2025 年考研数学（三） 第 7 题

含参二次型判正定 → 写对称矩阵，用顺序主子式（赫尔维茨）全正。坑：$|xA+yB|$ 展开后交叉项系数决定非对角元 $-1$；$a^2-4a+1<0$ 的根是 $2\pm \sqrt{3}$。

本题考查行列式计算与正定二次型判别。 $xA+yB=\left(\begin{array}{cc}x+y& 2x\\ -2x+y& a(y-x)\end{array}\right)$，取行列式：

$f(x,y)=|xA+yB|=(x+y)a(y-x)-2x(-2x+y)=(4-a)x^2-2xy+a{y}^2$，对称矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}4-a& -1\\ -1& a\end{array}\right)$。

正定 $⟺$ 各阶顺序主子式均为正：$4-a>0$ 且 $|C|=(4-a)a-1=-a^2+4a-1>0$。解 $a^2-4a+1<0$ 得 $2-\sqrt{3}<a<2+\sqrt{3}$，且 $a<4$，取交集得 $a\in (2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$，选 B。