2025 年考研数学（三） 第 14 题

隐函数二阶偏导（带变限积分）→ 先定点值，逐次对 $x$ 求偏导并即时代点。坑：$x{\int }_y^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$ 求导要对“外面的 $x$”和“上限的 $x$”同时用乘积法则，二阶时 ${\mathrm{e}}^{-x^2}$ 项在 $(1,1)$ 恰好相消。

本题考查隐函数的偏导数（含变限积分）。 把方程写成 $z+\ln z-x{\int }_y^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=1$。代入 $x=y=1$：积分为 $0$，得 $z+\ln z=1$，由 $z+\ln z$ 单调知唯一解 $z(1,1)=1$。

对 $x$ 求偏导：$z_x+\frac{1}{z}{z}_x-{\int }_y^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t-x{\mathrm{e}}^{-x^2}=0(1)$。在 $(1,1)$（$z=1$）代入：$2z_x={\mathrm{e}}^{-1}$，故 $z_x{|}_{(1,1)}=\frac{1}{2\mathrm{e}}$。

对 $(1)$ 再对 $x$ 求偏导：$z_{xx}+\frac{1}{z}{z}_{xx}-\frac{1}{z^2}{z}_x^2-{\mathrm{e}}^{-x^2}-{\mathrm{e}}^{-x^2}+2x^2{\mathrm{e}}^{-x^2}=0(2)$。在 $(1,1)$ 代入 $z=1,z_x=\frac{1}{2\mathrm{e}}$：$2z_{xx}-\frac{1}{4{\mathrm{e}}^2}-2{\mathrm{e}}^{-1}+2{\mathrm{e}}^{-1}=0$，得 $2z_{xx}=\frac{1}{4{\mathrm{e}}^2}$，$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(1,1)}=\frac{1}{8{\mathrm{e}}^2}$。