2025 年考研数学（三） 第 3 题

交错级数含“调和项 − 高阶小项” → 拆分：主项 $(-1{)}^n/n$ 条件收敛、余项因 $\ln (1+k/n^2)\sim k/n^2$ 绝对收敛，差仍条件收敛。坑：别被参数 $k$ 迷惑，$k/n^2$ 恒绝对收敛。

本题考查级数拆分与绝对/条件收敛的判定。 把原级数看成 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)$ 的差。

第一个：$\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 单调趋于 $0$，由莱布尼茨判别法 $\sum (-1{)}^n\frac{1}{n}$ 收敛，但 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，故它条件收敛。

第二个：$\left|\ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)\right|\sim \frac{|k|}{n^2}$，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故 $\sum (-1{)}^n\ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)$ 绝对收敛（对任意常数 $k$ 都成立）。

“一个条件收敛 + 一个绝对收敛”之差仍条件收敛，与 $k$ 无关，故选 B。