2025 年考研数学（三） 第 4 题

看到二次积分要“化成关于 $x$ 的定积分” → 先画出区域再交换次序。坑：内层对 $y$ 积分时 $y$ 的下限是 $x$、上限是 $1$，积出 $(1-x)$。

本题考查二次积分交换积分次序。 原积分次序为先 $x$ 后 $y$，对应二重积分区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le y,0\le y\le 1\}$，即三角形 $O(0,0),(0,1),(1,1)$。

把 $D$ 写成 X 型区域：$D=\{(x,y)\mid x\le y\le 1,0\le x\le 1\}$，交换为先 $y$ 后 $x$。

于是 ${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_0^{y}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x{\int }_x^1\mathrm{d}y={\int }_0^1(1-x)f(x)\mathrm{d}x$，故选 D。