2025 年考研数学（三） 第 6 题

判“可对角化”的充分必要关系 → 正向用“可对角化⇒其多项式可对角化”，反向找幂零反例。坑：$A^3-A^2=O$ 时 $A^3-A^2$ 平凡可对角化，但 $A$ 可为不可对角化的 Jordan 块。

本题考查矩阵相似对角化。 若 $A$ 可对角化，$A=P\Lambda P^{-1}$，则 $A^3-A^2=P({\Lambda }^3-{\Lambda }^2)P^{-1}$ 也可对角化。故“$A$ 可对角化 $\Rightarrow A^3-A^2$ 可对角化”，即前者是后者的必要条件（后者是前者的必要条件）。

反之不成立：取 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，则 $A^2=A^3=O$，$A^3-A^2=O$ 可对角化；但 $A$ 的特征值 $0$ 为三重，$r(A)=1$，只有 $3-1=2$ 个线性无关特征向量，故 $A$ 不可对角化。

因此“$A^3-A^2$ 可对角化”推不出“$A$ 可对角化”，是必要但不充分条件，选 B。