2025 年考研数学（三） 第 10 题

求经验分布函数的方差 → 把 $F_n(x)$ 写成 $n$ 个独立 $0$-$1$ 变量的平均。坑：除以 $n^2$，最终方差含 $\frac{1}{n}$ 因子，是 $\frac{1}{n}F(1-F)$ 而非 $F(1-F)$。

本题考查经验分布函数的性质。 对固定的 $x$，令 $Y_i=\{\begin{array}{ll}1,& X_i\le x\\ 0,& X_i>x\end{array}$，则 $Y_i\sim B(1,F(x))$，$E(Y_i)=F(x),D(Y_i)=F(x)[1-F(x)]$。

经验分布函数 $F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i$，且 $Y_1,\cdots ,Y_n$ 独立同分布。

故 $D[F_n(x)]=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D(Y_i)=\frac{1}{n}F(x)[1-F(x)]$，选 C。