定的隐函数

y = y (x)

满足

y^{'} =

（　）

A $- \frac{x}{y}$
B $\frac{x}{y}$
C $- \frac{y}{x}$
D $\frac{y}{x}$

练习 2 · 填空题

曲线

x^{3} + y^{3} = 6 x y

在点

(3, 3)

处的切线斜率为 ____。

练习 3 · 填空题

设

{x = t^{2}, y = t^{3},

则

\frac{d y}{d x}_{t = 2} =

____。

练习 4 · 填空题

设

{x = 2 t, y = t^{2},

则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} =

____。

练习 5 · 填空题

设

y = y (x)

由

y = 1 + x e^{y}

确定，则

y^{'} (0) =

____。

练习 6 · 选择题

曲线

{x = arctan t, y = ln (1 + t^{2})

在

t = 1

所对应的点处的切线方程为（　）

A $y = 2 x - \frac{π}{2} + ln 2$
B $y = 2 x + ln 2$
C $y = \frac{1}{2} x - \frac{π}{8} + ln 2$
D $y = x - \frac{π}{4} + ln 2$

练习 7 · 填空题

设

y = y (x)

由方程

e^{y} + x y = e

确定，则

y^{''} (0) =

____。

练习 8 · 解答题

设

y = y (x)

是由方程

x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = 1

所确定的隐函数。

(1) 求

\frac{d y}{d x}

；

(2) 求

y (x)

的驻点，并用二阶导数判别极大值与极小值；

(3) 求该曲线上切线为水平与切线为铅直的所有点。

1996 年 · 数三 · 第 1 题 · 填空题 · 3 分

设方程

x = y^{y}

确定

y

是

x

的函数，则

d y =

______.

1994 年 · 数三 · 第 3 题 · 填空题 · 3 分

设方程

e^{x y} + y^{2} = cos x

确定

y

为

x

的函数，则

\frac{d y}{d x} =

______.