2025 年考研数学（三） 第 15 题

含 $x$ 的行列式方程数根 → 把它当多项式，先用行列式性质（拆列/列变换）化简成低次因式。坑：本题 $f(x)$ 恒为 $0$，方程化为 $x(8x+2)=0$，两根 $0,-\frac{1}{4}$。

本题考查行列式的性质与计算。 交换 $g(x)$ 的第 $2$、$4$ 列后，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的后三列相同（交换两列变号，故 $-g(x)$ 与 $f(x)$ 只差第一列），可用“某列为两数之和则行列式可拆”合并 $f(x)-g(x)$ 为一个行列式。

经列变换化简（$c_1-c_3,c_2-2c_4$ 等）后可得 $f(x)-g(x)=x(8x+2)$。（直接展开亦可：$f(x)\equiv 0$，$g(x)=-8x^2-2x$，故 $f-g=8x^2+2x=x(8x+2)$。）

于是方程 $f(x)=g(x)$ 即 $x(8x+2)=0$，两个不同实根 $x_1=0,x_2=-\frac{1}{4}$，故不同的根的个数为 $\boxed{2}$。