2025 年考研数学（三） 第 12 题

含参反常积分求参数 → 部分分式后合并成单个 $\ln \frac{x}{2x+a}$ 再取极限。坑：两个候选值要用“是否引入瑕点/是否收敛”验证，$a=-6$ 使 $2x+a=0$ 落在区间内导致发散被舍。

本题考查反常积分的计算。 部分分式：$\frac{a}{x(2x+a)}=\frac{1}{x}-\frac{2}{2x+a}$。

${\int }_1^{+\infty }\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{2x+a}\right)\mathrm{d}x={\left[\ln \frac{x}{|2x+a|}\right]}_1^{+\infty }=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \frac{x}{|2x+a|}-\ln \frac{1}{|2+a|}=\ln \frac{|2+a|}{2}.$

令 $\ln \frac{|2+a|}{2}=\ln 2$ 得 $\frac{|2+a|}{2}=2$，即 $a=2$ 或 $a=-6$。当 $a=-6$ 时被积函数在 $x=3$ 处有瑕点且积分发散，应舍去；当 $a=2$ 时 $[1,+\infty )$ 上无瑕点。故 $a=2$。