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2025 年考研数学（三）第 9 题

选择题 · 5 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{20}

是来自总体

B (1, 0.1)

的简单随机样本，令

T = i = 1 \sum 20 X_{i}

，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得

P {T \leq 1} \approx

（　　）。

A $\frac{1}{e ^{2}}$
B $\frac{2}{e ^{2}}$
C $\frac{3}{e ^{2}}$
D $\frac{4}{e ^{2}}$

提示 1

20

个独立

B (1, 0.1)

之和服从二项分布

B (20, 0.1)

。

提示 2

泊松逼近取

λ = n p = 20 \times 0.1 = 2

。

提示 3

P {T \leq 1} = P {T = 0} + P {T = 1} = e^{- 2} + 2 e^{- 2}

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

“

n

大

p

小、用泊松近似二项” → 取

λ = n p

，代泊松分布律。坑：

P {T \leq 1}

要含

T = 0

与

T = 1

两项，合起来

3 e^{- 2}

。

解答

本题考查泊松定理（用泊松分布近似二项分布）。 每个

X_{i} \sim B (1, 0.1)

相互独立，故

T = \sum_{i = 1}^{20} X_{i} \sim B (20, 0.1)

。

由泊松定理，

n = 20, p = 0.1, λ = n p = 2

，

T

近似服从参数

λ = 2

的泊松分布，

P {T = k} \approx \frac{2 ^{k} e ^{- 2}}{k !}

。

故

P {T \leq 1} = P {T = 0} + P {T = 1} \approx e^{- 2} + 2 e^{- 2} = 3 e^{- 2} = \frac{3}{e ^{2}}

，选 C。

考点：常见离散分布（二项、泊松、几何等）、离散型随机变量及其分布律

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