2025 年考研数学（三） 第 19 题

被积式含 $(x-y)$ 且区域关于 $y=x$ 对称 → 用轮换对称性消去奇次项：$(x-y+1{)}^2$ 平均后变 $(x-y{)}^2+1$。坑：对称化后在半区域积分要乘 $2$；$D_1$ 的 $y$ 从 $x^2$ 到 $x$。

本题考查二重积分（轮换对称性 + 直角坐标计算）。 区域 $D$ 由抛物线 $y=x^2$ 与 $x=y^2$（即 $y=\sqrt{x}$）围成，位于第一象限，关于直线 $y=x$ 对称，交点为 $(0,0),(1,1)$。

记 $D_1$ 为 $D$ 中 $y\le x$ 的部分。由轮换对称性（$x\leftrightarrow y$ 保持 $D$ 不变）：${\iint }_D(x-y+1{)}^2\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D_1}[(x-y+1{)}^2+(y-x+1{)}^2]\mathrm{d}\sigma =2{\iint }_{D_1}[(x-y{)}^2+1]\mathrm{d}\sigma$，其中 $D_1=\{x^2\le y\le x,0\le x\le 1\}$。

分别计算：${\iint }_{D_1}\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1(x-x^2)\mathrm{d}x=\frac{1}{6}$；${\iint }_{D_1}(x-y{)}^2\mathrm{d}\sigma ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_{x^2}^x(x-y{)}^2\mathrm{d}y={\int }_0^1\left(\frac{x^3}{3}-x^4+x^5-\frac{x^6}{3}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{420}$。

故 ${\iint }_D(x-y+1{)}^2\mathrm{d}\sigma =2\left(\frac{1}{420}+\frac{1}{6}\right)=\frac{71}{210}$。