2025 年考研数学（三） 第 20 题

“$f^{\prime }$ 严格增 $⟺$ 弦斜率随区间右移变大”→ 必要性用拉格朗日，充分性用导数定义取单侧极限 + 插入中间点保证严格不等号。坑：单侧极限只能得 $\le$，需再借一次三点严格不等式把两端接出 $<$。

本题综合考查拉格朗日中值定理、导数定义与单调性。

必要性。 设 $f^{\prime }$ 在 $(a,b)$ 严格增。对 $x_1<x_2<x_3$，由拉格朗日中值定理存在 ${\xi }_1\in (x_1,x_2),{\xi }_2\in (x_2,x_3)$ 使 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime }({\xi }_1),\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}=f^{\prime }({\xi }_2)$。因 ${\xi }_1<x_2<{\xi }_2$ 且 $f^{\prime }$ 严格增，故 $f^{\prime }({\xi }_1)<f^{\prime }({\xi }_2)$，即所证不等式成立。

充分性。 任取 $x_1<x_2$，取中间点 $x_0\in (x_1,x_2)$。对 $x_1<s<x_0$ 用条件（三点 $x_1,s,x_0$）得 $\frac{f(s)-f(x_1)}{s-x_1}<\frac{f(x_0)-f(s)}{x_0-s}$，令 $s\to x_1^{+}$ 得 $f^{\prime }(x_1)\le \frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}$。

同理对 $x_0<t<x_2$ 用条件并令 $t\to x_2^{-}$ 得 $\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}\le f^{\prime }(x_2)$。又由条件（三点 $x_1,x_0,x_2$）$\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}<\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}$。三式串联得 $f^{\prime }(x_1)<f^{\prime }(x_2)$。由 $x_1<x_2$ 的任意性，$f^{\prime }$ 在 $(a,b)$ 严格增。证毕。