2025 年考研数学（三） 第 17 题

分母 = 一次式 × 不可约二次式 → 部分分式分解；不可约二次式那项配方后凑成“$\ln$ 项 + $\arctan$ 项”。坑：判别式 $<0$ 才不可约；$\arctan (x-1)$ 在 $x=0$ 取 $-\frac{\pi }{4}$。

本题考查有理函数定积分（部分分式分解）。 分母为一次式与不可约二次式 $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$ 之积，设 $\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-2x+2}$。

通分比较系数：$\{\begin{array}{l}A+B=0\\ B+C-2A=0\\ 2A+C=1\end{array}\Rightarrow A=\frac{1}{5},B=-\frac{1}{5},C=\frac{3}{5}$，即被积函数 $=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{x-3}{x^2-2x+2}\right)$。

${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x+1}=\ln 2$。对第二项配方 $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$，把分子拆成“二次式导数的一半 + 常数”：${\int }_0^1\frac{x-3}{x^2-2x+2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln (x^2-2x+2){|}_0^1-2\arctan (x-1){|}_0^1=-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi }{2}$。

故原积分 $=\frac{1}{5}\left[\ln 2-\left(-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi }{2}\right)\right]=\frac{3\ln 2+\pi }{10}$。