2025 年考研数学（三） 第 2 题

变限积分定义的函数判极值/拐点 → 逐阶求导后看 $f^{\prime }$（极值）、$f^{\prime \prime }$（拐点）在该点两侧是否变号。坑：$x=0$ 是 $f$ 的极值但非拐点，是 $g$ 的拐点但非极值，两者恰好相反。

本题考查变限积分求导，并用一、二阶导判极值点与拐点。 先算 $f$：$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x^2}\sin x$，$f^{\prime \prime }(x)=(2x\sin x+\cos x){\mathrm{e}}^{x^2}$。

对 $f$：$f^{\prime }(0)=0,f^{\prime \prime }(0)=1>0$，故 $x=0$ 是 $f$ 的极小值点；又 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 在 $0$ 附近恒成立，曲线 $y=f(x)$ 是凹的，$(0,0)$ 不是 $f$ 的拐点。

再算 $g$：$g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x^2}{\sin }^{2}x+\sin 2x{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t$。当 $x\in (-\delta ,0)$ 时 $\sin 2x<0,{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t<0$，故 $g^{\prime }(x)>0$；$x\in (0,\delta )$ 时同理 $g^{\prime }(x)>0$。所以 $g$ 在 $0$ 附近单调增，$x=0$ 不是 $g$ 的极值点。

$g^{\prime \prime }(x)=2(\sin 2x+x{\sin }^{2}x){\mathrm{e}}^{x^2}+2\cos 2x{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t$，可验证 $g^{\prime \prime }$ 在 $x=0$ 两侧变号（左负右正），故 $(0,0)$ 是 $y=g(x)$ 的拐点。综上选 B。