2025 年考研数学（三） 第 5 题

“有 $k$ 阶非零子式”翻译成 $r(A)\ge k$；有解看 $r(A)$ 是否等于 $r(A,\mathbf{\beta })$。坑：$k=m$（满行秩）时增广矩阵秩被 $m$ 卡住，必有解；$k<m$ 时无法确定，需举反例排除。

本题考查线性方程组有解的秩判据。 $A$ 有 $k$ 阶非零子式 $\Rightarrow r(A)\ge k$。方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$ 有解 $⟺r(A)=r(A,\mathbf{\beta })$。

当 $k=m$ 时 $r(A)\ge m$；又 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$r(A)\le \min \{m,n\}\le m$，故 $r(A)=m$。而 $(A,\mathbf{\beta })$ 是 $m\times (n+1)$ 矩阵，$m=r(A)\le r(A,\mathbf{\beta })\le m$，得 $r(A,\mathbf{\beta })=m=r(A)$，方程组有解，A 正确。

当 $k<m$ 时秩不确定，有解与否都可能：取 $A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),\mathbf{\beta }=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$ 无解，取 $\mathbf{\beta }=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)$ 又有解，故 C、D 均错。选 A。