2025 年考研数学（三） 第 8 题

给一个“不相关”条件求另一相关系数 → 先由 $\mathrm{Cov}=0$ 反解出 $\mathrm{Cov}(X,Y)$，再用双线性算目标协方差与方差。坑：$N(\mu ,{\sigma }^2)$ 里第二参数是方差，别开根号当标准差用。

本题考查协方差与相关系数。 由分布知 $D(X)=1,D(Y)=2$。$X$ 与 $X+2Y$ 不相关 $\Rightarrow \mathrm{Cov}(X,X+2Y)=D(X)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=1+2\mathrm{Cov}(X,Y)=0$，故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=-\frac{1}{2}$。

于是 $\mathrm{Cov}(X,X-Y)=D(X)-\mathrm{Cov}(X,Y)=1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$，$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)=1+2+1=4$。

相关系数 ${\rho }_{X,X-Y}=\frac{\mathrm{Cov}(X,X-Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(X-Y)}}=\frac{3/2}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{4}}=\frac{3}{4}$，选 D。