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2025 年考研数学（三）第 16 题

填空题 · 5 分

设

A, B, C

为

3

个随机事件，且

A

与

B

相互独立，

B

与

C

相互独立，

A

与

C

互不相容，已知

P (A) = P (C) = \frac{1}{4}

，

P (B) = \frac{1}{2}

，则在事件

A, B, C

中至少有一个发生的条件下，

A, B, C

中恰有一个发生的概率为______。

提示 1

先把已知转成概率：独立给出

P (A B), P (B C)

；互不相容给出

P (A C) = 0

，进而

P (A B C) = 0

。

提示 2

用容斥求“至少一个”

P (A \cup B \cup C) = \frac{3}{4}

。

提示 3

“恰有一个”逐块算

P (A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}), P (\overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C}), P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C)

（注意

A \subseteq \overset{ˉ}{C}

、

C \subseteq \overset{ˉ}{A}

），再作条件概率的比。

答案与详解

答案 $\frac{2}{3}$

思路（为什么这么做）

独立+互斥混合的事件概率 → 先把每个交事件概率算清（互斥使

P (A C) = P (A B C) = 0

），再分别求“至少一个/恰有一个”。坑：

A, C

互斥意味着

A \subseteq \overset{ˉ}{C}

，故

P (A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) = P (A \overset{ˉ}{B})

，条件概率 = 恰一个 ÷ 至少一个。

解答

本题考查独立性、互斥与条件概率。 由独立：

P (A B) = P (A) P (B) = \frac{1}{8}

，

P (B C) = P (B) P (C) = \frac{1}{8}

；由

A, C

互不相容：

P (A C) = 0

，从而

P (A B C) = 0

。

“至少一个发生”：

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (B C) - P (A C) + P (A B C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - 0 + 0 = \frac{3}{4}

。

“恰有一个发生”

= P (A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) + P (\overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C}) + P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C)

。计算

P (A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) = P (A \overset{ˉ}{B}) = P (A) P (\overset{ˉ}{B}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

（因

A \subseteq \overset{ˉ}{C}

），同理

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C) = P (\overset{ˉ}{B} C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}

，

P (\overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C}) = P (B) [1 - P (A) - P (C)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

，合计

\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

。

故所求条件概率

= \frac{P ( 恰有一个 )}{P ( 至少一个 )} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}

。

考点：事件的独立性、条件概率与乘法公式、概率的定义与性质

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