2025 年考研数学（三） 第 18 题

“已知含 $f(x)$ 的极限，证可导并求 $f^{\prime }(0)$” → 用泰勒把已知函数展开，凑出 $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 的极限。坑：${\mathrm{e}}^{2\sin x}$ 要展到 $x^2$（$1+2x+2x^2$）；由连续先定 $f(0)=2$ 再用导数定义。

本题考查用极限构造导数定义 + 泰勒（等价无穷小）。 分母 $\ln (1+x)+\ln (1-x)=\ln (1-x^2)\sim -x^2$。

对分子把 ${\mathrm{e}}^{2\sin x}$ 展成带皮亚诺余项的二阶泰勒式：$({\mathrm{e}}^{2\sin x}{)}^{\prime }{|}_0=2,({\mathrm{e}}^{2\sin x}{)}^{\prime \prime }{|}_0=4$，故 ${\mathrm{e}}^{2\sin x}=1+2x+2x^2+o(x^2)$。

代入极限：$-3=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)-2x-2x^2+o(x^2)}{-x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x)-2}{-x}+2\right]$，得 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-2}{-x}=-5$，即 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-2}{x}=5$。

由于 ${\lim }_{x\to 0}x=0$，故 ${\lim }_{x\to 0}[f(x)-2]=0$，即 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=2$；结合 $f$ 在 $0$ 连续得 $f(0)=2$。于是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=5$，由导数定义 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导，且 $f^{\prime }(0)=5$。