2025 年考研数学（三） 第 1 题

判等价无穷小 → 算比值极限是否为 $1$。坑：$1-\cos \sqrt{2x}$ 里的等价量是 $\frac{1}{2}(\sqrt{2x}{)}^2=x$（不是 $\frac{(2x{)}^2}{2}$），A 的 ${\mathrm{e}}^{-\sin x}-1\sim -\sin x$ 带负号。

本题考查等价无穷小的判定。 $f(x)$ 与 $x$ 等价 $⟺\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$。逐项计算该极限即可。

A：${\mathrm{e}}^{-\sin x}-1\sim -\sin x$，故 $\frac{{\mathrm{e}}^{-\sin x}-1}{x}\to \frac{-\sin x}{x}\to -1\ne 1$。B：洛必达得 $\lim \frac{\sqrt{x+1}-\cos x}{x}=\lim \left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\sin x\right)=\frac{1}{2}\ne 1$。

C：$1-\cos \sqrt{2x}\sim \frac{1}{2}(\sqrt{2x}{)}^2=x$，故 $\frac{1-\cos \sqrt{2x}}{x}\to 1$。D：$1-\frac{\ln (1+x)}{x}=\frac{x-\ln (1+x)}{x}$，由 $x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$ 得极限 $=\frac{1}{2}\ne 1$。只有 C 满足，故选 C。