2025 年考研数学（三） 第 11 题

求反函数的渐近线 → 要么显式解出 $g$ 再算 $x\to \pm \infty$ 极限，要么用“原函数铅直渐近线 $\leftrightarrow$ 反函数水平渐近线”（关于 $y=x$ 对称）。坑：$f$ 值域为 $\mathbb{R}$，故 $g$ 定义域为 $\mathbb{R}$、只有水平渐近线。

本题考查反函数与渐近线。 先求反函数：由 $y=\frac{1}{2}\ln \frac{3+x}{3-x}$ 得 ${\mathrm{e}}^{2y}=\frac{3+x}{3-x}$，解出 $x=\frac{3({\mathrm{e}}^{2y}-1)}{{\mathrm{e}}^{2y}+1}$，故 $g(x)=\frac{3({\mathrm{e}}^{2x}-1)}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}$（即 $3\tanh x$）。

$g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，无铅直渐近线。算水平渐近线：$\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=\frac{3(0-1)}{0+1}=-3$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=\frac{3(1-0)}{1+0}=3$。

故曲线 $y=g(x)$ 有两条水平渐近线 $y=-3$ 与 $y=3$（已有两条水平渐近线则无斜渐近线）。也可由 $f$ 的定义域 $(-3,3)$、铅直渐近线 $x=\pm 3$，按反函数关于 $y=x$ 对称直接得到。