2025 年考研数学（三） 第 13 题

一阶线性 ODE → 化标准形 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$，用积分因子 ${\mathrm{e}}^{\int p}$。坑：$-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=-\ln x$ 给积分因子 $\frac{1}{x}$；初值恰好使 $C=0$，通解退化为特解 $-x{\mathrm{e}}^x$。

本题考查一阶线性微分方程。 整理成标准形：$y^{\prime }-\frac{1}{x}y=-x{\mathrm{e}}^x$。

取积分因子（初值在 $x=1>0$，取 $x>0$）$\mu ={\mathrm{e}}^{-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}$，则 ${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}\cdot (-x{\mathrm{e}}^x)=-{\mathrm{e}}^x$。

积分得 $\frac{y}{x}=-{\mathrm{e}}^x+C$，即 $y=-x{\mathrm{e}}^x+Cx$。代入 $y(1)=-\mathrm{e}$：$-\mathrm{e}+C=-\mathrm{e}\Rightarrow C=0$。故 $y=-x{\mathrm{e}}^x$。