2025 年考研数学（三） 第 21 题

求极大无关组 + 分解 $A=GH$ → 化行最简形：主元列作 $G$，行最简形本身（去掉零行）就是系数矩阵 $H$。坑：$H$ 的前两列必为单位阵（$\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }$），非主元列直接抄行最简形的对应列。

本题考查矩阵的秩、列向量组的极大无关组与线性表示。

（Ⅰ） 对 $A$ 作初等行变换（$r_2+r_1,r_3-r_1$）：$A\to \left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 3& 0& -1\\ 0& -1& 1& -a& -2\\ 0& 2& a-3& 2& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 3& 0& -1\\ 0& -1& 1& -a& -2\\ 0& 0& a-1& 2-2a& 0\end{array}\right)$。当且仅当 $a=1$ 时第三行全零、$r(A)=2$。故 $a=1$。

（Ⅱ） 取 $a=1$，继续化为行最简形：$A\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 2& 1& 1\\ 0& 1& -1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$。首两列是主元列，故 $A$ 的第 1、2 列 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 构成列向量组的一个极大线性无关组。

由行最简形读出其余列的表示：${\mathbf{\gamma }}_1=2\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta },{\mathbf{\gamma }}_2=\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },{\mathbf{\gamma }}_3=\mathbf{\alpha }+2\mathbf{\beta }$。于是 $A=(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 2& 1& 1\\ 0& 1& -1& 1& 2\end{array}\right)$，即取 $H=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 2& 1& 1\\ 0& 1& -1& 1& 2\end{array}\right)$，$G=(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })$，满足 $A=GH$。